19. Числа и их свойства: Числовые наборы на карточках и досках

а) Да. Пример:
$$14\,976 + 32 = 15\,008$$

Ответ: да.

б) Нет. Сумма цифр набора: $1+2+3+4+6+7+9=32$. Сумма цифр $94\,358$ равна $29$. Поскольку $32-29=3$ не кратно $9$ (каждый перенос уменьшает сумму цифр на $9$), такой суммы достичь невозможно.

Ответ: нет.

в) Максимальная сумма достигается при:
$$976\,432 + 1 = 976\,433$$
Доказательство:

1. Одно число должно быть шестизначным (сумма двух пятизначных $<200\,000$)
2. Шестизначное число должно иметь цифры в порядке убывания
3. Единицу выгоднее использовать в однозначном числе

Ответ: $976\,433$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $976\,433$.

а) Да. Пример:

• Цифры: $1$, $0$, $9$
• $A = 109$
• $B = 90$, $C = 19$
• $90 + 19 = 109$

Ответ: да.

б) Нет. Обоснование:

1. Если $B$ и $C$ кратны $3$, то $A$ должно быть кратно $3$
2. Для трехзначного $A$ с цифрами $a$, $b$, $c$:

• Если $B$ и $C$ содержат одну общую цифру (например, $a$), то:
  $$A = (10a + b) + (10a + c) = 20a + b + c \neq 100a + 10b + c$$
• Если $B$ и $C$ не содержат общих цифр, то одна цифра $A$ не используется в $B$ и $C$

Ответ: нет.

в) Максимальное $A = 189$. Пример:

• Цифры: $1$, $8$, $9$
• $A = 189$
• $B = 98$, $C = 91$
• $98 + 91 = 189$

Доказательство максимальности:

1. Ограничение: $B + C \leq 99 + 99 = 198$
2. Для $A \geq 190$ потребовалось бы $B, C \geq 90$, но тогда:

• Либо $B = C = 99$ ⇒ $A = 198$ (но цифры $9$, $9$, $0$ не удовлетворяют условию)
• Либо другие комбинации дают $A < 189$

Ответ: $189$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $189$.

а) Да. Пример:

• $A = 150$
• $B = 15$ (зачеркнута последняя цифра)
• $C = 10$ (зачеркнута средняя цифра)
• $15 \times 10 = 150$

Ответ: да.

б) Нет. Обоснование:

Минимальное произведение $B \cdot C$ при зачеркивании цифр:

Если зачеркнуть первую цифру: $B, C \geq 40$

Если оставить первую цифру: $B, C \geq 40$

$40 \times 40 = 1600 > 500 > A$

Ответ: нет.

в) Наибольшее $A = 810$. Пример:

• $A = 810$
• $B = 81$ (зачеркнута последняя цифра)
• $C = 10$ (зачеркнута средняя цифра)
• $81 \times 10 = 810$

Доказательство максимальности:

1. Для $A > 810$ ($811-899$):

• Если сохранять цифру $8$: $B, C \geq 80$ ⇒ $B \cdot C \geq 6400 > 900$
• Если не сохранять $8$: $A$ должно быть квадратом ($28^2=784$, $29^2=841$, $30^2=900$), но $841 \neq 41^2$

Ответ: $810$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $810$.

а) Да, возможно. Например, возьмем $25$ чисел с суммой $333$ (например, числа от $1$ до $24$ и $33$):
$$1 + 2 + \ldots + 24 + 33 = \frac{24 \cdot 25}{2} + 33 = 300 + 33 = 333$$
Среднее:
$$\frac{333}{25} = 13.32$$
Дробная часть равна $0.32$.

Ответ: да.

б) Нет. Пусть среднее равно $x + 0.32$, где $x$ — целое. Тогда сумма чисел:
$$S = n(x + 0.32) = nx + 0.32n$$
Так как $S$ должно быть целым, то $0.32n = \dfrac{8n}{25}$ должно быть целым. Наименьшее $n$, при котором это выполняется — $25$.

Ответ: нет.

в) Минимальное среднее достигается при минимальной сумме чисел. Для $n=25$ минимальная сумма:
$$1 + 2 + \ldots + 25 = \frac{25 \cdot 26}{2} = 325$$
Но нам нужно, чтобы $0.32 \cdot 25 = 8$ добавлялось к целой части. Поэтому:
$$S = 25k + 8$$
Минимальное $k$ равно $13$ (при $k=12$ сумма $325$ слишком мала). Тогда:
$$S = 25 \cdot 13 + 8 = 333$$
Среднее:
$$\frac{333}{25} = 13.32$$

Ответ: $13.32$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $13.32$.

а) Проверим пары:

• $20-19=1$: $20$ делится на $1$ → нарушение
• $20-18=2$: $20$ делится на $2$ → нарушение
• $19-18=1$: $19$ делится на $1$ → нарушение

Ответ: нет.

б) По принципу Дирихле среди $25$ чисел найдутся два с одинаковым остатком по модулю $17$. Их разность $d$ кратна $17$. По условию:

1. Ни одно число не делится на $d$ (выполнено, так как все числа $\leq 99 < 2\cdot17$)
2. Ни одно число не делит $d$ (нарушение, так как $17$ делит $d$)

Ответ: нет.

в) Рассмотрим множество нечетных чисел ${35,37,…,99}$:

• Количество: $33$ числа
• Любая разность $b-a\geq2$ и чётная
• Условия выполняются:

1. Все числа нечетные, не делятся на четную разность
2. Разности $<65$, а числа $\geq35$, поэтому числа не делят разности

Попытка добавить 34-е число приводит к нарушению условий.

Ответ: $33$.

Итоговые ответы:
а) нет;
б) нет;
в) $33$.