ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
19. Числа и их свойства: #194451
На доске написано $N$ различных натуральных чисел, каждое $\leq 99$. Для любых двух чисел $a < b$:
- Ни одно число на доске не делится на $b-a$
- Ни одно число не является делителем $b-a$
а) Могут ли на доске быть два числа из ${18,19,20}?$
б) Если среди чисел есть $17$, может ли $N=25?$
в) Найдите максимальное возможное $N$.
а) Проверим пары:
- $20-19=1$: $20$ делится на $1$ → нарушение
- $20-18=2$: $20$ делится на $2$ → нарушение
- $19-18=1$: $19$ делится на $1$ → нарушение
Ответ: нет.
б) По принципу Дирихле среди $25$ чисел найдутся два с одинаковым остатком по модулю $17$. Их разность $d$ кратна $17$. По условию:
- Ни одно число не делится на $d$ (выполнено, так как все числа $\leq 99 < 2\cdot17$)
- Ни одно число не делит $d$ (нарушение, так как $17$ делит $d$)
Ответ: нет.
в) Рассмотрим множество нечетных чисел ${35,37,…,99}$:
- Количество: $33$ числа
- Любая разность $b-a\geq2$ и чётная
- Условия выполняются:
- Все числа нечетные, не делятся на четную разность
- Разности $<65$, а числа $\geq35$, поэтому числа не делят разности
Попытка добавить 34-е число приводит к нарушению условий.
Ответ: $33$.
Итоговые ответы:
а) нет;
б) нет;
в) $33$.
20