Функция

Правило, при котором каждому аргументу $x$ соответствует ровно одно значение $y$

Значение функции

$f(a)$ — значение $y$ при $x=a$
$f(x)=x^2-3x$: $f(-2)=4+6=10$

Область определения

Все значения $x$, для которых функция задана. Для формулы без дополнительных ограничений — все $x$, при которых выражение имеет смысл; обозначение $D(f)$

Область определения дроби

Знаменатель не равен нулю
$y=\frac{1}{x-2}$: $x\ne2$

Область определения корня

Подкоренное выражение не меньше нуля
$y=\sqrt{x-1}$: $x\ge1$

Главная ошибка темы

Нельзя считать, что любая формула определена при всех $x$. Несколько удачных подстановок этого не доказывают: у $\frac{1}{x-2}$ вход $x=2$ недопустим, а у многочлена допустимы все действительные $x$

Подстановка аргумента

$y=f(x)$ обозначает значение функции, а не произведение. Чтобы найти $f(a)$, заменяют каждое $x$ в формуле числом $a$. Отрицательное число подставляют в скобках: при $a<0$ квадрат аргумента записывают $(a)^2$, а не как минус квадрат положительного числа.

Способы задания функции

Функцию можно задать словами, формулой, таблицей и графиком. По таблице находят столбец с нужным $x$, по графику — соответствующую ординату $y$. Для согласования таблицы с формулой проверяют каждое табличное $x$: одного совпадения недостаточно. Разным аргументам разрешено соответствовать одному значению функции.

Область определения многочлена и дроби

У многочлена область определения — все числа: сложение, вычитание, умножение и возведение в натуральную степень ограничений не создают. Для дроби $\frac{A}{B}$ необходимо $B\ne0$; нулевой числитель допустим: $\frac{0}{B}=0$ при $B\ne0$.

Корень и дробь в одной формуле

Квадратный корень из $A$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $A$; он существует при $A\ge0$, в том числе $\sqrt0=0$. У функции $y=\frac{\sqrt{A(x)}}{B(x)}$ условия $A(x)\ge0$ и $B(x)\ne0$ должны выполняться одновременно. Если хотя бы одно нарушено, аргумент не входит в область определения.

Запись числовыми промежутками

Квадратная скобка означает, что конечная граница входит в промежуток, круглая — что не входит. У $-\infty$ и $+\infty$ скобка всегда круглая. $x\ge a$: $[a;+\infty)$; $x>a$: $(a;+\infty)$; $a\le x\le b$: $[a;b]$. Для $x\ne a$: $(-\infty;a)\cup(a;+\infty)$. Знак $\cup$ означает объединение: подходят числа хотя бы из одного из указанных промежутков.

Контрпример к «при любом $x$»

Несколько удачных подстановок не доказывают, что формула имеет смысл при любом $x$. Для опровержения достаточно одного контрпримера — недопустимого значения аргумента. Область определения находят по всем ограничениям формулы, а подстановкой проверяют границы и исключенные точки. У многочлена допустимы все действительные $x$.