18. Задача с параметром: #212211

Преобразуем первое уравнение. Рассмотрим три случая:

$1.$ $x > 0{:}$ $|x| = x$
$x(x^2 + y^2- y- 2) = x(y- 2)$
Так как $x > 0,$ разделим на $x{:}$
$x^2 + y^2- y- 2 = y- 2$
$x^2 + y^2- 2y = 0$
$x^2 + (y- 1)^2 = 1$
Получили окружность с центром $(0;1)$ и радиусом $1.$

$2.$ $x = 0{:}$ Уравнение обращается в тождество $0 = 0,$ поэтому все точки на оси $OY$ являются решениями.

$3.$ $x < 0{:}$ $|x| = -x$
$x(x^2 + y^2- y- 2) = -x(y- 2)$
Так как $x < 0,$ разделим на $x{:}$
$x^2 + y^2- y- 2 = -y + 2$
$x^2 + y^2- 4 = 0$
$x^2 + y^2 = 4$
Получили окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $2.$

Таким образом, первое уравнение задает объединение:
— Дуги $\omega_1{:}$ часть окружности $x^2 + (y-1)^2 = 1$ при $x > 0$
— Оси $OY{:}$ $x = 0$
— Дуги $\omega_2{:}$ часть окружности $x^2 + y^2 = 4$ при $x < 0$

Второе уравнение $y = x + a$ задает прямую с угловым коэффициентом $1,$ параллельную прямой $y = x.$

Исследуем пересечение прямой $y = x + a$ с каждой частью:

$1.$ Пересечение с осью $OY$ ($x = 0$): $y = a.$ Всегда одна точка пересечения $(0;a).$

$2.$ Пересечение с дугой $\omega_1$ $($ $x > 0){:}$
Подставим $y = x + a$ в $x^2 + (y-1)^2 = 1{:}$
$x^2 + (x + a- 1)^2 = 1$
$x^2 + x^2 + 2(a-1)x + (a-1)^2 = 1$
$2x^2 + 2(a-1)x + (a-1)^2- 1 = 0$
$2x^2 + 2(a-1)x + a(a-2) = 0$
$x^2 + (a-1)x + \dfrac{a(a-2)}{2} = 0$

$3.$ Пересечение с дугой $\omega_2$ $($ $x < 0){:}$
Подставим $y = x + a$ в $x^2 + y^2 = 4{:}$
$x^2 + (x + a)^2 = 4$
$x^2 + x^2 + 2ax + a^2 = 4$
$2x^2 + 2ax + a^2- 4 = 0$
$x^2 + ax + \dfrac{a^2- 4}{2} = 0$

Для того чтобы система имела ровно три решения, возможны следующие случаи:

$1.$ Прямая пересекает ось $OY$ и имеет одно пересечение с $\omega_1$ и одно с $\omega_2$

$2.$ Прямая пересекает ось $OY$ и имеет два пересечения с одной дугой и одно с другой

Анализируя дискриминанты и условия на $x,$ получаем критические значения:
$a = 1- \sqrt{2},$ $a = 0,$ $a = 2,$ $a = 2\sqrt{2}$

После анализа интервалов получаем ответ.

Ответ: $a = 1- \sqrt{2}$; $0 \leq a < 2$; $2 < a < 2\sqrt{2}.$