8. МКТ и молекулярная физика: КПД тепловых машин, циклы

Анализ процессов:

$1.$ Участок $1$ (изобарное расширение):
$p = const$, $T \uparrow \Rightarrow V \uparrow.$
Работа газа $A > 0;$
$\Delta U > 0;$
$Q = A + \Delta U > 0$ (газ получает тепло).

$2.$ Участок $2$ (изотермическое расширение):
$T = const$, $p \downarrow \Rightarrow V \uparrow;$
$A > 0;$
$\Delta U = 0;$
$Q = A > 0$ (газ получает тепло).

$3.$ Участок $3$ (изобарное сжатие):
$p = const$, $T \downarrow \Rightarrow V \downarrow;$
$A < 0;$
$\Delta U < 0;$
$Q = A + \Delta U < 0$ (газ отдает тепло).

$4.$ Участок $4$ (изотермическое сжатие):
$T = const$, $p \uparrow \Rightarrow V \downarrow;$
$A < 0$ (работа газа отрицательна);
$\Delta U = 0;$
$Q = A < 0$ (газ отдает тепло).
Работа внешних сил $A_{внеш} = -A > 0.$
Выполняется $A_{внеш} = |Q|$.

Используем формулу для $КПД$ тепловой машины:
$$ \eta = 1-\frac{Q_{хол}}{Q_{нагр}} $$
где $\eta = 60\% = 0.6$ — $КПД$ машины, $Q_{хол} = 100\,\text{Дж}$ — теплота, отданная холодильнику, $Q_{нагр}$ — искомая теплота от нагревателя.

$1.$ Подставляем известные значения:$$ 0.6 = 1- \frac{100}{Q_{нагр}} $$ $2.$ Переносим слагаемые: $$ \frac{100}{Q_{нагр}} = 1-0.6 $$ $$ \frac{100}{Q_{нагр}} = 0.4 $$ $3.$ Находим $Q_{нагр}{:}$ $$ Q_{нагр} = \frac{100}{0.4} = 250\,\text{Дж} $$

$1.$ Используем формулу $КПД$ тепловой машины:
$$ \eta = 1 -\frac{Q_{хол}}{Q_{нагр}} $$ $2.$ Подставляем известные значения ($\eta = 0.4$, $Q_{хол} = 60\,\text{Дж}){:}$ $$ 0.4 = 1- \frac{60}{Q_{нагр}} $$ $3.$ Решаем уравнение: $$ \frac{60}{Q_{нагр}} = 0.6 $$ $$ Q_{нагр} = \frac{60}{0.6} = 100\,\text{Дж} $$

Используем формулу для $КПД$ тепловой машины:
$$ \eta = 1- \frac{Q_{\text{хол}}}{Q_{\text{нагр}}} $$ где:
$Q_{\text{нагр}} = 100\,\text{Дж}$ — количество теплоты, полученное от нагревателя.
$Q_{\text{хол}} = 40\,\text{Дж}$ — количество теплоты, отданное холодильнику.
$\eta$ — искомый коэффициент полезного действия.

$1.$ Подставляем известные значения в формулу: $$ \eta = 1- \frac{40\,\text{Дж}}{100\,\text{Дж}} $$ $2.$ Выполняем вычисления: $$ \eta = 1- 0.4 = 0.6 $$ $3.$ Переводим в проценты: $$ \eta = 0.6 \cdot 100\% = 60\% $$

Используем формулу для $КПД$ цикла Карно: $$ \eta = 1- \frac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}} \cdot 100\% $$ где:
$T_{\text{н}} = 900\,\text{К}$ — температура нагревателя.
$T_{\text{х}} = T_{\text{н}}- 300\,\text{К} = 600\,\text{К}$ — температура холодильника.

$1.$ Подставляем значения в формулу: $$ \eta = \left(1 -\frac{600}{900}\right) \cdot 100\% $$ $2.$ Вычисляем: $$ \eta = \left(1 -\frac{2}{3}\right) \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% \approx 33\% $$

$1.$ Находим температуру холодильника: $$ T_x = \frac{T_H}{2} = \frac{800}{2} = 400\,\text{К} $$ $2.$ Используем формулу $КПД$ Карно: $$ \eta = \left(1- \frac{T_x}{T_H}\right) \cdot 100\% $$ $3.$ Подставляем значения: $$ \eta = \left(1- \frac{400}{800}\right) \cdot 100\% $$ $4.$ Вычисляем: $$ \eta = 0.5 \cdot 100\% = 50\% $$

Используем формулу $КПД$ идеальной тепловой машины: $$ \eta = \left(1 — \frac{T_x}{T_H}\right) \cdot 100\% $$ $1.$ Выбираем первую строку таблицы $(T_H = 400\,\text{К}$, $\eta = 10\%):$
$$ T_x = T_H \cdot \left(1- \frac{\eta}{100\%}\right) = 400 \cdot \left(1- 0.1\right) = 360\,\text{К} $$ $2.$ Проверяем по последней строке $(T_H = 1\space000\,\text{К},$ $\eta = 64\%){:}$
$$ T_x = 1\space000 \cdot \left(1- 0.64\right) = 360\,\text{К} $$

Используем формулу $КПД$ идеальной тепловой машины: $$ \eta = \left(1 -\frac{T_x}{T_H}\right) \cdot 100\% $$ $1.$ Выбираем первую строку таблицы $(T_H = 400\,\text{К}$, $\eta = 25\%){:}$
$$ T_x = 400 \cdot \left(1-0.25\right) = 300\,\text{К} $$ $2.$ Проверяем по четвертой строке $(T_H = 800\,\text{К}$, $\eta = 62.5\%){:}$
$$ T_x = 800 \cdot \left(1- 0.625\right) = 300\,\text{К} $$

$1.$ Находим общее количество выделившейся теплоты: $$ Q = q \cdot m = 30 \cdot 50 = 1\space500\,\text{МДж} $$ $2.$ Вычисляем $КПД$ по формуле: $$ \eta = \frac{A}{Q} \cdot 100\% = \frac{135}{1\space500} \cdot 100\% $$ $3.$ Рассчитываем значение: $$ \eta = 0.09 \cdot 100\% = 9\% $$

$1.$ Находим полезную работу за $1$ минуту $(60\,\text{с}){:}$ $$ A = P \cdot t = 1\space200 \cdot 60 = 72\space000\,\text{Дж} $$ $2.$ Используем формулу $КПД$ для определения выделившейся энергии: $$ \eta = \frac{A}{Q} $$ $$ Q = \frac{A}{\eta} = \frac{72\space000}{0.03} = 2\space400\space000\,\text{Дж} $$ $3.$ Переводим в килоджоули: $$2\space400\space000\,\text{Дж} = 2\space400\,\text{кДж} $$

Основная формула $КПД$ идеальной тепловой машины: $$\eta = 1- \frac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}} $$ где $T_{\text{н}}$ — температура нагревателя, $T_{\text{х}}$ — температура холодильника.

$1.$ Для первой машины: $T_{\text{н1}} = 4T_{\text{х1}}$ $$\eta_1 = 1- \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ $2.$ Для второй машины: $T_{\text{н2}} = T_{\text{х1}}$ и $T_{\text{х2}} = \dfrac{4T_{\text{х1}}}{5}.$ $$\eta_2 = 1- \frac{4}{5} = \frac{1}{5} $$ $3.$ Сравниваем $КПД{:}$ $$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{5}} = \frac{15}{4} = 3.75$$

Основная формула $КПД$ цикла Карно: $$ \eta = 1- \frac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}} $$ где $T_{\text{н}}$ — температура нагревателя, $T_{\text{х}}$ — температура холодильника.

$1.$ Находим исходное отношение температур: $$ \eta_1 = 0.6 = 1- \frac{T_{\text{х1}}}{T_{\text{н}}} $$ $$ \frac{T_{\text{х1}}}{T_{\text{н}}} = 0.4 $$ $2.$ После изменения температуры холодильника: $$ T_{\text{х2}} = 1.5 T_{\text{х1}} $$ $$ \eta_2 = 1 -\frac{1.5 T_{\text{х1}}}{T_{\text{н}}} = 1- 1.5 \cdot0.4 = 0.4 $$
$3.$ Переводим в проценты: $$ \eta_2 = 40\% $$