12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167267

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-e^{x+8}+(8-x)e^{x+8}$$ $$f'(x)=e^{x+8}(7-x)$$ Найдем нули производной: $$e^{x+8}(7-x)=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но $e^{x+8}$ при любом значении $x$ будет больше нуля. Значит: $$7-x=0$$ $$x=7$$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $7$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(8-x)e^{x+8}.$