19. Числа и их свойства: #194449

а) Да, возможно. Например, возьмем $25$ чисел с суммой $333$ (например, числа от $1$ до $24$ и $33$):
$$1 + 2 + \ldots + 24 + 33 = \frac{24 \cdot 25}{2} + 33 = 300 + 33 = 333$$
Среднее:
$$\frac{333}{25} = 13.32$$
Дробная часть равна $0.32$.

Ответ: да.

б) Нет. Пусть среднее равно $x + 0.32$, где $x$ — целое. Тогда сумма чисел:
$$S = n(x + 0.32) = nx + 0.32n$$
Так как $S$ должно быть целым, то $0.32n = \dfrac{8n}{25}$ должно быть целым. Наименьшее $n$, при котором это выполняется — $25$.

Ответ: нет.

в) Минимальное среднее достигается при минимальной сумме чисел. Для $n=25$ минимальная сумма:
$$1 + 2 + \ldots + 25 = \frac{25 \cdot 26}{2} = 325$$
Но нам нужно, чтобы $0.32 \cdot 25 = 8$ добавлялось к целой части. Поэтому:
$$S = 25k + 8$$
Минимальное $k$ равно $13$ (при $k=12$ сумма $325$ слишком мала). Тогда:
$$S = 25 \cdot 13 + 8 = 333$$
Среднее:
$$\frac{333}{25} = 13.32$$

Ответ: $13.32$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $13.32$.