13. Задачи по стереометрии: #212455

Объем $V$ воды в первом сосуде (правильная треугольная призма) равен произведению площади основания на высоту уровня воды:
$$V = S_1 \cdot h_1$$где $S_1$ — площадь основания первого сосуда, $h_1 = 80\ см$ — высота уровня воды.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна:
$$S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$$
Пусть сторона основания первого сосуда равна $a,$ тогда:
$$S_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

Объем воды:
$$V = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot 80$$

Во втором сосуде сторона основания в $4$ раза больше, то есть $a_2 = 4a.$
Площадь его основания:
$$S_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} (4a)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16a^2 = 4\sqrt{3} a^2$$

При переливании объем воды $V$ остается неизменным.
Пусть $h_2$ — высота уровня воды во втором сосуде. Тогда:
$$V = S_2 \cdot h_2 = 4\sqrt{3} a^2 \cdot h_2$$

Приравниваем выражения для $V{:}$
$$\dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot 80 = 4\sqrt{3} a^2 \cdot h_2$$

Сокращаем общие множители $( \sqrt{3}$ и $a^2,$ предполагая $a \neq 0){:}$
$$\dfrac{1}{4} \cdot 80 = 4 \cdot h_2$$
$$20 = 4 h_2$$
$$h_2 = \dfrac{20}{4} = 5$$