18. Задача с параметром: уравнение окружности

Преобразуем первое уравнение. Рассмотрим два случая:

$1$ случай:
$$x -5y + 5 \geq 0$$ $$x^2 + 5x + y^2 -y -(x -5y + 5) = 52$$ $$x^2 + 4x + y^2 + 4y -57 = 0$$ $$(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 65$$ Получили окружность $\omega_1$ с центром $O_1(-2;-2)$ и радиусом $R = \sqrt{65}$.

$2$ случай:
$$x -5y + 5 \leq 0$$ $$x^2 + 5x + y^2 -y + (x -5y + 5) = 52$$ $$x^2 + 6x + y^2 -6y -47 = 0$$ $$(x + 3)^2 + (y -3)^2 = 65$$

Получили окружность $\omega_2$ с центром $O_2(-3;3)$ и радиусом $R = \sqrt{65}.$

Обе окружности проходят через точки $A(-10;-1)$ и $B(5;2),$ которые лежат на прямой $x -5y + 5 = 0.$ Таким образом, первое уравнение задает объединение двух дуг:
$\gamma_1{:}$ часть $\omega_1,$ где $x -5y + 5 \geq 0;$
$\gamma_2{:}$ часть $\omega_2,$ где $x -5y + 5 \leq 0.$

Второе уравнение $y -2 = a(x -5)$ задает пучок прямых, проходящих через точку $B(5;2).$

Исследуем взаимное расположение прямой и дуг $\gamma_1$, $\gamma_2{:}$

$1.$ При $a = \dfrac{1}{5}$ прямая совпадает с прямой $AB$ и проходит через обе точки $A$ и $B,$ давая $2$ решения.

$2.$ Найдем значения $a,$ при которых прямая касается окружностей:

Для $\omega_1{:}$ расстояние от $O_1(-2;-2)$ до прямой $y -2 = a(x- 5)$ равно $R = \sqrt{65}$
Для $\omega_2{:}$ расстояние от $O_2(-3;3)$ до прямой $y- 2 = a(x -5)$ равно $R = \sqrt{65}$

Уравнение прямой: $y = a(x -5) + 2$ или $ax -y -5a + 2 = 0.$

Для $\omega_1{:}$

$\dfrac{|a(-2) -(-2) -5a + 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$
$\dfrac{| -2a + 2 -5a + 2 |}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$
$\dfrac{| -7a + 4 |}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$

Для $\omega_2{:}$

$\dfrac{|a(-3) -3 -5a + 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$
$\dfrac{| -3a- 3 -5a + 2 |}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$
$\dfrac{| -8a -1 |}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$

Решая эти уравнения, находим критические значения параметра:

$a = -\dfrac{7}{4},$ $a = 8$

$3.$ Анализ интервалов:

При $a < -\dfrac{7}{4}{:}$ прямая пересекает обе дуги в двух точках каждая $(3$ решения$)$
При $a = -\dfrac{7}{4}{:}$ касание $\gamma_1$, пересечение $\gamma_2$ в двух точках $(2$ решения$)$
При $-\dfrac{7}{4} < a < \dfrac{1}{5}{:}$ пересечение $\gamma_2$ в двух точках, $\gamma_1$ в одной точке $(2$ решения$).$
При $a = \dfrac{1}{5}{:}$ прямая проходит через точки $A$ и $B$ $(2$ решения$).$
При $\dfrac{1}{5} < a < 8{:}$ пересечение $\gamma_1$ в двух точках, $\gamma_2$ в одной точке $(2$ решения$).$
При $a = 8{:}$ касание $\gamma_2,$ пересечение $\gamma_1$ в двух точках $(2$ решения$).$
При $a > 8{:}$ прямая пересекает обе дуги в двух точках каждая $(3$ решения$).$

Ответ: $-\dfrac{7}{4} < a < 8$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$ \sqrt{2xy+a} = x+y+5 \Rightarrow \begin{cases} x+y+5 \geq 0, \ 2xy+a = (x+y+5)^2. \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение: $$ 2xy+a = x^2 + 2xy + y^2 + 10x + 10y + 25 $$ $$ a = x^2 + y^2 + 10x + 10y + 25 $$

Выделим полные квадраты: $$x^2 + 10x = (x+5)^2- 25, \quad y^2 + 10y = (y+5)^2- 25 $$ $$ a = (x+5)^2 + y+5)^2- 25$$

Таким образом, система принимает вид: $$ \begin{cases} x+y+5 \geq 0, \ (x+5)^2 + (y+5)^2 = a + 25 \end{cases} $$

Рассмотрим геометрическую интерпретацию:

Неравенство $x+y+5 \geq 0$ задает полуплоскость над прямой $x+y+5=0.$
Уравнение $(x+5)^2 + (y+5)^2 = a + 25$ при $a > -25$ задает окружность с центром в точке $O(-5;-5)$ и радиусом $R = \sqrt{a+25}.$


Уравнение не имеет решений в двух случаях:

$1.$ Если окружность не существует: $a + 25 < 0 \Rightarrow a < -25.$

$2.$ Если окружность существует ($a \geq -25$), но не пересекается с полуплоскостью $x+y+5 \geq 0.$

Найдем расстояние от центра окружности $O(-5;-5)$ до прямой $x+y+5=0{:}$
$$d = \dfrac{|-5 -5 +5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$$

Окружность не пересекает полуплоскость, если ее радиус меньше этого расстояния:
$$\sqrt{a+25} < \dfrac{5}{\sqrt{2}} \Rightarrow a+25 < \dfrac{25}{2} \Rightarrow a < -\dfrac{25}{2}$$

Учитывая оба случая, получаем:$$a < -\frac{25}{2}$$

Ответ: $a < -12,5.$

Преобразуем первое уравнение. Рассмотрим три случая:

$1.$ $x > 0{:}$ $|x| = x$
$x(x^2 + y^2- y- 2) = x(y- 2)$
Так как $x > 0,$ разделим на $x{:}$
$x^2 + y^2- y- 2 = y- 2$
$x^2 + y^2- 2y = 0$
$x^2 + (y- 1)^2 = 1$
Получили окружность с центром $(0;1)$ и радиусом $1.$

$2.$ $x = 0{:}$ Уравнение обращается в тождество $0 = 0,$ поэтому все точки на оси $OY$ являются решениями.

$3.$ $x < 0{:}$ $|x| = -x$
$x(x^2 + y^2- y- 2) = -x(y- 2)$
Так как $x < 0,$ разделим на $x{:}$
$x^2 + y^2- y- 2 = -y + 2$
$x^2 + y^2- 4 = 0$
$x^2 + y^2 = 4$
Получили окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $2.$

Таким образом, первое уравнение задает объединение:
— Дуги $\omega_1{:}$ часть окружности $x^2 + (y-1)^2 = 1$ при $x > 0$
— Оси $OY{:}$ $x = 0$
— Дуги $\omega_2{:}$ часть окружности $x^2 + y^2 = 4$ при $x < 0$

Второе уравнение $y = x + a$ задает прямую с угловым коэффициентом $1,$ параллельную прямой $y = x.$

Исследуем пересечение прямой $y = x + a$ с каждой частью:

$1.$ Пересечение с осью $OY$ ($x = 0$): $y = a.$ Всегда одна точка пересечения $(0;a).$

$2.$ Пересечение с дугой $\omega_1$ $($ $x > 0){:}$
Подставим $y = x + a$ в $x^2 + (y-1)^2 = 1{:}$
$x^2 + (x + a- 1)^2 = 1$
$x^2 + x^2 + 2(a-1)x + (a-1)^2 = 1$
$2x^2 + 2(a-1)x + (a-1)^2- 1 = 0$
$2x^2 + 2(a-1)x + a(a-2) = 0$
$x^2 + (a-1)x + \dfrac{a(a-2)}{2} = 0$

$3.$ Пересечение с дугой $\omega_2$ $($ $x < 0){:}$
Подставим $y = x + a$ в $x^2 + y^2 = 4{:}$
$x^2 + (x + a)^2 = 4$
$x^2 + x^2 + 2ax + a^2 = 4$
$2x^2 + 2ax + a^2- 4 = 0$
$x^2 + ax + \dfrac{a^2- 4}{2} = 0$

Для того чтобы система имела ровно три решения, возможны следующие случаи:

$1.$ Прямая пересекает ось $OY$ и имеет одно пересечение с $\omega_1$ и одно с $\omega_2$

$2.$ Прямая пересекает ось $OY$ и имеет два пересечения с одной дугой и одно с другой

Анализируя дискриминанты и условия на $x,$ получаем критические значения:
$a = 1- \sqrt{2},$ $a = 0,$ $a = 2,$ $a = 2\sqrt{2}$

После анализа интервалов получаем ответ.

Ответ: $a = 1- \sqrt{2}$; $0 \leq a < 2$; $2 < a < 2\sqrt{2}.$

Преобразуем систему:

$$ \begin{cases}16-y^2 \geq 0 \\ 16-y^2 = 16-a^2x^2 \\ x^2 + y^2- 6x- 4y = 0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-4 \leq y \leq 4 \\ y^2 = a^2x^2 \\ (x-3)^2 + (y-2)^2 = 13\end{cases} $$

Из $y^2 = a^2x^2$ следует $y = ax$ или $y = -ax.$

Уравнение $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 13$ задает окружность с центром в точке $(3;2)$ и радиусом $\sqrt{13}.$

Точка $(0;0)$ является решением при любом $a,$ так как удовлетворяет обоим уравнениям.

Найдем другие точки пересечения прямых $y = \pm ax$ с окружностью.

Подставим $y = ax$ в уравнение окружности:
$$ (x-3)^2 + (ax-2)^2 = 13 $$ $$ x^2- 6x + 9 + a^2x^2- 4ax + 4 = 13 $$ $$ (1+a^2)x^2- (6+4a)x + 13 = 13 $$ $$ (1+a^2)x^2- (6+4a)x = 0 $$ $$ x[(1+a^2)x- (6+4a)] = 0 $$ Корни: $x = 0$ и $x = \dfrac{6+4a}{1+a^2}.$

Аналогично для $y = -ax{:}$ $$ (x-3)^2 + (-ax-2)^2 = 13 $$ $$ x^2- 6x + 9 + a^2x^2 + 4ax + 4 = 13 $$ $$ (1+a^2)x^2- (6-4a)x + 13 = 13 $$ $$ (1+a^2)x^2- (6-4a)x = 0 $$ $$ x[(1+a^2)x- (6-4a)] = 0 $$ Корни: $x = 0$ и $x = \dfrac{6-4a}{1+a^2}.$

Таким образом, система имеет три потенциальных решения:

$x = 0,$ $y = 0$ (общая для обеих прямых)
$x = \dfrac{6+4a}{1+a^2},$ $y = a \cdot \dfrac{6+4a}{1+a^2}$ (для прямой $y = ax$)
$x = \dfrac{6-4a}{1+a^2},$ $y = -a \cdot \dfrac{6-4a}{1+a^2}$ (для прямой $y = -ax$)


Учитывая ограничение $-4 \leq y \leq 4,$ получаем условия на $a.$

После анализа всех случаев получаем ответ.

Ответ: $(-\infty; -\dfrac{3}{2}) \cup (-\dfrac{3}{2}; -\dfrac{2}{3}) \cup (0; 0) \cup (\dfrac{2}{3}; \dfrac{3}{2}) \cup (\dfrac{3}{2}; +\infty).$

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая.

Если $x^2 + y^2 > 1,$ то, раскрывая модуль, находим:

$$ 2x- 2y- 2 = x^2 + y^2- 1 \Leftrightarrow x^2- 2x + y^2 + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow (x- 1)^2 + (y + 1)^2 = 1. $$

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке $O_1(1; -1)$ и радиусом $1.$

Если $x^2 + y^2 \leq 1,$ то $$ 2x- 2y- 2 = 1- x^2- y^2 \Leftrightarrow x^2 + 2x + y^2- 2y- 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)^2 + (y- 1)^2 = 5. $$

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке $O_2(-1; 1)$ и радиусом $\sqrt{5}.$

Эти окружности пересекаются в двух точках $A(1; 0)$ и $B(0; -1),$ лежащих на окружности $x^2 + y^2 = 1,$ поэтому в первом случае получаем дугу $\omega_1$ с концами в точках $A$ и $B,$ во втором — дугу $\omega_2$ с концами в тех же точках (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую $m,$ которая проходит через точку $A$ и угловой коэффициент которой равен $a.$

При $a = 1$ прямая $m$ проходит через точки $A$ и $B,$ то есть исходная система имеет два решения.

При $a = 2$ прямая $m$ перпендикулярна прямой $O_2A,$ угловой коэффициент которой равен $-\dfrac{1}{2},$ значит, прямая $m$ касается дуги $\omega_2$ в точке $A$ и пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках $($одна из которых — точка $A),$ то есть исходная система имеет два решения.

При $1 < a < 2$ прямая $m$ пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке $A$ и еще в одной точке, отличной от точки $B,$ то есть исходная система имеет три решения.

При $0 \leq a < 1$ прямая $m$ не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках, отличных от точки $A,$ то есть исходная система имеет одно решение.

При $a < 0$ или $a > 2$ прямая $m$ пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках и не пересекает дугу $\omega_2$ в точках, отличных от точки $A,$ то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $1 < a < 2.$

Ответ: $1 < a < 2.$

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

$1.$ Если $x > 0,$ то получаем уравнение

$$ x(x^2 + y^2 + y- x- 2) = x(x^2 + y^2- y + x) \Leftrightarrow 2y- 2x- 2 = 0 \Leftrightarrow y = x + 1. $$

Полученное уравнение задает прямую $y = x + 1.$

$2.$ Если $x = 0,$ то координаты любой точки прямой $x = 0$ удовлетворяют уравнению.

$3.$ Если $x < 0,$ то получаем уравнение

$$ x(x^2 + y^2 + y- x- 2) = x(y- x- x^2- y^2) \Leftrightarrow 2x^2 + 2y^2- 2 = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 1. $$

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом $1.$

Таким образом, в первом случае мы получаем луч $r$ с началом в точке $A(0; 1),$ во втором — прямую $l,$ задаваемую уравнением $x = 0,$ в третьем — дугу $o$ окружности $x^2 + y^2 = 1$ с концами в точках $A$ и $B(0; -1)$ (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении $a$ оно задает прямую $m,$ которая проходит через точку $(-2; 0)$ и угловой коэффициент которой равен $a.$

Прямые $m$ проходят через точки $B$ и $A$ при $a = -\dfrac{1}{2}$ и $a = \dfrac{1}{2}$ соответственно.

При $a = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ и $a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ прямые $m$ касаются дуги $o.$

Таким образом, прямая $m$ пересекает прямую $l$ при любом значении $a,$ пересекает луч $r$ при $\dfrac{1}{2} < a < 1,$ имеет одну общую точку с дугой $o$ при $a = -\dfrac{\sqrt{3}}{3},$ $-\dfrac{1}{2} < a < \dfrac{1}{2}$ и $a = \dfrac{\sqrt{3}}{3},$ имеет две общие точки с дугой $o$ при $-\dfrac{\sqrt{3}}{3} < a < -\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{1}{2} < a < \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой $l,$ луча $r$ и дуги $o$ с прямой $m.$ Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при

$$ -\dfrac{\sqrt{3}}{3} < a < -\dfrac{1}{2}; \quad a = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $$

Ответ: $-\dfrac{\sqrt{3}}{3} < a < -\dfrac{1}{2};$ $a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$