ЕГЭ
Назад
Библиотека флеш-карточек Создать флеш-карточки
Библиотека тестов Создать тест
Математика Английский язык Тренажёры для мозга ЕГЭ Русский язык Чтение Биология Всеобщая история Окружающий мир
Классы
Темы
Математика Алгебра Геометрия ОГЭ Физика География Химия Биология Всеобщая история История России Обществознание Русский язык Литература ЕГЭ Английский язык
Подобрать занятие
Классы
Темы

12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167269

Задание #167269
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-2)^2e^{x-2}$$ на отрезке $[1;4].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-2)e^{x-2}+(x-2)^2e^{x-2}$$ $$f'(x)=e^{x-2}(2(x-2)+(x-2)^2)$$ $$f'(x)=e^{x-2}(x-2)(2+x-2)$$ $$f'(x)=e^{x-2}(x-2)x$$ Найдем нули производной: $$e^{x-2}(x-2)x=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=2$$ На отрезке $[1;4]$ лежит только точка $x=2.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;4],$ $f'(x)<0$ на промежутке $[1;2).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $2$ — это точка минимума функции на отрезке $[1;4].$

Найдем значение функции $y=(x-2)^2e^{x-2}$ в данной точке: $$y=(2-2)^2e^{2-2}=0$$

Показать ответ