12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167273

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=(10x-35)e^{13-x}-(5x^2-35x+35)e^{13-x}$$ $$f'(x)=e^{13-x}(-5x^2+45x-70)$$ Найдем нули производной: $$e^{13-x}(-5x^2+45x-70)=0$$ $$x^2-9x+14=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=2$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;7),$ $f'(x)<0$ на промежутках $(-\infty;2)\cup(7;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $7$ — это точка максимума функции $y=(5x^2-35x+35)e^{13-x} .$