Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении

Рассматривая прямолинейное равноускоренное движение на прошлых уроках, мы уже многое узнали об ускорении, скорости и их проекциях. Ускорение как физическая величина описывает быстроту изменения скорости за определенный промежуток времени.

Рассчитать его проекцию можно по формуле: $a_x = \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{t}$. Скорость же при равноускоренном движении изменяется (увеличивается или уменьшается) одинаково за равные промежутки времени. Ее проекцию мы можем рассчитать по формуле: $\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$.

Теперь мы перейдем к перемещению тела. На данном уроке мы докажем, что площадь под графиком проекции скорости численно равна проекции перемещения тела, и выведем формулу для ее расчета.

Перемещение и площадь под графиком проекции скорости

Когда мы рассматривали прямолинейное равномерное движение, проекцию вектора перемещения мы определяли по той же формуле, что и площадь прямоугольника, заключенного под графиком (рисунок 1).

А теперь взгляните на график (отрезок AC)  зависимости проекции вектора скорости от времени (рисунок 2). Тело движется с постоянным ускорением $a$ (при начальной скорости $\upsilon_0$).

Будет ли проекция перемещения тела в этом случае равна площади фигуры OACB под графиком проекции скорости? Давайте предположим, что они равны друг другу и докажем это.

Для этого выделим на оси времени Ot маленький промежуток времени db (рисунок 3). Из точек d и b проведем перпендикуляры к оси Ot до их пересечения с графиком проекции скорости. Перпендикуляры пересекут график в двух точках: a и c. Скорость тела в точке a равна $\upsilon_{ax}$, в точке c — $\upsilon_{cx}$.

Мы выбрали настолько маленький промежуток времени db, что проекция скорости на нем практически не изменяется. Само движение в таком приближении будет очень похоже на равномерное, как будто теперь наше тело движется с постоянной скоростью.

Значит, мы можем рассматривать участок ac как горизонтальный, а фигуру acbd как прямоугольник. Тогда проекция перемещения, которое тело совершило за промежуток времени db, будет численно равна площади фигуры acbd.

На такие узкие прямоугольники-полоски мы можем разбить всю площадь трапеции OACB (рисунок 4).

Сделаем вывод из вышесказанного.

Проекция вектора перемещения $s_x$ за промежуток времени, соответствующий отрезку OB, численно равна площади $S$ трапеции OACB и определяется по той же формуле, что и эта площадь.

{"questions":[{"content":"Чему численно равна площадь фигуры под графиком проекции вектора скорости при прямолинейном равноускоренном движении?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["проекции вектора перемещения","проекции вектора ускорения","проекции вектора начальной скорости","времени движения"],"answer":[0]}}}]}

Вывод формулы проекции перемещения

Из курса геометрии мы знаем, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (рисунок 5).

Наша трапеция OACB:

• основание $OA = \upsilon_{0x}$;
• основание $BC = \upsilon_x$;
• высота $OB = t$.

Получается, что площадь трапеции OACB равна:
$S = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x}{2} \cdot t$.

Площадь $S$ будет численно равна проекции перемещения $s_x$. Проекцию скорости $\upsilon_x$ мы можем выразить через проекцию ускорения $a_x$:
$\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$.

Подставим эти выражения в формулу площади:
$S = s_x = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_{0x} \space + \space a_xt}{2} \cdot t = \frac{2 \upsilon_{0x} t \space + \space a_x t^2}{2} = \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$.

Так мы получили формулу проекции вектора перемещения при прямолинейном равноускоренном движении.

$s_x =  \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$.

{"questions":[{"content":"По какой формуле можно рассчитать проекцию вектора перемещения тела при прямолинейном равноускоренном движении?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$s_x =  \\upsilon_{0x}t \\space + \\space \\frac{a_xt^2}{2}$","$s_x = \\upsilon_x t$","$s_x =  \\upsilon_{0x}t \\space + \\space a_xt^2$","$s_x = \\frac{\\upsilon_x}{t} \\space + \\space \\upsilon_{0x}$"],"explanations":["","Эта формула работает при рассмотрении равномерного прямолинейного движения.","",""],"answer":[0]}}}]}

Упражнения

$l — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Дано:
$\upsilon_{0x} = 15 \frac{м}{с}$
$t = 20 \space с$
$\upsilon_x = 0$

$s_x — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Часто задаваемые вопросы