19. Числа и их свойства: #194407

а) Да. Пример:

• Цифры: $1$, $0$, $9$
• $A = 109$
• $B = 90$, $C = 19$
• $90 + 19 = 109$

Ответ: да.

б) Нет. Обоснование:

1. Если $B$ и $C$ кратны $3$, то $A$ должно быть кратно $3$
2. Для трехзначного $A$ с цифрами $a$, $b$, $c$:

• Если $B$ и $C$ содержат одну общую цифру (например, $a$), то:
  $$A = (10a + b) + (10a + c) = 20a + b + c \neq 100a + 10b + c$$
• Если $B$ и $C$ не содержат общих цифр, то одна цифра $A$ не используется в $B$ и $C$

Ответ: нет.

в) Максимальное $A = 189$. Пример:

• Цифры: $1$, $8$, $9$
• $A = 189$
• $B = 98$, $C = 91$
• $98 + 91 = 189$

Доказательство максимальности:

1. Ограничение: $B + C \leq 99 + 99 = 198$
2. Для $A \geq 190$ потребовалось бы $B, C \geq 90$, но тогда:

• Либо $B = C = 99$ ⇒ $A = 198$ (но цифры $9$, $9$, $0$ не удовлетворяют условию)
• Либо другие комбинации дают $A < 189$

Ответ: $189$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $189$.