12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167270

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-15)e^{x-15}+(x-15)^2e^{x-15}$$ $$f'(x)=e^{x-15}(2(x-15)+(x-15)^2)$$ $$f'(x)=e^{x-15}(x-15)(2+x-15)$$ $$f'(x)=e^{x-15}(x-15)(x-13)$$ Найдем нули производной: $$e^{x-15}(x-15)(x-13)=0$$ $$x_1=13$$ $$x_2=15$$ На отрезке $[13.5;24]$ лежит только точка $x=15.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(15;24],$ $f'(x)<0$ на промежутке $[13.5;15).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $15$ — это точка минимума функции на отрезке $[13.5;15].$

Найдем значение функции $y=(x-15)^2e^{x-15}$ в данной точке: $$y=(15-15)^2e^{15-15}=0$$