13. Задачи по стереометрии: призма

Формула объема прямой призмы:$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$ Найдем площадь основания (прямоугольного треугольника):$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$$ Вычислим объем:$$V = 24 \cdot 5 = 120$$Объем призмы равен $120.$

Найдем второй катет по теореме Пифагора:$$b = \sqrt{(\sqrt{53})^2-2^2} = \sqrt{53-4} = 7$$Вычислим площадь основания:$$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 7 = 7$$Найдем объем призмы:$$V = S \cdot h = 7 \cdot 3 = 21$$Объем призмы равен $21.$

Формула площади прямоугольного треугольника:$$S = \frac{1}{2}ab$$Вычислим площадь основания:$$S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 5 = 27.5$$Формула объема призмы:$$V = S \cdot h$$Найдем объем призмы:$$V = 27.5 \cdot 4 = 110$$Объем призмы равен $110.$

Заметим, что у отсеченной треугольной призмы все боковые стороны в два раза меньше соответствующих боковых сторон исходной призмы, значит, площадь всей боковой поверхности будет в два раза меньше:$$S = 22:2 = 11$$

Фигура $A A_1B_1 C_1$ является пирамидой. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$$

$$V = \frac{1}{3}\cdot 5\cdot 6=10$$

Объем $V$ воды в первом сосуде (правильная треугольная призма) равен произведению площади основания на высоту уровня воды:
$$V = S_1 \cdot h_1$$где $S_1$ — площадь основания первого сосуда, $h_1 = 80\ см$ — высота уровня воды.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна:
$$S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$$
Пусть сторона основания первого сосуда равна $a,$ тогда:
$$S_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

Объем воды:
$$V = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot 80$$

Во втором сосуде сторона основания в $4$ раза больше, то есть $a_2 = 4a.$
Площадь его основания:
$$S_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} (4a)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16a^2 = 4\sqrt{3} a^2$$

При переливании объем воды $V$ остается неизменным.
Пусть $h_2$ — высота уровня воды во втором сосуде. Тогда:
$$V = S_2 \cdot h_2 = 4\sqrt{3} a^2 \cdot h_2$$

Приравниваем выражения для $V{:}$
$$\dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot 80 = 4\sqrt{3} a^2 \cdot h_2$$

Сокращаем общие множители $( \sqrt{3}$ и $a^2,$ предполагая $a \neq 0){:}$
$$\dfrac{1}{4} \cdot 80 = 4 \cdot h_2$$
$$20 = 4 h_2$$
$$h_2 = \dfrac{20}{4} = 5$$

Пусть исходная призма имеет объем $V = 32.$
Объем призмы вычисляется по формуле:
$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота призмы (длина бокового ребра).

Плоскость проведена через среднюю линию основания параллельно боковому ребру.
Это означает, что сечение делит основание на две части, причем отсеченная часть (также треугольная призма) имеет основание, подобное исходному, с коэффициентом подобия $k = \dfrac{1}{2}$ (так как средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$).

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому площадь основания отсеченной призмы:
$$S_{\text{отс}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{4} S_{\text{осн}}$$

Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы $h,$ так как плоскость сечения параллельна боковому ребру.

Таким образом, объем отсеченной призмы:
$$V_{\text{отс}} = S_{\text{отс}} \cdot h = \dfrac{1}{4} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{4} V$$

Подставляем значение объема исходной призмы:
$$V_{\text{отс}} = \dfrac{1}{4} \cdot 32 = 8$$