18. Задача с параметром: #212235

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая.

Если $x^2 + y^2 > 1,$ то, раскрывая модуль, находим:

$$ 2x- 2y- 2 = x^2 + y^2- 1 \Leftrightarrow x^2- 2x + y^2 + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow (x- 1)^2 + (y + 1)^2 = 1. $$

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке $O_1(1; -1)$ и радиусом $1.$

Если $x^2 + y^2 \leq 1,$ то $$ 2x- 2y- 2 = 1- x^2- y^2 \Leftrightarrow x^2 + 2x + y^2- 2y- 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)^2 + (y- 1)^2 = 5. $$

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке $O_2(-1; 1)$ и радиусом $\sqrt{5}.$

Эти окружности пересекаются в двух точках $A(1; 0)$ и $B(0; -1),$ лежащих на окружности $x^2 + y^2 = 1,$ поэтому в первом случае получаем дугу $\omega_1$ с концами в точках $A$ и $B,$ во втором — дугу $\omega_2$ с концами в тех же точках (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую $m,$ которая проходит через точку $A$ и угловой коэффициент которой равен $a.$

При $a = 1$ прямая $m$ проходит через точки $A$ и $B,$ то есть исходная система имеет два решения.

При $a = 2$ прямая $m$ перпендикулярна прямой $O_2A,$ угловой коэффициент которой равен $-\dfrac{1}{2},$ значит, прямая $m$ касается дуги $\omega_2$ в точке $A$ и пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках $($одна из которых — точка $A),$ то есть исходная система имеет два решения.

При $1 < a < 2$ прямая $m$ пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке $A$ и еще в одной точке, отличной от точки $B,$ то есть исходная система имеет три решения.

При $0 \leq a < 1$ прямая $m$ не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках, отличных от точки $A,$ то есть исходная система имеет одно решение.

При $a < 0$ или $a > 2$ прямая $m$ пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках и не пересекает дугу $\omega_2$ в точках, отличных от точки $A,$ то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $1 < a < 2.$

Ответ: $1 < a < 2.$