16. Финансовая математика: Вклады
Вклад в размере $10$ млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает размер вклада на $10\%.$ Кроме того, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $x$ млн руб., где $x$ — целое число. Найдите наименьшее значение $x$, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше $7$ млн руб.
Рассчитаем начисления по годам:
- 1 год:
Начальная сумма: $10$ млн руб.
Начислено: $10\cdot0.1=1$ млн руб.
Итог: $10+1=11$ млн руб. - 2 год:
Начальная сумма: $11$ млн руб.
Начислено: $11\cdot0.1=1.1$ млн руб.
Итог: $11+1.1=12.1$ млн руб. - 3 год:
Пополнение: $x$ млн руб.
Начальная сумма: $12.1+x$ млн руб.
Начислено: $(12.1+x)\cdot0.1=1.21+0.1x$ млн руб.
Итог: $12.1+x+1.21+0.1x=13.31+1.1x$ млн руб. - 4 год:
Пополнение: $x$ млн руб.
Начальная сумма: $13.31+1.1x+x=13.31+2.1x$ млн руб.
Начислено: $(13.31+2.1x)\cdot0.1=1.331+0.21x$ млн руб.
Общая сумма начислений:
$$1+1.1+1.21+0.1x+1.331+0.21x=4.641+0.31x\text{ млн руб.}$$
Решим неравенство:
$$4.641+0.31x>7$$
$$0.31x>2.359$$
$$x>\dfrac{2359}{310}$$
$$x>7\dfrac{189}{310}$$
Наименьшее целое $x$, удовлетворяющее условию: $8.$
Ответ: $8$
20
По вкладу $«А»$ банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на $20\%$ сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу $«Б»$ увеличивает на $22\%$ в конце каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу $«Б»,$ при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада $«А».$
Вклад «А»:
- Начальная сумма: $S$
- Через $3$ года: $S\cdot1.2^3=1.728S$
Вклад «Б»:
- Первые $2$ года: $S\cdot1.22^2=1.4884S$
- $3$-й год: $1.4884S\cdot(1+0.01x)$, где $x$ — искомый процент
Условие выгодности вклада «Б»:
$$1.4884S\cdot(1+0.01x)>1.728S$$
$$1+0.01x>\dfrac{1.728}{1.4884}$$
$$0.01x>\dfrac{1.728}{1.4884}-1$$
$$x>100\cdot\left(\dfrac{1.728-1.4884}{1.4884}\right)$$
$$x>100\cdot\dfrac{0.2396}{1.4884}$$
$$x>\dfrac{23.96}{1.4884}\approx16.1$$
Наименьшее целое значение $x$, удовлетворяющее условию: $17.$
Ответ: $17.$
20
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на $10\%$ по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $10$ млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше $15$ млн рублей.
Обозначим:
- Первоначальный вклад: $S$ млн руб. ($S$ — целое число)
- Пополнения: $+10$ млн руб. в начале $3$-го и $4$-го годов
Пошаговый расчет:
- Конец 1-го года: $1.1S$
- Конец 2-го года: $1.21S$
- Начало 3-го года: $1.21S + 10$
- Конец 3-го года: $1.331S + 11$
- Начало 4-го года: $1.331S + 21$
- Конец 4-го года: $1.4641S + 23.1$
Общие начисления за 4 года:
$$(1.4641S + 23.1) -S -20 < 15$$
$$0.4641S + 3.1 < 15$$
$$0.4641S < 11.9$$
$$S < \frac{11.9}{0.4641} \approx 25.64$$
Наибольшее целое значение $S$:
$$S = 25$$
Проверка для $S=25$:
- Итоговый вклад: $1.4641 \times 25 + 23.1 \approx 59.7$ млн руб.
- Общие начисления: $59.7 -25 -20 = 14.7$ млн руб. $(<15)$
Для $S=26$:
- Итоговый вклад: $1.4641 \times 26 + 23.1 \approx 61.2$ млн руб.
- Общие начисления: $61.2 -26 -20 = 15.2$ млн руб. $(>15)$
Ответ: $25.$
20
Планируется открыть вклад на $4$ года, положив на счёт целое число миллионов рублей. В конце каждого года сумма увеличивается на $10\%,$ а в начале третьего и четвёртого года вклад пополняется на $3$ миллиона рублей. Найдите наименьший первоначальный вклад, при котором начисленные проценты за весь срок будут более $5$ миллионов рублей.
Обозначения:
- Первоначальный вклад: $x$ млн руб. ($x$ — целое число)
- Пополнения: $+3$ млн руб. в начале $3$-го и $4$-го годов
Пошаговый расчёт:
- Конец 1-го года: $1.1x$
- Конец 2-го года: $1.21x$
- Начало 3-го года: $1.21x+3$
- Конец 3-го года: $1.331x+3.3$
- Начало 4-го года: $1.331x+6.3$
- Конец 4-го года: $1.4641x+6.93$
Суммарные начисления:
$$(1.4641x+6.93)-(x+6)=0.4641x+0.93$$
Неравенство для начислений:
$$0.4641x+0.93>5$$
$$0.4641x>4.07$$
$$x>\frac{4.07}{0.4641}\approx8.77$$
Наименьшее целое значение $x$:
$$x=9$$
Проверка:
- Для $x=9$:
$$0.4641\cdot9+0.93\approx5.11>5$$ - Для $x=8$:
$$0.4641\cdot8+0.93\approx4.64<5$$
Ответ: $9.$
20
Вклад в размере $10$ млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на $10\%$ по сравнению с его размером в начале года, а в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на фиксированную целую сумму (в млн рублей). Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад составит не менее $30$ млн рублей.
Обозначения:
- Первоначальный вклад: $10$ млн руб.
- Годовой процент: $10\%$
- Пополнение: $x$ млн руб. (целое число) в начале $3$-го и $4$-го годов
Пошаговый расчёт:
- Конец 1-го года: $10\times1.1=11$ млн руб.
- Конец 2-го года: $11\times1.1=12.1$ млн руб.
- Начало 3-го года: $12.1+x$ млн руб.
- Конец 3-го года: $(12.1+x)\times1.1=13.31+1.1x$ млн руб.
- Начало 4-го года: $13.31+1.1x+x=13.31+2.1x$ млн руб.
- Конец 4-го года: $(13.31+2.1x)\times1.1=14.641+2.31x$ млн руб.
Неравенство для итоговой суммы:
$$14.641+2.31x\geq30$$
$$2.31x\geq15.359$$
$$x\geq\frac{15.359}{2.31}\approx6.648$$
Наименьшее целое значение $x$:
$$x=7$$
Проверка:
- Для $x=7$:
$$14.641+2.31\times7=14.641+16.17=30.811\geq30$$ - Для $x=6$:
$$14.641+2.31\times6=14.641+13.86=28.501<30$$
Ответ: $7.$
20