19. Задача с параметром: #212224

Преобразуем систему:

$$ \begin{cases}16-y^2 \geq 0 \\ 16-y^2 = 16-a^2x^2 \\ x^2 + y^2- 6x- 4y = 0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-4 \leq y \leq 4 \\ y^2 = a^2x^2 \\ (x-3)^2 + (y-2)^2 = 13\end{cases} $$

Из $y^2 = a^2x^2$ следует $y = ax$ или $y = -ax.$

Уравнение $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 13$ задает окружность с центром в точке $(3;2)$ и радиусом $\sqrt{13}.$

Точка $(0;0)$ является решением при любом $a,$ так как удовлетворяет обоим уравнениям.

Найдем другие точки пересечения прямых $y = \pm ax$ с окружностью.

Подставим $y = ax$ в уравнение окружности:
$$ (x-3)^2 + (ax-2)^2 = 13 $$ $$ x^2- 6x + 9 + a^2x^2- 4ax + 4 = 13 $$ $$ (1+a^2)x^2- (6+4a)x + 13 = 13 $$ $$ (1+a^2)x^2- (6+4a)x = 0 $$ $$ x[(1+a^2)x- (6+4a)] = 0 $$ Корни: $x = 0$ и $x = \dfrac{6+4a}{1+a^2}.$

Аналогично для $y = -ax{:}$ $$ (x-3)^2 + (-ax-2)^2 = 13 $$ $$ x^2- 6x + 9 + a^2x^2 + 4ax + 4 = 13 $$ $$ (1+a^2)x^2- (6-4a)x + 13 = 13 $$ $$ (1+a^2)x^2- (6-4a)x = 0 $$ $$ x[(1+a^2)x- (6-4a)] = 0 $$ Корни: $x = 0$ и $x = \dfrac{6-4a}{1+a^2}.$

Таким образом, система имеет три потенциальных решения:

$x = 0,$ $y = 0$ (общая для обеих прямых)
$x = \dfrac{6+4a}{1+a^2},$ $y = a \cdot \dfrac{6+4a}{1+a^2}$ (для прямой $y = ax$)
$x = \dfrac{6-4a}{1+a^2},$ $y = -a \cdot \dfrac{6-4a}{1+a^2}$ (для прямой $y = -ax$)


Учитывая ограничение $-4 \leq y \leq 4,$ получаем условия на $a.$

При $a=0$ обе прямые совпадают с осью $OX$. Получаем два решения: $(0;0)$ и $(6;0)$, поэтому значение $a=0$ необходимо включить в ответ.

Ответ: $(-\infty; -\dfrac{3}{2}) \cup (-\dfrac{3}{2}; -\dfrac{2}{3}) \cup \{0\} \cup (\dfrac{2}{3}; \dfrac{3}{2}) \cup (\dfrac{3}{2}; +\infty).$