13. Задачи по стереометрии: #212457

Пусть исходная призма имеет объем $V = 32.$
Объем призмы вычисляется по формуле:
$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота призмы (длина бокового ребра).

Плоскость проведена через среднюю линию основания параллельно боковому ребру.
Это означает, что сечение делит основание на две части, причем отсеченная часть (также треугольная призма) имеет основание, подобное исходному, с коэффициентом подобия $k = \dfrac{1}{2}$ (так как средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$).

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому площадь основания отсеченной призмы:
$$S_{\text{отс}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{4} S_{\text{осн}}$$

Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы $h,$ так как плоскость сечения параллельна боковому ребру.

Таким образом, объем отсеченной призмы:
$$V_{\text{отс}} = S_{\text{отс}} \cdot h = \dfrac{1}{4} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{4} V$$

Подставляем значение объема исходной призмы:
$$V_{\text{отс}} = \dfrac{1}{4} \cdot 32 = 8$$