Практика к уроку «Вписанные и центральные углы»

{"questions":[{"content":"Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O.$  <br />Найдите угол $BOC,$ если угол $BAC$ равен $34^\\circ.$[[image-25]][[fill_choice_big-62]]","widgets":{"image-25":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-62":{"type":"fill_choice_big","options":["$68^\\circ$","$32^\\circ$","$16^\\circ$","$45^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вписанный угол $BAC$ опирается на дугу $BC.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle BAC = \\dfrac{1}{2} \\breve{BC}$$<br />где $\\breve{BC}$ — градусная мера дуги $BC,$ не содержащей точку $A.$<br /><br />$2)$ Подставим известное значение:<br />$$34^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{BC}$$<br />Отсюда находим меру дуги $BC{:}$<br />$$\\breve{BC} = 2 \\cdot 34^\\circ = 68^\\circ$$<br />$3)$ Центральный угол $BOC$ опирается на ту же дугу $BC.$ По свойству центрального угла:<br />$$\\angle BOC = \\breve{BC}$$<br />$4)$ Следовательно:<br />$$\\angle BOC = 68^\\circ$$<br />Ответ: $68^\\circ.$"]},{"content":"Найдите центральный угол $AOB,$ если он на $20^\\circ$ больше вписанного угла $ACB,$ опирающегося на ту же дугу.[[image-169]][[fill_choice_big-214]]","widgets":{"image-169":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr2.svg","width":"300"},"fill_choice_big-214":{"type":"fill_choice_big","options":["$40^\\circ$","$60^\\circ$","$20^\\circ$","$10^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим вписанный угол $ACB$ через $x.$ Тогда центральный угол $AOB$ равен $x + 20^\\circ.$<br /><br />$2)$ По свойству углов в окружности: центральный угол, опирающийся на дугу, в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.<br />$$\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle ACB$$<br />$3)$ Подставим выражения через $x{:}$<br />$$x + 20^\\circ = 2x$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$20^\\circ = 2x- x$$$$x = 20^\\circ$$<br />$5)$ Найдем центральный угол:<br />$$\\angle AOB = x + 20^\\circ = 20^\\circ + 20^\\circ = 40^\\circ$$<br />Ответ: $40^\\circ.$"]},{"content":"Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?[[fill_choice_big-444]]","widgets":{"image-391":{"type":"image","url":""},"fill_choice_big-444":{"type":"fill_choice_big","options":["$30^\\circ$","$60^\\circ$","$45^\\circ$","$20^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Пусть хорда $AB$ равна радиусу окружности $R.$ Рассмотрим центральный угол $AOB,$ опирающийся на эту хорду. Треугольник $AOB$ равносторонний, так как $OA = OB = R$ и $AB = R.$<br /><br />$2)$ В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\\circ.$ Следовательно, центральный угол:<br />$$\\angle AOB = 60^\\circ$$<br />$3)$ Вписанный угол $ACB,$ опирающийся на ту же дугу $AB,$ равен половине центрального угла, опирающегося на эту дугу:<br />$$\\angle ACB = \\dfrac{1}{2} \\angle AOB = \\dfrac{1}{2} \\cdot 60^\\circ = 30^\\circ$$<br />$4)$ Угол $30^\\circ$ является острым, что удовлетворяет условию задачи.<br /><br />Ответ: $30^\\circ.$"]},{"content":"Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?[[fill_choice_big-650]]","widgets":{"fill_choice_big-650":{"type":"fill_choice_big","options":["$150^\\circ$","$30^\\circ$","$45^\\circ$","$120^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Пусть хорда $AB$ равна радиусу окружности $R.$ Рассмотрим центральный угол $AOB,$ опирающийся на эту хорду. Треугольник $AOB$ равносторонний, так как $OA = OB = R$ и $AB = R.$<br /><br />$2)$ В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\\circ.$ Следовательно, центральный угол:<br />$$\\angle AOB = 60^\\circ$$<br />$3)$ Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $AB,$ может быть двух типов:<br />- Если вершина $C$ лежит на одной дуге (меньшей), то вписанный угол острый и равен $30^\\circ.$<br />- Если вершина $C$ лежит на противоположной дуге (большей), то вписанный угол будет тупым.<br /><br />$4)$ Дуга $AB,$ на которую опирается центральный угол $60^\\circ,$ имеет градусную меру $60^\\circ.$ Тогда противоположная дуга $ADB$ имеет меру:<br />$$360^\\circ- 60^\\circ = 300^\\circ$$<br />$5)$ Вписанный угол, опирающийся на дугу $300^\\circ,$ равен половине ее градусной меры:<br />$$\\angle ACB = \\dfrac{300^\\circ}{2} = 150^\\circ$$<br />$6)$ Угол $150^\\circ$ является тупым, что удовлетворяет условию задачи.<br /><br />Ответ: $150^\\circ.$"]},{"content":"Центральный угол на $39^\\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.[[image-812]][[fill_choice_big-877]]","widgets":{"image-812":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-877":{"type":"fill_choice_big","options":["$39^\\circ$","$78^\\circ$","$60^\\circ$","$19.5^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим вписанный угол через $x.$ Тогда центральный угол равен $x + 39^\\circ.$<br /><br />$2)$ По свойству углов в окружности: центральный угол, опирающийся на дугу, в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.<br />$$\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle ACB$$<br />$3)$ Подставим выражения через $x{:}$<br />$$x + 39^\\circ = 2x$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$39^\\circ = 2x- x$$$$x = 39^\\circ$$<br />Ответ: $39^\\circ.$"]},{"content":"Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $\\dfrac{1}{6}$ окружности.[[image-25]][[fill_choice_big-32]]","widgets":{"image-25":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr4.svg","width":"300"},"fill_choice_big-32":{"type":"fill_choice_big","options":["$30^\\circ$","$40^\\circ$","$50^\\circ$","$60^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вся окружность составляет $360^\\circ.$ Дуга, равная $\\dfrac{1}{6}$ окружности, имеет градусную меру:<br />$$\\dfrac{1}{6} \\cdot 360^\\circ = 60^\\circ$$<br />$2)$ Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:<br />$$\\angle ACB = \\dfrac{1}{2} \\cdot 60^\\circ = 30^\\circ$$<br />Ответ: $30^\\circ.$"]},{"content":"Дуга окружности $AC,$ не содержащая точки $B,$ составляет $220^\\circ.$ А дуга окружности $BC,$ не содержащая точки $A,$ составляет $70^\\circ.$ Найдите вписанный угол $ACB.$[[image-1]][[fill_choice_big-4]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr4.svg","width":"300"},"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$35^\\circ$","$40^\\circ$","$30^\\circ$","$45^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Окружность делится точками $A,$ $B,$ $C$ на три дуги: $AB,$ $BC,$ $CA.$<br /><br />$2)$ Обозначим:<br />- Дуга $AB$ = $x.$<br />- Дуга $BC$ = $70^\\circ$ $($по условию, не содержащая $A ).$<br />- Дуга $CA$ = $220^\\circ$ $($по условию, не содержащая $B ).$<br /><br />$3)$ Сумма всех трех дуг равна $360^\\circ{:}$<br />$$x + 70^\\circ + 220^\\circ = 360^\\circ$$$$x + 290^\\circ = 360^\\circ$$$$x = 70^\\circ$$<br />$4)$ Таким образом, дуга $AB$ равна $70^\\circ.$<br /><br />$5)$ Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB$ и равен ее половине:<br />$$\\angle ACB = \\dfrac{1}{2} \\cdot 70^\\circ = 35^\\circ$$<br />Ответ: $35^\\circ.$"]},{"content":"Хорда $AB$ делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как $4 : 8.$ Под каким углом видна эта хорда из точки $C,$ принадлежащей меньшей дуге окружности?[[image-161]][[fill_choice_big-172]]","widgets":{"image-161":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr4.svg","width":"300"},"fill_choice_big-172":{"type":"fill_choice_big","options":["$120^\\circ$","$100^\\circ$","$80^\\circ$","$95^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Хорда $AB$ делит окружность на две дуги. Пусть меньшая дуга $AB$ имеет меру $4k,$ а большая дуга $AB$ имеет меру $8k.$<br /><br />$2)$ Сумма этих дуг равна полной окружности:<br />$$4k + 8k = 360^\\circ$$$$12k = 360^\\circ$$$$k = 30^\\circ$$<br />$3)$ Меньшая дуга $AB$ равна:<br />$$4k = 4 \\cdot 30^\\circ = 120^\\circ$$<br />$4)$ Точка $C$ принадлежит меньшей дуге окружности, то есть дуге $AB$ мерой $120^\\circ .$<br /><br />$5)$ Дуга $AB,$ на которую опирается угол $ACB,$ равна:<br />$$360^\\circ- 120^\\circ = 240^\\circ$$<br />$6)$ Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:<br />$$\\angle ACB = \\dfrac{1}{2} \\cdot 240^\\circ = 120^\\circ$$<br />Ответ: $120^\\circ.$"]},{"content":"В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры.  <br />Вписанный угол $ACB$ равен $33^\\circ.$ Найдите центральный угол $AOD.$[[fill_choice_big-325]][[image-420]]","widgets":{"fill_choice_big-325":{"type":"fill_choice_big","options":["$114^\\circ $","$98^\\circ $","$104^\\circ $","$115^\\circ $"],"placeholder":0,"answer":0},"image-420":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr5.svg","width":"300"}},"hints":["$1)$ Угол $ACB$ — вписанный, опирающийся на дугу $AB.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle ACB = \\dfrac{1}{2} \\breve{AB}$$где $\\breve{AB}$ — градусная мера дуги $AB.$<br />$$33^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{AB} \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{AB} = 66^\\circ$$<br />$2)$ Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры, значит, они проходят через центр $O$ и делят окружность на равные части по $180^\\circ.$<br /><br />$3)$ Центральный угол $AOD$ опирается на дугу $AD.$ Найдем меру дуги $AD{:}$ $$180^\\circ-66^\\circ=114^\\circ$$<br />$4)$ Центральный угол равен дуге, на которую опирается, значит: $$\\angle AOD = 114^\\circ$$<br />Ответ: $114^\\circ.$"]},{"content":"В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $100^\\circ.$ Найдите вписанный угол $ACB.$[[image-1231]][[fill_choice_big-1377]]","widgets":{"image-1231":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr5.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1377":{"type":"fill_choice_big","options":["$40^\\circ$","$80^\\circ$","$20^\\circ$","$30^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Центральный угол $AOD$ опирается на дугу $AD.$ Следовательно, градусная мера дуги $AD$ равна $100^\\circ.$<br /><br />$2)$ Отрезок $BD$ — диаметр, значит, дуга $BAD$ составляет $180^\\circ.$ Дуга $BAD$ состоит из дуги $BA$ и дуги $AD{:}$<br />$$\\breve{BA} + \\breve{AD} = 180^\\circ$$ $$\\breve{BA} + 100^\\circ = 180^\\circ$$ $$\\breve{BA} = 80^\\circ$$<br />$3)$ Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB.$  <br />$$\\angle ACB = \\dfrac{1}{2} \\breve{AB} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 80^\\circ = 40^\\circ$$<br />Ответ: $40^\\circ.$"]},{"content":"На окружности по разные стороны от диаметра $MN$ взяты точки $K$ и $P.$ Известно, что $\\angle MNP = 42^\\circ.$ Найдите $\\angle PKN.$[[fill_choice_big-2064]]","widgets":{"fill_choice_big-2064":{"type":"fill_choice_big","options":["$48^\\circ$","$54^\\circ$","$36^\\circ$","$55^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Угол $MNP$ — вписанный, опирающийся на дугу $MP.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle MNP = \\dfrac{1}{2} \\breve{MP}$$ $$42^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{MP} \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{MP} = 84^\\circ$$<br />$2)$ Отрезок $MN$ — диаметр, значит, дуга $MKN$ (проходящая через точку $K$) составляет $180^\\circ.$ Дуга $MKN$ состоит из дуги $MK$ и дуги $KN{:}$<br />$$\\breve{MK} + \\breve{KN} = 180^\\circ$$<br />$3)$ Также дуга $MPN$ (проходящая через точку $P$) составляет $180^\\circ$ (так как $MN$ — диаметр). Дуга $MPN$ состоит из дуги $MP$ и дуги $PN{:}$<br />$$\\breve{MP} + \\breve{PN} = 180^\\circ$$<br />$$84^\\circ + \\breve{PN} = 180^\\circ \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{PN} = 96^\\circ$$<br />$4)$ Нужно найти угол $PKN.$ Это вписанный угол, опирающийся на дугу $PN$ (вершина $K$ лежит на окружности, стороны угла проходят через точки $P$ и $N,$ значит, он опирается на дугу $PN$).<br /><br />$5)$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle PKN = \\dfrac{1}{2} \\breve{PN} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 96^\\circ = 48^\\circ$$<br />Ответ: $48^\\circ.$"]},{"content":"Найдите угол $ACD,$ если вписанные углы $ABD$ и $BAE$ опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно $110^\\circ$ и $40^\\circ.$[[image-2341]][[fill_choice_big-2426]]","widgets":{"image-2341":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr6.svg","width":"300"},"fill_choice_big-2426":{"type":"fill_choice_big","options":["$35^\\circ$","$25^\\circ$","$40^\\circ$","$30^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вписанный угол $ABD$ опирается на дугу $AD.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle ABD = \\dfrac{1}{2} \\breve{AD}=55^\\circ$$<br /><br />$2)$ Вписанный угол $BAE$ опирается на дугу $BE{:}$ $$\\angle BAE= \\dfrac{1}{2} \\breve{BE}=20^\\circ$$<br />$3)$ Заметим, что углы $DBA$ и $ABC$ — смежные, значит:<br />$$\\angle ABC = 180 ^\\circ -55^\\circ = 125^\\circ$$<br />$4)$ Найдем искомый угол $C$ по сумме углов треугольника: <br />$$180 ^\\circ -125^\\circ -20^\\circ = 35^\\circ$$<br />Ответ: $35^\\circ.$"]},{"content":"Угол $ACD$ равен $39^\\circ .$ Градусная величина дуги $AD$ окружности, не содержащей точек $B$ и $E ,$ равна $130^\\circ .$ Найдите угол $BAE .$[[image-133]][[fill_choice_big-249]]","widgets":{"image-133":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr6.svg","width":"300"},"fill_choice_big-249":{"type":"fill_choice_big","options":["$26^\\circ $","$35^\\circ $","$42^\\circ $","$44^\\circ $"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вписанный угол $ABD$ опирается на дугу $AD.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle ABD = \\dfrac{1}{2} \\breve{AD}=65^\\circ$$<br /><br />$2)$ Заметим, что углы $ABD$ и $ABC$ — смежные, значит:<br />$$\\angle ABC = 180 ^\\circ -65^\\circ = 115^\\circ$$<br />$3)$ Найдем искомый угол $BAE$ по сумме углов треугольника: <br />$$180 ^\\circ -115^\\circ -39^\\circ = 26^\\circ$$<br />Ответ: $26^\\circ.$"]},{"content":"Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $72^\\circ,$ угол $CAD$ равен $41^\\circ.$ Найдите угол $ABC.$[[fill_choice_big-864]]","widgets":{"fill_choice_big-864":{"type":"fill_choice_big","options":["$113^\\circ$","$31^\\circ$","$72^\\circ$","$108^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Угол $ABD$ — вписанный, опирающийся на дугу $AD.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle ABD = \\dfrac{1}{2} \\breve{AD}$$ $$72^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{AD} \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{AD} = 144^\\circ$$<br />$2)$ Угол $CAD$ — вписанный, опирающийся на дугу $CD.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle CAD = \\dfrac{1}{2} \\breve{CD}$$ $$41^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{CD} \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{CD} = 82^\\circ$$<br />$3)$ Нужно найти угол $ABC.$ Это вписанный угол, опирающийся на дугу $AC.$ Дуга $AC$ состоит из дуги $AD$ и дуги $DC{:}$<br />$$\\breve{AC} = \\breve{AD} + \\breve{DC} = 144^\\circ + 82^\\circ = 226^\\circ$$<br />$4)$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle ABC = \\dfrac{1}{2} \\breve{AC} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 226^\\circ = 113^\\circ$$<br />Ответ: $113^\\circ.$"]},{"content":"Угол $ABD$ равен $62^\\circ.$ Угол $BCA$ равен $31^\\circ.$ Найдите вписанный угол $BCD.$[[fill_choice_big-1386]]","widgets":{"fill_choice_big-1386":{"type":"fill_choice_big","options":["$93^\\circ$","$91^\\circ$","$85^\\circ$","$31^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Угол $ABD$ — вписанный, опирающийся на дугу $AD.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle ABD = \\dfrac{1}{2} \\breve{AD}$$ $$62^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{AD} \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{AD} = 124^\\circ$$<br />$2)$ Угол $BCA$ — вписанный, опирающийся на дугу $AB.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle BCA = \\dfrac{1}{2} \\breve{AB}$$ $$31^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{AB} \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{AB} = 62^\\circ$$<br />$3)$ Нужно найти угол $BCD.$ Это вписанный угол, опирающийся на дугу $BD.$ Дуга $BD$ состоит из дуги $BA$ и дуги $AD{:}$<br />$$\\breve{BD} = \\breve{BA} + \\breve{AD} = 62^\\circ + 124^\\circ = 186^\\circ$$<br />$4)$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle BCD = \\dfrac{1}{2} \\breve{BD} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 186^\\circ = 93^\\circ$$<br />Ответ: $93^\\circ.$"]},{"content":"Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $110^\\circ,$ угол $CAD$ равен $38^\\circ.$ Найдите угол $ABD.$[[fill_choice_big-1977]]","widgets":{"fill_choice_big-1977":{"type":"fill_choice_big","options":["$72^\\circ$","$148^\\circ$","$75^\\circ$","$69^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Угол $ABC$ — вписанный, опирающийся на дугу $ADC.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle ABC = \\dfrac{1}{2} \\breve{ADC}$$ $$110^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{ADC} \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{ADC} = 220^\\circ$$<br />$2)$ Угол $CAD$ — вписанный, опирающийся на дугу $CD.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle CAD = \\dfrac{1}{2} \\breve{CD}$$ $$38^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{CD} \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{CD} = 76^\\circ$$<br />$3)$ Дуга $ADC$ состоит из дуги $AD$ и дуги $DC{:}$<br />$$\\breve{ADC} = \\breve{AD} + \\breve{DC}$$ $$220^\\circ = \\breve{AD} + 76^\\circ \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{AD} = 144^\\circ$$<br />$4)$ Угол $ABD$ — вписанный, опирающийся на дугу $AD.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle ABD = \\dfrac{1}{2} \\breve{AD} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 144^\\circ = 72^\\circ$$<br />Ответ: $72^\\circ.$"]},{"content":"Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника равен $108^\\circ.$ Найдите число вершин многоугольника.[[fill_choice_big-325]]","widgets":{},"hints":["$1)$ Внутренний угол правильного $n$-угольника вычисляется по формуле:<br />$$\\alpha = \\dfrac{180^\\circ(n- 2)}{n}$$<br />$2)$ Подставим известное значение угла $\\alpha = 108^\\circ{:}$<br />$$108^\\circ = \\dfrac{180^\\circ(n- 2)}{n}$$<br />$3)$ Умножим обе части на $n{:}$<br />$$108^\\circ \\cdot n = 180^\\circ(n- 2)$$<br />$4)$ Раскроем скобки:<br />$$108n = 180n- 360$$<br />$5)$ Перенесем слагаемые:<br />$$108n- 180n = -360$$<br />$$-72n = -360$$<br />$6)$ Разделим обе части на $-72{:}$<br />$$n = 5$$<br />Ответ: $5.$"]},{"content":"Найдите хорду, на которую опирается угол $30^\\circ,$ вписанный в окружность радиуса $5.$[[fill_choice_big-889]][[image-8533]]","widgets":{"fill_choice_big-889":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$3$","$2.5$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-8533":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr9.svg","width":"300"}},"hints":["$1)$ Вписанный угол $30^\\circ$ опирается на некоторую хорду $AB.$ По свойству вписанного угла, он равен половине дуги, на которую опирается:<br />$$\\angle ACB = \\dfrac{1}{2} \\breve{AB}$$<br />$$30^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{AB} \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{AB} = 60^\\circ$$<br />$2)$ Центральный угол $AOB,$ опирающийся на ту же хорду $AB,$ равен мере дуги $AB{:}$<br />$$\\angle AOB = 60^\\circ$$<br />$3)$ Рассмотрим треугольник $AOB{:}$ $OA = OB = R = 5,$ $\\angle AOB = 60^\\circ.$ Треугольник равнобедренный с углом при вершине $60^\\circ,$ значит, он равносторонний. Следовательно:<br />$$AB = R = 5$$<br />Ответ: $5.$"]},{"content":"Найдите хорду, на которую опирается угол $120^\\circ,$ вписанный в окружность радиуса $2\\sqrt{3}.$[[fill_choice_big-1418]][[image-8352]]","widgets":{"fill_choice_big-1418":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$3$","$2$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-8352":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr9.svg","width":"300"}},"hints":["$1)$ Вписанный угол $120^\\circ$ опирается на некоторую хорду $AB.$ По свойству вписанного угла, он равен половине дуги, на которую опирается:<br />$$\\angle ACB = \\dfrac{1}{2} \\breve{AB}$$<br />$$120^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{AB} \\quad \\Rightarrow \\quad \\breve{AB} = 240^\\circ$$<br />$2)$ Центральный угол $AOB,$ опирающийся на ту же хорду $AB,$ равен мере дуги $AB{:}$<br />$$\\angle AOB = 240^\\circ$$<br />Но центральный угол всегда берется как меньший угол между радиусами, поэтому:<br />$$\\angle AOB = 360^\\circ- 240^\\circ = 120^\\circ$$<br />$3)$ Теперь находим хорду $AB$ по формуле:<br />$$AB = 2R \\sin\\left(\\dfrac{\\angle AOB}{2}\\right)$$<br />где $R = 2\\sqrt{3},$ $\\angle AOB = 120^\\circ.$<br /><br />$4)$ Подставляем значения:<br />$$AB = 2 \\cdot 2\\sqrt{3} \\cdot \\sin\\left(\\dfrac{120^\\circ}{2}\\right) $$ $$= 4\\sqrt{3} \\cdot \\sin 60^\\circ = 4\\sqrt{3} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 4 \\cdot \\dfrac{3}{2} = 6$$<br />Ответ: $6.$"]},{"content":"Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $108^\\circ$. Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку $B.$[[fill_choice_big-2053]][[image-8175]]","widgets":{"fill_choice_big-2053":{"type":"fill_choice_big","options":["$54^\\circ $","$108^\\circ $","$216^\\circ $","$76^\\circ $"],"answer":0},"image-8175":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr10.svg","width":"300"}},"hints":["$1)$ Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной внутри этого угла. В нашем случае угол $ABC$ образован хордой $AB$ и касательной $BC$, проведенной через точку $B .$<br /><br />$2)$ Дуга, заключенная внутри угла $ABC ,$ — это дуга $AB ,$ которая по условию равна $108^\\circ .$<br /><br />$3)$ По теореме об угле между касательной и хордой:<br />$$\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\breve{AB} = \\frac{1}{2} \\cdot 108^\\circ = 54^\\circ$$<br />Ответ: $54^\\circ .$"]},{"content":"Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Угол $CAB$ равен $42^\\circ.$ Найдите угол $AOB.$[[fill_choice_big-2621]][[image-8002]]","widgets":{"fill_choice_big-2621":{"type":"fill_choice_big","options":["$84^\\circ$","$21^\\circ$","$136^\\circ$","$36^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-8002":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr11.svg","width":"300"}},"hints":["$1)$ Касательные $AC$ и $BC$ проведены к окружности из точки $C.$ По свойству касательных, проведенных из одной точки, $CA = CB,$ поэтому треугольник $ABC$ — равнобедренный.<br /><br />$2)$ В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $AB$ равны. Дан угол $CAB = 42^\\circ,$ значит, угол $CBA$ также равен $42^\\circ.$<br /><br />$3)$ Найдем угол $ACB$ в треугольнике $ABC{:}$<br />$$\\angle ACB = 180^\\circ- 42^\\circ- 42^\\circ = 96^\\circ$$<br />$4)$ Рассмотрим четырехугольник $AOBC.$ Углы между радиусом и касательной прямые: $\\angle OAC = 90^\\circ$ и $\\angle OBC = 90^\\circ.$<br /><br />$5)$ Сумма углов четырехугольника $AOBC$ равна $360^\\circ{:}$<br />$$\\angle OAC + \\angle AOB + \\angle OBC + \\angle ACB = 360^\\circ$$ $$90^\\circ + \\angle AOB + 90^\\circ + 96^\\circ = 360^\\circ$$ $$\\angle AOB + 276^\\circ = 360^\\circ$$ $$\\angle AOB = 84^\\circ$$<br />Ответ: $84^\\circ.$"]},{"content":"Через концы $A,$ $B$ дуги окружности в $54^\\circ$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Найдите угол $ACB.$[[fill_choice_big-3207]][[image-7833]]","widgets":{"fill_choice_big-3207":{"type":"fill_choice_big","options":["$126^\\circ$","$27^\\circ$","$86^\\circ$","$54^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-7833":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr11.svg","width":"300"}},"hints":["$1)$ Касательные $AC$ и $BC$ проведены к окружности из точки $C.$ По свойству касательных, проведенных из одной точки, $CA = CB,$ поэтому треугольник $ABC$ — равнобедренный.<br /><br />$2)$ Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной внутри этого угла. <br /><br />Угол между касательной $AC$ и хордой $AB$ равен:<br />$$\\angle CAB = \\dfrac{1}{2} \\breve{AB} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 54^\\circ = 27^\\circ$$<br /><br />Аналогично, угол между касательной $BC$ и хордой $BA$ также равен $27^\\circ.$<br /><br />$3)$ В треугольнике $ABC$ известны два угла при основании: $\\angle CAB = 27^\\circ$ и $\\angle CBA = 27^\\circ.$<br /><br />$4)$ Найдем угол $ACB{:}$<br />$$\\angle ACB = 180^\\circ- 27^\\circ- 27^\\circ = 126^\\circ$$<br /><br />Ответ: $126^\\circ.$"]},{"content":"Касательные $CA$ и $CB$ к окружности образуют угол $ACB,$ равный $136^\\circ.$ Найдите величину меньшей дуги $AB,$ стягиваемой точками касания.[[image-7668]][[fill_choice_big-13674]]","widgets":{"image-7668":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr11.svg","width":"300"},"fill_choice_big-13674":{"type":"fill_choice_big","options":["$44^\\circ$","$22^\\circ$","$88^\\circ$","$36^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Касательные $CA$ и $CB$ проведены к окружности из точки $C.$ По свойству касательных, проведенных из одной точки, $CA = CB,$ поэтому треугольник $ABC$ — равнобедренный.<br /><br />$2)$ В четырехугольнике $OACB$ (где $O$ — центр окружности) углы между радиусом и касательной прямые: $\\angle OAC = 90^\\circ$ и $\\angle OBC = 90^\\circ.$<br /><br />$3)$ Сумма углов четырехугольника $OACB$ равна $360^\\circ{:}$<br />$$\\angle OAC + \\angle AOB + \\angle OBC + \\angle ACB = 360^\\circ$$ $$90^\\circ + \\angle AOB + 90^\\circ + 136^\\circ = 360^\\circ$$ $$\\angle AOB + 316^\\circ = 360^\\circ$$ $$\\angle AOB = 44^\\circ$$<br />$4)$ Центральный угол $AOB$ опирается на дугу $AB.$ Следовательно, меньшая дуга $AB$ равна $44^\\circ.$<br /><br />Ответ: $44^\\circ.$"]},{"content":"Найдите угол $ACO,$ если его сторона $CA$ касается окружности, $O$ — центр окружности, сторона $CO$ пересекает окружность в точке $B,$ дуга $AB$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $48^\\circ.$[[fill_choice_big-4163]][[image-7507]]","widgets":{"fill_choice_big-4163":{"type":"fill_choice_big","options":["$42^\\circ$","$48^\\circ$","$96^\\circ$","$94^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-7507":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr12.svg","width":"300"}},"hints":["$1)$ Сторона $CA$ — касательная к окружности, значит, $OA \\perp CA$ (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Следовательно, $\\angle OAC = 90^\\circ.$<br /><br />$2)$ Дуга $AB,$ заключенная внутри угла $ACO,$ равна $48^\\circ.$ Центральный угол $AOB,$ опирающийся на эту дугу, также равен $48^\\circ.$<br /><br />$3)$ Рассмотрим треугольник $AOC.$ В нем $\\angle AOC = 48^\\circ$ (центральный угол).<br /><br />$4)$ Найдем искомый угол $ACO{:}$<br />$$\\angle ACO = 180^\\circ- 90^\\circ- 48^\\circ = 42^\\circ$$<br />Ответ: $42^\\circ.$"]},{"content":"Угол $ACO$ равен $32^\\circ,$ где $O$ — центр окружности. Его сторона $CA$ касается окружности. Найдите величину меньшей дуги $AB$ окружности, заключенной внутри этого угла.[[fill_choice_big-5117]][[image-7350]]","widgets":{"fill_choice_big-5117":{"type":"fill_choice_big","options":["$58^\\circ$","$32^\\circ$","$64^\\circ$","$16^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-7350":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr12.svg","width":"300"}},"hints":["$1)$ Сторона $CA$ — касательная к окружности, значит, $OA \\perp CA$ (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Следовательно, $\\angle OAC = 90^\\circ.$<br /><br />$2)$ Рассмотрим треугольник $AOC.$ В нем $\\angle ACO = 32^\\circ.$<br /><br />$3)$ Найдем угол $AOC{:}$<br />$$\\angle AOC = 180^\\circ- 90^\\circ- 32^\\circ = 58^\\circ$$<br />$4)$ Угол $AOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AB.$ Следовательно, меньшая дуга $AB$ равна $58^\\circ.$<br /><br />Ответ: $58^\\circ.$"]},{"content":"Угол $ACO$ равен $34^\\circ.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D.$ Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключенной внутри этого угла.[[image-6674]][[fill_choice_big-6897]]","widgets":{"image-6674":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr13.svg","width":"300"},"fill_choice_big-6897":{"type":"fill_choice_big","options":["$124^\\circ$","$54^\\circ$","$56^\\circ$","$68^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Сторона $CA$ — касательная к окружности, значит, $OA \\perp CA$ (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Следовательно, $\\angle OAC = 90^\\circ.$<br /><br />$2)$ Рассмотрим треугольник $AOC.$ В нем $\\angle ACO = 34^\\circ.$<br /><br />$3)$ Найдем угол $AOC{:}$<br />$$\\angle AOC = 180^\\circ- 90^\\circ- 34^\\circ = 56^\\circ$$ $$\\angle AOD = 180^\\circ- 56^\\circ = 124^\\circ$$<br />$4)$ Угол $AOD$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AD.$ Следовательно, дуга $AD$ равна $124^\\circ.$<br /><br />Ответ: $124^\\circ.$"]},{"content":"Найдите угол $ACO,$ если его сторона $CA$ касается окружности, $O$ — центр окружности, сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D,$ а дуга $AD$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $118^\\circ.$[[image-5930]][[fill_choice_big-6281]]","widgets":{"image-5930":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr13.svg","width":"300"},"fill_choice_big-6281":{"type":"fill_choice_big","options":["$28^\\circ$","$69^\\circ$","$74^\\circ$","$118^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Дуга $AD,$ заключенная внутри угла $ACO,$ равна $118^\\circ.$ Центральный угол $AOD,$ опирающийся на эту дугу, также равен $118^\\circ.$<br /><br />$2)$ Тогда в треугольнике $AOC$ $\\angle OAC = 90^\\circ,$ $\\angle AOC = 180^\\circ- 118^\\circ = 62^\\circ$ (смежный угол), $\\angle ACO = 180^\\circ- 90^\\circ- 62^\\circ = 28^\\circ.$<br /><br />Ответ: $28^\\circ.$"]},{"content":"Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O.$  <br />Найдите угол $BOC,$ если угол $BAC$ равен $28^\\circ.$[[image-8902]][[fill_choice_big-8997]]","widgets":{"image-8902":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-8997":{"type":"fill_choice_big","options":["$56^\\circ$","$28^\\circ$","$112^\\circ$","$43^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вписанный угол $BAC$ опирается на дугу $BC.$ По свойству вписанного угла:<br />$$\\angle BAC = \\dfrac{1}{2} \\breve{BC}$$<br />где $\\breve{BC}$ — градусная мера дуги $BC,$ не содержащей точку $A.$<br /><br />$2)$ Подставим известное значение:<br />$$28^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\breve{BC}$$<br />Отсюда находим меру дуги $BC{:}$<br />$$\\breve{BC} = 2 \\cdot 28^\\circ = 56^\\circ$$<br />$3)$ Центральный угол $BOC$ опирается на ту же дугу $BC.$ По свойству центрального угла:<br />$$\\angle BOC = \\breve{BC}$$<br />$4)$ Следовательно:<br />$$\\angle BOC = 56^\\circ$$<br />Ответ: $56^\\circ.$"]},{"content":"Найдите центральный угол $AOB,$ если он на $30^\\circ$ больше вписанного угла $ACB,$ опирающегося на ту же дугу.[[image-10048]][[fill_choice_big-10392]]","widgets":{"image-10048":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr2.svg","width":"300"},"fill_choice_big-10392":{"type":"fill_choice_big","options":["$60^\\circ$","$30^\\circ$","$120^\\circ$","$80^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим вписанный угол $ACB$ через $x.$ Тогда центральный угол $AOB$ равен $x + 30^\\circ.$<br /><br />$2)$ По свойству углов в окружности: центральный угол, опирающийся на дугу, в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.<br />$$\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle ACB$$<br />$3)$ Подставим выражения через $x{:}$<br />$$x + 30^\\circ = 2x$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$30^\\circ = 2x- x$$$$x = 30^\\circ$$<br />$5)$ Найдем центральный угол:<br />$$\\angle AOB = x + 30^\\circ = 30^\\circ + 30^\\circ = 60^\\circ$$<br />Ответ: $60^\\circ.$"]},{"content":"Центральный угол на $24^\\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.[[fill_choice_big-11188]][[image-11389]]","widgets":{"fill_choice_big-11188":{"type":"fill_choice_big","options":["$24^\\circ$","$12^\\circ$","$48^\\circ$","$36^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-11389":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/okr1.svg","width":"300"}},"hints":["$1)$ Обозначим вписанный угол через $x.$ Тогда центральный угол равен $x + 24^\\circ.$<br /><br />$2)$ По свойству углов в окружности: центральный угол, опирающийся на дугу, в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.<br />$$\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle ACB$$<br />$3)$ Подставим выражения через $x{:}$<br />$$x + 24^\\circ = 2x$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$24^\\circ = 2x- x$$$$x = 24^\\circ$$<br />Ответ: $24^\\circ.$"]}]}