6. Простейшие уравнения: Показательные уравнения
Найдите корень уравнения: $$5^{x+6}=125$$
Представим число $125$ как $5$ в степени $3$:$$5^{x+6}=5^3$$
Основания одинаковые, значит, степени будут равны: $$x+6=3$$ $$x=-3$$
Найдите корень уравнения: $$3^{x-6}=729$$
Представим число $729$ как $3$ в степени $6$:$$3^{x-6}=3^6$$
Основания одинаковые, значит, степени будут равны: $$x-6=6$$ $$x=12$$
Найдите корень уравнения: $$5^{x-40}=625$$
Представим число $625$ как $5$ в степени $4$:$$5^{x-40}=5^4$$
Основания одинаковые, значит, степени будут равны: $$x-40=4$$ $$x=44$$
Найдите корень уравнения: $$6^{2x-12}=36$$
Представим число $36$ как $6$ в степени $2$:$$6^{2x-12}=6^2$$
Основания одинаковые, значит, степени будут равны: $$2x-12=2$$ $$x=7$$
Найдите корень уравнения: $$2^{3x+8}=256$$
Представим число $256$ как $2$ в степени $8$:$$2^{3x+8}=2^8$$
Основания одинаковые, значит, степени будут равны: $$3x+8=8$$ $$x=0$$
Найдите корень уравнения: $$2^{x+2}=\frac{1}{64}$$
Представим число $\frac{1}{64}$ как $2$ в степени $-6$:$$2^{x+2}=2^{-6}$$
Основания одинаковые, значит, степени будут равны: $$x+2=-6$$ $$x=-8$$
Найдите корень уравнения: $$16^{x-5}=\frac{1}{64}$$
Представим число $16$ как $4$ в степени $2$, а число $\frac{1}{64}$ как $4$ в степени $-3$:$$(4^2)^{x-5}=4^{-3}$$ $$4^{2x-10}=4^{-3}$$
Основания одинаковые, значит, степени будут равны: $$2x-10=-3$$ $$2x=7$$ $$x=3.5$$
Найдите корень уравнения: $$\Big(\frac{1}{7}\Big)^{5-7x}=49$$
Представим число $49$ как $\frac{1}{7}$ в степени $-2$:$$\Big(\frac{1}{7}\Big)^{5-7x}=\Big(\frac{1}{7}\Big)^{-2}$$
Основания одинаковые, значит, степени будут равны: $$5-7x=-2$$ $$x=1$$
Найдите корень уравнения: $$\Big(\frac{1}{2}\Big)^{x+2}=\frac{1}{16}$$
Представим число $\frac{1}{16}$ как $\frac{1}{2}$ в степени $4$:$$\Big(\frac{1}{2}\Big)^{x+2}=\Big(\frac{1}{2}\Big)^4$$
Основания одинаковые, значит, степени будут равны: $$x+2=4$$ $$x=2$$
Найдите корень уравнения: $$\Big(\frac{1}{4}\Big)^{x+5}=256$$
Представим число $256$ как $\frac{1}{4}$ в степени $-4$:$$\Big(\frac{1}{4}\Big)^{x+5}=\Big(\frac{1}{4}\Big)^{-4}$$
Основания одинаковые, значит, степени будут равны: $$x+5=-4$$ $$x=-9$$