18. Задача с параметром: #212207

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$ \sqrt{2xy+a} = x+y+5 \Rightarrow \begin{cases} x+y+5 \geq 0, \ 2xy+a = (x+y+5)^2. \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение: $$ 2xy+a = x^2 + 2xy + y^2 + 10x + 10y + 25 $$ $$ a = x^2 + y^2 + 10x + 10y + 25 $$

Выделим полные квадраты: $$x^2 + 10x = (x+5)^2- 25, \quad y^2 + 10y = (y+5)^2- 25 $$ $$ a = (x+5)^2 + y+5)^2- 25$$

Таким образом, система принимает вид: $$ \begin{cases} x+y+5 \geq 0, \ (x+5)^2 + (y+5)^2 = a + 25 \end{cases} $$

Рассмотрим геометрическую интерпретацию:

Неравенство $x+y+5 \geq 0$ задает полуплоскость над прямой $x+y+5=0.$
Уравнение $(x+5)^2 + (y+5)^2 = a + 25$ при $a > -25$ задает окружность с центром в точке $O(-5;-5)$ и радиусом $R = \sqrt{a+25}.$


Уравнение не имеет решений в двух случаях:

$1.$ Если окружность не существует: $a + 25 < 0 \Rightarrow a < -25.$

$2.$ Если окружность существует ($a \geq -25$), но не пересекается с полуплоскостью $x+y+5 \geq 0.$

Найдем расстояние от центра окружности $O(-5;-5)$ до прямой $x+y+5=0{:}$
$$d = \dfrac{|-5 -5 +5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$$

Окружность не пересекает полуплоскость, если ее радиус меньше этого расстояния:
$$\sqrt{a+25} < \dfrac{5}{\sqrt{2}} \Rightarrow a+25 < \dfrac{25}{2} \Rightarrow a < -\dfrac{25}{2}$$

Учитывая оба случая, получаем:$$a < -\frac{25}{2}$$

Ответ: $a < -12,5.$