9. Задачи с прикладным содержанием: все задания
Груз массой $0.08 \space кг$ колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=12 \space с$ — период колебаний, $v_0=0.5 \space м/с.$ Кинетическая энергия $E$ груза вычисляется по формуле: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в $м/с.$ Найдите кинетическую энергию груза через $1$ секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Найдём скорость груза через $1$ секунду после начала колебаний: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ $$v=0.5 \cdot \sin \frac{2 \pi\cdot 1}{12}=0.25$$
Тогда кинетическая энергия груза через $1$ секунду после начала колебаний равна: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ $$E=\frac{0.08\cdot 0.25^2}{2}=0.0025$$
20
Груз массой $0.11 \space кг$ колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=8\space с$ — период колебаний, $v_0=0.4 \space м/с.$ Кинетическая энергия $E$ груза вычисляется по формуле: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в $м/с.$ Найдите кинетическую энергию груза через $5$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Найдём скорость груза через $5$ секунд после начала колебаний: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ $$v=0.4 \cdot \sin \frac{2 \pi\cdot 5}{8}=-0.2\sqrt{2}$$
Тогда кинетическая энергия груза через $5$ секунд после начала колебаний равна: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ $$E=\frac{0.11\cdot (-0.2\sqrt{2})^2}{2}=0.0044$$
20
Груз массой $0.06 \space кг$ колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=12 \space с$ — период колебаний, $v_0=0.6 \space м/с.$ Кинетическая энергия $E$ груза вычисляется по формуле: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в $м/с.$ Найдите кинетическую энергию груза через $4$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Найдём скорость груза через $4$ секунды после начала колебаний: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ $$v=0.6 \cdot \sin \frac{2 \pi\cdot 4}{12}=0.3\sqrt{3}$$
Тогда кинетическая энергия груза через $4$ секунды после начала колебаний равна: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ $$E=\frac{0.06\cdot (0.3\sqrt{3})^2}{2}=0.0081$$
20
Двигаясь со скоростью $v=4 \space м/с ,$ трактор тащит сани с силой $F=54 \space кН,$ направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле: $$N=Fv\cos \alpha$$Найдите, при каком угле $\alpha$ эта мощность будет равна $108\space кВт.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$N=Fv\cos \alpha$$ $$108=54\cdot 4 \cos \alpha$$ $$\cos \alpha = 0.5$$ $$\alpha = 60$$
20
Двигаясь со скоростью $v=3 \space м/с ,$ трактор тащит сани с силой $F=50\space кН,$ направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле: $$N=Fv\cos \alpha$$Найдите, при каком угле $\alpha$ эта мощность будет равна $75\space кВт.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$N=Fv\cos \alpha$$ $$75=50\cdot 3 \cos \alpha$$ $$\cos \alpha = 0.5$$ $$\alpha = 60$$
20
Двигаясь со скоростью $v=5 \space м/с ,$ трактор тащит сани с силой $F=60\space кН,$ направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле: $$N=Fv\cos \alpha$$Найдите, при каком угле $\alpha$ эта мощность будет равна $150\space кВт.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$N=Fv\cos \alpha$$ $$150=60\cdot 5 \cos \alpha$$ $$\cos \alpha = 0.5$$ $$\alpha = 60$$
20
ва тела, массой $m=2 \space кг$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=10 \space м/с$ под углом $2 \alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в $м/с.$ Найдите, под каким наименьшим углом должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $50$ джоулей.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ $$50 = 2\cdot 10^2 \sin^2 \alpha$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}$$ $$\sin \alpha = \frac{1}{2}$$ $$\alpha = 30$$ $$2 \alpha = 60$$
20
Два тела, массой $m=3 \space кг$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=14 \space м/с$ под углом $2 \alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в $м/с.$ Найдите, под каким наименьшим углом должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $441$ джоулей.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ $$441= 3\cdot 14^2 \sin^2 \alpha$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{441}{588} = \frac{3}{4}$$ $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\alpha = 60$$ $$2 \alpha = 120$$
20
Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\space 400 \space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $4 \space км?$ Ответ дайте в метрах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$4=\sqrt{\frac{6\space 400h}{500}}$$ $$16=\frac{6\space 400h}{500}$$ $$6\space 400h = 8\space 000$$ $$h=1.25$$
20
Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\space 400 \space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $68 \space км?$ Ответ дайте в метрах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$68=\sqrt{\frac{6\space 400h}{500}}$$ $$4 \space624=\frac{6\space 400h}{500}$$ $$6\space 400h = 2\space 312 \space 000$$ $$h=361.25$$
20
Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\space 400 \space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $20 \space км?$ Ответ дайте в метрах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$20=\sqrt{\frac{6\space 400h}{500}}$$ $$400=\frac{6\space 400h}{500}$$ $$6\space 400h = 200\space 000$$ $$h=31.25$$
20
Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\space 400 \space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $12 \space км?$ Ответ дайте в метрах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$12=\sqrt{\frac{6\space 400h}{500}}$$ $$144=\frac{6\space 400h}{500}$$ $$6\space 400h = 72\space 000$$ $$h=11.25$$
20
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 10^5 \space Па \cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\frac{5}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $3.2\cdot 10^6 \space Па.$
Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$3.2\cdot 10^6V^{\frac{5}{3}} = 10^5$$ $$32\cdot V^{\frac{5}{3}} =1$$ $$V^{\frac{5}{3}}=\frac{1}{32}$$ $$(\sqrt[3]{V})^5=\Big(\frac{1}{2}\Big)^5$$ $$\sqrt[3]{V} = \frac{1}{2}$$ $$V =\frac{1}{8} = 0.125$$
20
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 2.5 \cdot 10^5 \space Па \cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\frac{4}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $4\cdot 10^6 \space Па.$
Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$4\cdot 10^6V^{\frac{4}{3}} = 2.5 \cdot 10^5$$ $$40\cdot V^{\frac{4}{3}} =2.5$$ $$V^{\frac{4}{3}}=\frac{1}{16}$$ $$(\sqrt[3]{V})^4=\Big(\frac{1}{2}\Big)^4$$ $$\sqrt[3]{V} = \frac{1}{2}$$ $$V =\frac{1}{8} = 0.125$$
20
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 5 \cdot 10^3 \space Па \cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\frac{5}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $1.6\cdot 10^5 \space Па.$
Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$1.6\cdot 10^5V^{\frac{5}{3}} = 5 \cdot 10^3$$ $$160\cdot V^{\frac{5}{3}} =5$$ $$V^{\frac{5}{3}}=\frac{1}{32}$$ $$(\sqrt[3]{V})^5=\Big(\frac{1}{2}\Big)^5$$ $$\sqrt[3]{V} = \frac{1}{2}$$ $$V =\frac{1}{8} = 0.125$$
20
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=2 \cdot 10^{-6}\space Ф.$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=5\cdot 10^6\space Ом.$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=16 \space кВ.$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением: $$t=\alpha RC \log_2 \frac{U_0}{U}$$ где $\alpha = 0.7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $21 \space с.$ Ответ дайте в киловольтах.
Из формулы выразим логарифм: $$\log_2 \frac{U_0}{U}=\frac{t}{\alpha RC}$$
Подставим все известные значения переменных и найдем напряжение: $$\log_2 \frac{16}{U}=\frac{21}{0.7 \cdot 5\cdot 10^6 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}$$ $$\log_2 \frac{16}{U}=3$$ $$U=2$$
20
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=5 \cdot 10^{-6}\space Ф.$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=6\cdot 10^6\space Ом.$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=24 \space кВ.$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением: $$t=\alpha RC \log_2 \frac{U_0}{U}$$ где $\alpha = 0.7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $42 \space с.$ Ответ дайте в киловольтах.
Из формулы выразим логарифм: $$\log_2 \frac{U_0}{U}=\frac{t}{\alpha RC}$$
Подставим все известные значения переменных и найдем напряжение: $$\log_2 \frac{24}{U}=\frac{42}{0.7 \cdot 6\cdot 10^6 \cdot 5 \cdot 10^{-6}}$$ $$\log_2 \frac{24}{U}=2$$ $$U=6$$
20
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=5 \cdot 10^{-6}\space Ф.$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=8\cdot 10^6\space Ом.$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=24 \space кВ.$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением: $$t=\alpha RC \log_2 \frac{U_0}{U}$$ где $\alpha = 0.7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $56 \space с.$ Ответ дайте в киловольтах.
Из формулы выразим логарифм: $$\log_2 \frac{U_0}{U}=\frac{t}{\alpha RC}$$
Подставим все известные значения переменных и найдем напряжение: $$\log_2 \frac{24}{U}=\frac{56}{0.7 \cdot 5\cdot 10^6 \cdot 8 \cdot 10^{-6}}$$ $$\log_2 \frac{24}{U}=2$$ $$U=6$$
20
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v=3$ моля воздуха объемом $V_1=8 \space л,$ медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением: $$A=\alpha vT \log_2 \frac{V_1}{V_2}$$ где $\alpha=5.75 \space \frac{Дж}{моль \cdot K}$ — постоянная, а $T=300 \space K$ — температура воздуха. Найдите, какой объем $V_2$ станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $10 \space 350 \space Дж.$
Выразим логарифм из формулы и, подставив известные значения переменных, произведем расчеты: $$\log_2 \frac{V_1}{V_2} = \frac{A}{\alpha vT}$$
$$\log_2 \frac{8}{V_2} = \frac{10 \space 350}{5.75 \cdot 3 \cdot 300}$$ $$\log_2 \frac{8}{V_2} = 2$$ $$V_2 =2$$
20
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v=3$ моля воздуха объемом $V_1=24 \space л,$ медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением: $$A=\alpha vT \log_2 \frac{V_1}{V_2}$$ где $\alpha=5.75 \space \frac{Дж}{моль \cdot K}$ — постоянная, а $T=300 \space K$ — температура воздуха. Найдите, какой объем $V_2$ станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $15 \space 525 \space Дж.$
Выразим логарифм из формулы и, подставив известные значения переменных, произведем расчеты: $$\log_2 \frac{V_1}{V_2} = \frac{A}{\alpha vT}$$
$$\log_2 \frac{24}{V_2} = \frac{15 \space 525}{5.75 \cdot 3 \cdot 300}$$ $$\log_2 \frac{24}{V_2} = 3$$ $$V_2 =3$$
20