12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167272

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=(2x-10)e^{5-x}-(x^2-10x+10)e^{5-x}$$ $$f'(x)=e^{5-x}(-x^2+12x-20)$$ Найдем нули производной: $$e^{5-x}(-x^2+12x-20)=0$$ $$x^2-12x+20=0$$ $$x_1=2$$ $$x_2=10$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;10),$ $f'(x)<0$ на промежутках $(-\infty;2)\cup(10;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $10$ — это точка максимума функции $y=(x^2-10x+10)e^{5-x} .$