18. Задача с параметром: #212236

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

$1.$ Если $x > 0,$ то получаем уравнение

$$ x(x^2 + y^2 + y- x- 2) = x(x^2 + y^2- y + x) \Leftrightarrow 2y- 2x- 2 = 0 \Leftrightarrow y = x + 1. $$

Полученное уравнение задает прямую $y = x + 1.$

$2.$ Если $x = 0,$ то координаты любой точки прямой $x = 0$ удовлетворяют уравнению.

$3.$ Если $x < 0,$ то получаем уравнение

$$ x(x^2 + y^2 + y- x- 2) = x(y- x- x^2- y^2) \Leftrightarrow 2x^2 + 2y^2- 2 = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 1. $$

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом $1.$

Таким образом, в первом случае мы получаем луч $r$ с началом в точке $A(0; 1),$ во втором — прямую $l,$ задаваемую уравнением $x = 0,$ в третьем — дугу $o$ окружности $x^2 + y^2 = 1$ с концами в точках $A$ и $B(0; -1)$ (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении $a$ оно задает прямую $m,$ которая проходит через точку $(-2; 0)$ и угловой коэффициент которой равен $a.$

Прямые $m$ проходят через точки $B$ и $A$ при $a = -\dfrac{1}{2}$ и $a = \dfrac{1}{2}$ соответственно.

При $a = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ и $a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ прямые $m$ касаются дуги $o.$

Таким образом, прямая $m$ пересекает прямую $l$ при любом значении $a,$ пересекает луч $r$ при $\dfrac{1}{2} < a < 1,$ имеет одну общую точку с дугой $o$ при $a = -\dfrac{\sqrt{3}}{3},$ $-\dfrac{1}{2} < a < \dfrac{1}{2}$ и $a = \dfrac{\sqrt{3}}{3},$ имеет две общие точки с дугой $o$ при $-\dfrac{\sqrt{3}}{3} < a < -\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{1}{2} < a < \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой $l,$ луча $r$ и дуги $o$ с прямой $m.$ Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при

$$ -\dfrac{\sqrt{3}}{3} < a < -\dfrac{1}{2}; \quad a = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $$

Ответ: $-\dfrac{\sqrt{3}}{3} < a < -\dfrac{1}{2};$ $a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$