12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167268
Найдите точку максимума функции $y=(11-x)e^{x+11}.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-e^{x+11}+(11-x)e^{x+11}$$ $$f'(x)=e^{x+11}(10-x)$$ Найдем нули производной: $$e^{x+11}(10-x)=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но $e^{x+11}$ при любом значении $x$ будет больше нуля. Значит: $$10-x=0$$ $$x=10$$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $10$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(11-x)e^{x+11}.$