18. Задача с параметром: #212204

Преобразуем первое уравнение. Рассмотрим два случая:

$1$ случай:
$$x -5y + 5 \geq 0$$ $$x^2 + 5x + y^2 -y -(x -5y + 5) = 52$$ $$x^2 + 4x + y^2 + 4y -57 = 0$$ $$(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 65$$ Получили окружность $\omega_1$ с центром $O_1(-2;-2)$ и радиусом $R = \sqrt{65}$.

$2$ случай:
$$x -5y + 5 \leq 0$$ $$x^2 + 5x + y^2 -y + (x -5y + 5) = 52$$ $$x^2 + 6x + y^2 -6y -47 = 0$$ $$(x + 3)^2 + (y -3)^2 = 65$$

Получили окружность $\omega_2$ с центром $O_2(-3;3)$ и радиусом $R = \sqrt{65}.$

Обе окружности проходят через точки $A(-10;-1)$ и $B(5;2),$ которые лежат на прямой $x -5y + 5 = 0.$ Таким образом, первое уравнение задает объединение двух дуг:
$\gamma_1{:}$ часть $\omega_1,$ где $x -5y + 5 \geq 0;$
$\gamma_2{:}$ часть $\omega_2,$ где $x -5y + 5 \leq 0.$

Второе уравнение $y -2 = a(x -5)$ задает пучок прямых, проходящих через точку $B(5;2).$

Исследуем взаимное расположение прямой и дуг $\gamma_1$, $\gamma_2{:}$

$1.$ При $a = \dfrac{1}{5}$ прямая совпадает с прямой $AB$ и проходит через обе точки $A$ и $B,$ давая $2$ решения.

$2.$ Найдем значения $a,$ при которых прямая касается окружностей:

Для $\omega_1{:}$ расстояние от $O_1(-2;-2)$ до прямой $y -2 = a(x- 5)$ равно $R = \sqrt{65}$
Для $\omega_2{:}$ расстояние от $O_2(-3;3)$ до прямой $y- 2 = a(x -5)$ равно $R = \sqrt{65}$

Уравнение прямой: $y = a(x -5) + 2$ или $ax -y -5a + 2 = 0.$

Для $\omega_1{:}$

$\dfrac{|a(-2) -(-2) -5a + 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$
$\dfrac{| -2a + 2 -5a + 2 |}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$
$\dfrac{| -7a + 4 |}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$

Для $\omega_2{:}$

$\dfrac{|a(-3) -3 -5a + 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$
$\dfrac{| -3a- 3 -5a + 2 |}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$
$\dfrac{| -8a -1 |}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{65}$

Решая эти уравнения, находим критические значения параметра:

$a = -\dfrac{7}{4},$ $a = 8$

$3.$ Анализ интервалов:

При $a < -\dfrac{7}{4}{:}$ прямая пересекает обе дуги в двух точках каждая $(3$ решения$)$
При $a = -\dfrac{7}{4}{:}$ касание $\gamma_1$, пересечение $\gamma_2$ в двух точках $(2$ решения$)$
При $-\dfrac{7}{4} < a < \dfrac{1}{5}{:}$ пересечение $\gamma_2$ в двух точках, $\gamma_1$ в одной точке $(2$ решения$).$
При $a = \dfrac{1}{5}{:}$ прямая проходит через точки $A$ и $B$ $(2$ решения$).$
При $\dfrac{1}{5} < a < 8{:}$ пересечение $\gamma_1$ в двух точках, $\gamma_2$ в одной точке $(2$ решения$).$
При $a = 8{:}$ касание $\gamma_2,$ пересечение $\gamma_1$ в двух точках $(2$ решения$).$
При $a > 8{:}$ прямая пересекает обе дуги в двух точках каждая $(3$ решения$).$

Ответ: $-\dfrac{7}{4} < a < 8$.