Практика к уроку «Равнобедренные треугольники»

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 6,$ $\\sin A = \\dfrac{3}{5}.$ Найдите $AB.$[[fill_choice_big-1]][[image-9]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$9.6$","$9.4$","$9.1$","$9.2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug6.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB,$ поэтому углы при основании равны: $\\angle A = \\angle B$<br />$2.$ Находим косинус угла $A$ по основному тригонометрическому тождеству: $$\\cos A = \\sqrt{1- \\sin^2 A} = \\sqrt{1- \\left(\\dfrac{3}{5}\\right)^2} = \\sqrt{1- \\dfrac{9}{25}} = \\sqrt{\\dfrac{16}{25}} = \\dfrac{4}{5}$$<br />$3.$ Проводим высоту $CH$ к основанию $AB.$ В равнобедренном треугольнике высота является также медианой: $$AH = \\dfrac{AB}{2}$$<br />$4.$ В прямоугольном треугольнике $ACH$ находим $AH$: $$\\cos A = \\dfrac{AH}{AC}$$ $$AH = AC \\cdot \\cos A = 6 \\cdot \\dfrac{4}{5} = \\dfrac{24}{5} = 4.8$$<br />$5.$ Находим длину основания $AB$: $$AB = 2 \\cdot AH = 2 \\cdot 4.8 = 9.6$$<br />Ответ: длина основания $AB$ равна $9.6.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 4,$ $\\sin A = 0.6.$ Найдите $AB.$[[fill_choice_big-26]][[image-59]]","widgets":{"fill_choice_big-26":{"type":"fill_choice_big","options":["$6.4$","$6.2$","$5.4$","$5.8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-59":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug6.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB,$ поэтому углы при основании равны: $\\angle A = \\angle B$<br />$2.$ Находим косинус угла $A$ по основному тригонометрическому тождеству: $$\\cos A = \\sqrt{1- \\sin^2 A} = \\sqrt{1- (0.6)^2} = \\sqrt{1- 0.36} = \\sqrt{0.64} = 0.8$$<br />$3.$ Проводим высоту $CH$ к основанию $AB.$ В равнобедренном треугольнике высота является также медианой: $$AH = \\dfrac{AB}{2}$$<br />$4.$ В прямоугольном треугольнике $ACH$ находим $AH$: $$\\cos A = \\dfrac{AH}{AC}$$ $$AH = AC \\cdot \\cos A = 4 \\cdot 0.8 = 3.2$$<br />$5.$ Находим длину основания $AB$: $$AB = 2 \\cdot AH = 2 \\cdot 3.2 = 6.4$$<br />Ответ: длина основания $AB$ равна $6.4.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC,$ $AB = 8,$ $\\sin A = \\dfrac{3}{5}.$ Найдите $AC.$[[fill_choice_big-108]][[image-229]]","widgets":{"fill_choice_big-108":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$10$","$7.5$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-229":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug6.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB,$ поэтому углы при основании равны: $\\angle A = \\angle B$<br />$2.$ Находим косинус угла $A$ по основному тригонометрическому тождеству: $$\\cos A = \\sqrt{1- \\sin^2 A} = \\sqrt{1- \\left(\\dfrac{3}{5}\\right)^2} = \\sqrt{1- \\dfrac{9}{25}} = \\sqrt{\\dfrac{16}{25}} = \\dfrac{4}{5}$$<br />$3.$ Проводим высоту $CH$ к основанию $AB.$ В равнобедренном треугольнике высота является также медианой: $$AH = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{8}{2} = 4$$<br />$4.$ В прямоугольном треугольнике $ACH$ находим $AC$: $$\\cos A = \\dfrac{AH}{AC}$$ $$AC = \\dfrac{AH}{\\cos A} = \\dfrac{4}{\\dfrac{4}{5}} = 4 \\cdot \\dfrac{5}{4} = 5$$<br />Ответ: длина боковой стороны $AC$ равна $5.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC,$ $AB = 12,$ $\\sin A = 0.6.$ Найдите $AC.$[[fill_choice_big-168]][[image-251]]","widgets":{"fill_choice_big-168":{"type":"fill_choice_big","options":["$7.5$","$8$","$5$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-251":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug6.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB,$ поэтому углы при основании равны: $\\angle A = \\angle B$<br />$2.$ Находим косинус угла $A$ по основному тригонометрическому тождеству: $$\\cos A = \\sqrt{1- \\sin^2 A} = \\sqrt{1- (0.6)^2} = \\sqrt{1- 0.36} = \\sqrt{0.64} = 0.8$$<br />$3.$ Проводим высоту $CH$ к основанию $AB.$ В равнобедренном треугольнике высота является также медианой: $$AH = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{12}{2} = 6$$<br />$4.$ В прямоугольном треугольнике $ACH$ находим $AC$: $$\\cos A = \\dfrac{AH}{AC}$$ $$AC = \\dfrac{AH}{\\cos A} = \\dfrac{6}{0.8} = 7.5$$<br />Ответ: длина боковой стороны $AC$ равна $7.5.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 6,$ $\\cos A = 0.6.$ Найдите $AB.$[[fill_choice_big-348]][[image-585]]","widgets":{"fill_choice_big-348":{"type":"fill_choice_big","options":["$7.2$","$16$","$12$","$9.8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-585":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB,$ поэтому углы при основании равны: $\\angle A = \\angle B$<br />$2.$ Проводим высоту $CH$ к основанию $AB.$ В равнобедренном треугольнике высота является также медианой: $$AH = \\dfrac{AB}{2}$$<br />$3.$ В прямоугольном треугольнике $ACH$ находим $AH$: $$\\cos A = \\dfrac{AH}{AC}$$ $$AH = AC \\cdot \\cos A = 6 \\cdot 0.6 = 3.6$$<br />$4.$ Находим длину основания $AB$: $$AB = 2 \\cdot AH = 2 \\cdot 3.6 = 7.2$$<br />Ответ: длина основания $AB$ равна $7.2.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 10,$ $\\cos A = 0.8.$ Найдите $AB.$[[fill_choice_big-444]][[image-551]]","widgets":{"fill_choice_big-444":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$12$","$7.2$","$9.8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-551":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB,$ поэтому углы при основании равны: $\\angle A = \\angle B$<br />$2.$ Проводим высоту $CH$ к основанию $AB.$ В равнобедренном треугольнике высота является также медианой: $$AH = \\dfrac{AB}{2}$$<br />$3.$ В прямоугольном треугольнике $ACH$ находим $AH$: $$\\cos A = \\dfrac{AH}{AC}$$ $$AH = AC \\cdot \\cos A = 10 \\cdot 0.8 = 8$$<br />$4.$ Находим длину основания $AB$: $$AB = 2 \\cdot AH = 2 \\cdot 8 = 16$$<br />Ответ: длина основания $AB$ равна $16.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC,$ $AB = 10,$ $\\sin \\angle BAC = 0.6.$ Найдите высоту $AH.$[[image-718]][[fill_choice_big-829]]","widgets":{"image-718":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-829":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$4$","$10$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB,$ поэтому углы при основании равны: $\\angle ABC = \\angle BAC$<br />$2.$ Высота $AH$ проведена из вершины $A$ на сторону $BC$ и образует прямоугольный треугольник $ABH$ с прямым углом $H.$<br />$3.$ В прямоугольном треугольнике $ABH$: $$\\sin \\angle ABH = \\dfrac{AH}{AB}$$<br />$4.$ Так как $\\angle ABH = \\angle ABC = \\angle BAC,$ то: $$\\sin \\angle ABH = \\sin \\angle BAC = 0.6$$<br />$5.$ Находим высоту $AH$: $$AH = AB \\cdot \\sin \\angle ABH = 10 \\cdot 0.6 = 6$$<br />Ответ: длина высоты $AH$ равна $6.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC,$ $AB = 12,$ $\\sin \\angle BAC = 0.5.$ Найдите высоту $AH.$[[image-758]][[fill_choice_big-989]]","widgets":{"image-758":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-989":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$4$","$8$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB,$ поэтому углы при основании равны: $\\angle ABC = \\angle BAC$<br />$2.$ Высота $AH$ проведена из вершины $A$ на сторону $BC$ и образует прямоугольный треугольник $ABH$ с прямым углом $H.$<br />$3.$ В прямоугольном треугольнике $ABH$: $$\\sin \\angle ABH = \\dfrac{AH}{AB}$$<br />$4.$ Так как $\\angle ABH = \\angle ABC = \\angle BAC,$ то: $$\\sin \\angle ABH = \\sin \\angle BAC = 0.5$$<br />$5.$ Находим высоту $AH$: $$AH = AB \\cdot \\sin \\angle ABH = 12 \\cdot 0.5 = 6$$<br />Ответ: длина высоты $AH$ равна $6.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $42^\\circ,$ $AC = BC.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.<br>[[image-1506]][[fill_choice_big-1757]]","widgets":{"image-1506":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1757":{"type":"fill_choice_big","options":["$96$","$92$","$90$","$98$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с равными сторонами $AC = BC,$ следовательно, углы при основании $AB$ равны: $\\angle A = \\angle B = 42^\\circ$<br />$2.$ Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$: $$\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ$$<br />$3.$ Находим угол $C$: $$\\angle C = 180^\\circ- \\angle A- \\angle B = 180^\\circ- 42^\\circ- 42^\\circ = 96^\\circ$$<br />Ответ: угол $C$ равен $96^\\circ.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $35^\\circ,$ $AC = BC.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах. [[image-1451]][[fill_choice_big-2047]]","widgets":{"image-1451":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-2047":{"type":"fill_choice_big","options":["$110$","$190$","$100$","$35$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с равными сторонами $AC = BC,$ следовательно, углы при основании $AB$ равны: $\\angle A = \\angle B = 35^\\circ$<br />$2.$ Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$: $$\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ$$<br />$3.$ Находим угол $C$: $$\\angle C = 180^\\circ- \\angle A- \\angle B = 180^\\circ- 35^\\circ- 35^\\circ = 110^\\circ$$<br />Ответ: угол $C$ равен $110^\\circ.$"]}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Больший угол равнобедренного треугольника равен $110^\\circ.$ Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.[[image-1399]][[fill_choice_big-2286]]","widgets":{"image-1399":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-2286":{"type":"fill_choice_big","options":["$35$","$30$","$45$","$90$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как данный угол $110^\\circ$ является наибольшим, он должен быть углом при вершине.<br>$2.$ Сумма углов треугольника равна $180^\\circ{:}$ $$\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ$$<br>$3.$ Пусть угол при вершине равен $110^\\circ,$ тогда сумма углов при основании: $$180^\\circ- 110^\\circ = 70^\\circ$$<br>$4.$ Так как углы при основании равны, каждый из них: $$\\dfrac{70^\\circ}{2} = 35^\\circ$$<br>$5.$ Находим меньший угол треугольника: $$\\min(110^\\circ, 35^\\circ, 35^\\circ) = 35^\\circ$$<br>Ответ: меньший угол треугольника равен $35^\\circ.$"]},{"content":"Больший угол равнобедренного треугольника равен $120^\\circ.$ Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.[[image-1350]][[fill_choice_big-2536]]","widgets":{"image-1350":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-2536":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$35$","$45$","$90$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как данный угол $120^\\circ$ является наибольшим, он должен быть углом при вершине.<br>$2.$ Сумма углов треугольника равна $180^\\circ{:}$ $$\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ$$<br>$3.$ Пусть угол при вершине равен $120^\\circ,$ тогда сумма углов при основании: $$180^\\circ- 120^\\circ = 60^\\circ$$<br>$4.$ Так как углы при основании равны, каждый из них: $$\\dfrac{60^\\circ}{2} = 30^\\circ$$<br>$5.$ Находим меньший угол треугольника: $$\\min(120^\\circ, 30^\\circ, 30^\\circ) = 30^\\circ$$<br>Ответ: меньший угол треугольника равен $30^\\circ.$"]},{"content":"Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $60^\\circ.$ Боковая сторона треугольника равна $8.$ Найдите площадь этого треугольника.[[fill_choice_big-2797]][[image-3566]]","widgets":{"fill_choice_big-2797":{"type":"fill_choice_big","options":["$16\\sqrt{3}$","$12\\sqrt{5}$","$16\\sqrt{5}$","$12\\sqrt{3}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-3566":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug8.svg","width":"250"}},"hints":["$1.$ В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны:$$AC = BC = 8$$<br>$2.$ Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:$$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AC \\cdot BC \\cdot \\sin C$$<br>$3.$ Подставляем известные значения:$$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 8 \\cdot \\sin 60^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\cdot 64 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 16\\sqrt{3}$$<br>Ответ: площадь треугольника равна $16\\sqrt{3}.$"]},{"content":"Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $120^\\circ.$ Боковая сторона треугольника равна $6.$ Найдите площадь этого треугольника.[[fill_choice_big-3091]][[image-3481]]","widgets":{"fill_choice_big-3091":{"type":"fill_choice_big","options":["$9\\sqrt{3}$","$3\\sqrt{9}$","$6\\sqrt{3}$","$9\\sqrt{6}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-3481":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug8.svg","width":"250"}},"hints":["$1.$ В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны:$$AC = BC = 6$$<br>$2.$ Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:$$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AC \\cdot BC \\cdot \\sin C$$<br>$3.$ Находим синус угла $120^\\circ{:}$ $$\\sin 120^\\circ = \\sin (180^\\circ- 60^\\circ) = \\sin 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$$<br>$4.$ Подставляем известные значения: $$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 36 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3}$$<br>Ответ: площадь треугольника равна $9\\sqrt{3}.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC,$ угол $C$ равен $68^\\circ.$ Найдите внешний угол $CBD.$ Ответ дайте в градусах.[[image-3426]][[fill_choice_big-3886]]","widgets":{"image-3426":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug9.svg","width":"250"},"fill_choice_big-3886":{"type":"fill_choice_big","options":["$124$","$120$","$110$","$114$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с равными сторонами $AC = BC,$ следовательно, углы при основании $AB$ равны:$$\\angle A = \\angle B$$<br>$2.$ Сумма углов треугольника равна $180^\\circ{:}$ $$\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ$$<br>$3.$ Находим углы при основании: $$2\\angle B + 68^\\circ = 180^\\circ$$ $$2\\angle B = 112^\\circ$$ $$\\angle B = 56^\\circ$$<br>$4.$ Внешний угол $CBD$ является смежным с внутренним углом $B{:}$ $$\\angle CBD = 180^\\circ- \\angle B = 180^\\circ- 56^\\circ = 124^\\circ$$<br>Ответ: внешний угол $CBD$ равен $124^\\circ.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC,$ угол $C$ равен $40^\\circ.$ Найдите внешний угол $CBD.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-4213]][[image-4578]]","widgets":{"fill_choice_big-4213":{"type":"fill_choice_big","options":["$110$","$120$","$124$","$114$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-4578":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug9.svg","width":"250"}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с равными сторонами $AC = BC,$ следовательно, углы при основании $AB$ равны:$$\\angle A = \\angle B$$<br>$2.$ Сумма углов треугольника равна $180^\\circ{:}$ $$\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ$$<br>$3.$ Находим углы при основании: $$2\\angle B + 40^\\circ = 180^\\circ$$ $$2\\angle B = 140^\\circ$$ $$\\angle B = 70^\\circ$$<br>$4.$ Внешний угол $CBD$ является смежным с внутренним углом $B{:}$ $$\\angle CBD = 180^\\circ- \\angle B = 180^\\circ- 70^\\circ = 110^\\circ$$<br>Ответ: внешний угол $CBD$ равен $110^\\circ.$"]},{"content":"Один угол равнобедренного треугольника на $60^\\circ$ больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.<br>[[image-4803]][[fill_choice_big-4903]]","widgets":{"image-4803":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-4903":{"type":"fill_choice_big","options":["$40$","$60$","$20$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Пусть меньший угол равен $x,$ тогда больший угол равен $x + 60^\\circ.$<br><br>$2.$ В равнобедренном треугольнике два угла равны. Рассмотрим случай, когда углы при основании равны $x,$ а угол при вершине $x + 60^\\circ{:}$ $$2x + (x + 60^\\circ) = 180^\\circ$$<br>$3.$ Решаем уравнение: $$3x + 60^\\circ = 180^\\circ$$ $$3x = 120^\\circ$$ $$x = 40^\\circ$$<br>Ответ: меньший угол треугольника равен $40^\\circ.$"]},{"content":"Один угол равнобедренного треугольника на $45^\\circ$ больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-5511]][[image-6141]]","widgets":{"fill_choice_big-5511":{"type":"fill_choice_big","options":["$45$","$40$","$90$","$60$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-6141":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть меньший угол равен $x,$ тогда больший угол равен $x + 45^\\circ.$<br>$2.$ В равнобедренном треугольнике два угла равны. Рассмотрим случай, когда углы при основании равны $x,$ а угол при вершине $x + 45^\\circ{:}$ $$2x + (x + 45^\\circ) = 180^\\circ$$<br>$3.$ Решаем уравнение: $$3x + 45^\\circ = 180^\\circ$$ $$3x = 135^\\circ$$ $$x = 45^\\circ$$<br>Ответ: меньший угол треугольника равен $45^\\circ.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AB = BC = AC = 6.$ Найдите высоту $CH.$ [[image-6032]][[fill_choice_big-6444]]","widgets":{"image-6032":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug6.svg","width":"300"},"fill_choice_big-6444":{"type":"fill_choice_big","options":["$3\\sqrt{3}$","$2\\sqrt{3}$","$3\\sqrt{2}$","$5\\sqrt{2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равносторонний, все углы равны $60^\\circ.$<br>$2.$ Высота $CH$ в равностороннем треугольнике является также медианой и биссектрисой.<br>$3.$ В прямоугольном треугольнике $ACH$ находим высоту $CH{:}$ $$\\sin 60^\\circ = \\dfrac{CH}{AC}$$<br>$4.$ Выражаем высоту $CH{:}$ $$CH = AC \\cdot \\sin 60^\\circ = 6 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}$$<br>Ответ: длина высоты $CH$ равна $3\\sqrt{3}.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AB = BC = AC = 4.$ Найдите высоту $CH.$[[image-6987]][[fill_choice_big-7268]]","widgets":{"image-6987":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug6.svg","width":"300"},"fill_choice_big-7268":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\sqrt{3}$","$3\\sqrt{3}$","$5\\sqrt{2}$","$2\\sqrt{2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равносторонний, все углы равны $60^\\circ.$<br>$2.$ Высота $CH$ в равностороннем треугольнике является также медианой и биссектрисой.<br>$3.$ В прямоугольном треугольнике $ACH$ находим высоту $CH{:}$ $$\\sin 60^\\circ = \\dfrac{CH}{AC}$$<br>$4.$ Выражаем высоту $CH{:}$ $$CH = AC \\cdot \\sin 60^\\circ = 4 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}$$<br>Ответ: длина высоты $CH$ равна $2\\sqrt{3}.$"]}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC,$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AB = 4.$ Найдите $AC.$<br />[[fill_choice_big-7755]][[image-18767]]","widgets":{"fill_choice_big-7755":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\sqrt{2}$","$3\\sqrt{2}$","$2\\sqrt{3}$","$5\\sqrt{2}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-18767":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug6.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный прямоугольный с прямым углом $C,$ поэтому катеты равны:<br />$AC = BC$<br />$2.$ Применяем теорему Пифагора:<br />$AC^2 + BC^2 = AB^2$<br />$AC^2 + AC^2 = 4^2$<br />$2AC^2 = 16$<br />$3.$ Решаем уравнение:<br />$AC^2 = 8$<br />$AC = \\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}$<br />Ответ: длина катета $AC$ равна $2\\sqrt{2}.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC,$ угол $C$ равен $120^\\circ,$ $AB = 6.$ Найдите $AC.$[[fill_choice_big-8382]][[image-18942]]","widgets":{"fill_choice_big-8382":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\sqrt{3}$","$3\\sqrt{3}$","$4\\sqrt{2}$","$3\\sqrt{2}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-18942":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug6.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с равными сторонами $AC = BC,$ следовательно, углы при основании $AB$ равны:<br />$\\angle A = \\angle B$<br />$2.$ Сумма углов треугольника равна $180^\\circ:$<br />$\\angle A + \\angle B + 120^\\circ = 180^\\circ$<br />$2\\angle A = 60^\\circ$<br />$\\angle A = 30^\\circ$<br />$3.$ Применяем теорему синусов:<br />$\\dfrac{AC}{\\sin B} = \\dfrac{AB}{\\sin C}$<br />$4.$ Подставляем известные значения:<br />$\\dfrac{AC}{\\sin 30^\\circ} = \\dfrac{6}{\\sin 120^\\circ}$<br />$\\dfrac{AC}{\\dfrac{1}{2}} = \\dfrac{6}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}}$<br />$2AC = \\dfrac{12}{\\sqrt{3}}$<br />$AC = \\dfrac{6}{\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{3}$<br />Ответ: длина стороны $AC$ равна $2\\sqrt{3}.$"]},{"content":"В тупоугольном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 10,$ высота $AH$ равна $6.$ Найдите $\\sin \\angle ACB.$[[image-9327]][[fill_choice_big-10146]]","widgets":{"image-9327":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-10146":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.5$","$0.4$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB,$ высота $AH$ проведена к стороне $BC.$<br />$2.$ В прямоугольном треугольнике $AHC:$<br />$\\sin \\angle ACH = \\dfrac{AH}{AC} = \\dfrac{6}{10} = 0.6$<br />$3.$ Углы $\\angle ACH$ и $\\angle ACB$ являются смежными, и синусы смежных углов равны:<br />$\\sin \\angle ACB = \\sin \\angle ACH = 0.6$<br />Ответ: синус угла $ACB$ равен $0.6.$"]},{"content":"В тупоугольном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 12,$ высота $AH$ равна $4.$ Найдите $\\sin \\angle ACB.$[[image-9194]][[fill_choice_big-9643]]","widgets":{"image-9194":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-9643":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\dfrac{1}{3}$","$\\dfrac{3}{4}$","$\\dfrac{2}{3}$","$\\dfrac{5}{3}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["$1.$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB,$ высота $AH$ проведена к стороне $BC.$<br />$2.$ В прямоугольном треугольнике $AHC:$<br />$\\sin \\angle ACH = \\dfrac{AH}{AC} = \\dfrac{4}{12} = \\dfrac{1}{3}$<br />$3.$ Углы $\\angle ACH$ и $\\angle ACB$ являются смежными, и синусы смежных углов равны:<br />$\\sin \\angle ACB = \\sin \\angle ACH = \\dfrac{1}{3}$<br />Ответ: синус угла $ACB$ равен $\\dfrac{1}{3}.$"]},{"content":"Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $60^\\circ.$ Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна $9\\sqrt{3}.$[[fill_choice_big-10846]][[image-19120]]","widgets":{"fill_choice_big-10846":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$4$","$8$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-19120":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug8.svg","width":"250"}},"step":1,"hints":["$1.$ В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны:<br />$AC = BC = a$<br />$2.$ Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:<br />$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AC \\cdot BC \\cdot \\sin C$<br />$3.$ Подставляем известные значения:<br />$9\\sqrt{3} = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot a \\cdot \\sin 60^\\circ$<br />$9\\sqrt{3} = \\dfrac{1}{2} \\cdot a^2 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$<br />$4.$ Решаем уравнение относительно $a^2:$<br />$9\\sqrt{3} = \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4}$<br />$a^2 = \\dfrac{9\\sqrt{3} \\cdot 4}{\\sqrt{3}} = 36$<br />$5.$ Находим боковую сторону:<br />$a = \\sqrt{36} = 6$<br />Ответ: длина боковой стороны треугольника равна $6.$"]},{"content":"Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $120^\\circ.$ Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна $18\\sqrt{3}.$[[fill_choice_big-11468]][[image-19301]]","widgets":{"fill_choice_big-11468":{"type":"fill_choice_big","options":["$6\\sqrt{2}$","$6\\sqrt{3}$","$3\\sqrt{3}$","$3\\sqrt{2}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-19301":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug8.svg","width":"250"}},"step":1,"hints":["$1.$ В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны:<br />$AC = BC = a$<br />$2.$ Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:<br />$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AC \\cdot BC \\cdot \\sin C$<br />$3.$ Находим синус угла $120^\\circ:$<br />$\\sin 120^\\circ = \\sin (180^\\circ — 60^\\circ) = \\sin 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$<br />$4.$ Подставляем известные значения:<br />$18\\sqrt{3} = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot a \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$<br />$18\\sqrt{3} = \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4}$<br />$5.$ Решаем уравнение относительно $a^2:$<br />$a^2 = \\dfrac{18\\sqrt{3} \\cdot 4}{\\sqrt{3}} = 72$<br />$6.$ Находим боковую сторону:<br />$a = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}$<br />Ответ: длина боковой стороны треугольника равна $6\\sqrt{2}.$"]},{"content":"Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $60^\\circ.$ Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна $25\\sqrt{3}.$[[image-12198]][[fill_choice_big-12349]]","widgets":{"image-12198":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-12349":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$12$","$8$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["$1.$ В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны:<br />$AC = BC = a$<br />$2.$ Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:<br />$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AC \\cdot BC \\cdot \\sin C$<br />$3.$ Подставляем известные значения:<br />$25\\sqrt{3} = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot a \\cdot \\sin 60^\\circ$<br />$25\\sqrt{3} = \\dfrac{1}{2} \\cdot a^2 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$<br />$4.$ Решаем уравнение относительно $a^2:$<br />$25\\sqrt{3} = \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4}$<br />$a^2 = \\dfrac{25\\sqrt{3} \\cdot 4}{\\sqrt{3}} = 100$<br />$5.$ Находим боковую сторону:<br />$a = \\sqrt{100} = 10$<br />Ответ: длина боковой стороны треугольника равна $10.$"]},{"content":"Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $90^\\circ.$ Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна $50.$[[fill_choice_big-13160]][[image-19485]]","widgets":{"fill_choice_big-13160":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$8$","$12$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-19485":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug7.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["$1.$ В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны:<br />$AC = BC = a$<br />$2.$ Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:<br />$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AC \\cdot BC \\cdot \\sin C$<br />$3.$ Подставляем известные значения:<br />$50 = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot a \\cdot \\sin 90^\\circ$<br />$50 = \\dfrac{1}{2} \\cdot a^2 \\cdot 1$<br />$4.$ Решаем уравнение относительно $a^2:$<br />$50 = \\dfrac{a^2}{2}$<br />$a^2 = 100$<br />$5.$ Находим боковую сторону:<br />$a = \\sqrt{100} = 10$<br />Ответ: длина боковой стороны треугольника равна $10.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC.$ Внешний угол при вершине $B$ равен $130^\\circ.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-13937]][[image-14517]]","widgets":{"fill_choice_big-13937":{"type":"fill_choice_big","options":["$80$","$65$","$70$","$55$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-14517":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug9.svg","width":"250"}},"step":1,"hints":["$1.$ Так как внешний угол при вершине $B$ равен $130^\\circ$, внутренний угол $B$ равен:<br />$180^\\circ-130^\\circ=50^\\circ$<br />$2.$ $AC=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, значит углы при основании равны:<br />$\\angle A=\\angle B=50^\\circ$<br />$3.$ Тогда угол $C$:<br />$180^\\circ-50^\\circ-50^\\circ=80^\\circ$<br />Ответ: $80$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AC = BC.$ Внешний угол при вершине $B$ равен $110^\\circ.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.[[image-14788]][[fill_choice_big-15236]]","widgets":{"image-14788":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug9.svg","width":"250"},"fill_choice_big-15236":{"type":"fill_choice_big","options":["$40$","$65$","$70$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["$1.$ Так как внешний угол при вершине $B$ равен $110^\\circ$, внутренний угол $B$ равен:<br />$180^\\circ-110^\\circ=70^\\circ$<br />$2.$ Так как $AC=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, значит углы при основании равны:<br />$\\angle A=\\angle B=70^\\circ$<br />$3.$ Тогда угол $C$:<br />$180^\\circ-70^\\circ-70^\\circ=40^\\circ$<br />Ответ: $40$."]}],"mix":1}