12. Наибольшее и наименьшее значение функций: Исследование показательных функций

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-e^{x+8}+(8-x)e^{x+8}$$ $$f'(x)=e^{x+8}(7-x)$$ Найдем нули производной: $$e^{x+8}(7-x)=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но $e^{x+8}$ при любом значении $x$ будет больше нуля. Значит: $$7-x=0$$ $$x=7$$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $7$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(8-x)e^{x+8}.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-2)e^{x-2}+(x-2)^2e^{x-2}$$ $$f'(x)=e^{x-2}(2(x-2)+(x-2)^2)$$ $$f'(x)=e^{x-2}(x-2)(2+x-2)$$ $$f'(x)=e^{x-2}(x-2)x$$ Найдем нули производной: $$e^{x-2}(x-2)x=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=2$$ На отрезке $[1;4]$ лежит только точка $x=2.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;4],$ $f'(x)<0$ на промежутке $[1;2).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $2$ — это точка минимума функции на отрезке $[1;4].$

Найдем значение функции $y=(x-2)^2e^{x-2}$ в данной точке: $$y=(2-2)^2e^{2-2}=0$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-15)e^{x-15}+(x-15)^2e^{x-15}$$ $$f'(x)=e^{x-15}(2(x-15)+(x-15)^2)$$ $$f'(x)=e^{x-15}(x-15)(15+x-15)$$ $$f'(x)=e^{x-15}(x-15)x$$ Найдем нули производной: $$e^{x-15}(x-15)x=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=15$$ На отрезке $[13.5;24]$ лежит только точка $x=15.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(15;24],$ $f'(x)<0$ на промежутке $[13.5;15).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $15$ — это точка минимума функции на отрезке $[13.5;15].$

Найдем значение функции $y=(x-15)^2e^{x-15}$ в данной точке: $$y=(15-15)^2e^{15-15}=0$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=(2x-10)e^{5-x}-(x^2-10x+10)e^{5-x}$$ $$f'(x)=e^{5-x}(-x^2+12x-20)$$ Найдем нули производной: $$e^{5-x}(-x^2+12x-20)=0$$ $$x^2-12x+20=0$$ $$x_1=2$$ $$x_2=10$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;10),$ $f'(x)<0$ на промежутках $(-\infty;2)\cup(10;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $10$ — это точка максимума функции $y=(x^2-10x+10)e^{5-x} .$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=(10x-35)e^{13-x}-(5x^2-35x+35)e^{13-x}$$ $$f'(x)=e^{13-x}(-5x^2+45x-70)$$ Найдем нули производной: $$e^{13-x}(-5x^2+45x-70)=0$$ $$x^2-9x+14=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=2$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;7),$ $f'(x)<0$ на промежутках $(-\infty;2)\cup(7;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $7$ — это точка максимума функции $y=(5x^2-35x+35)e^{13-x} .$