8 класс Алгебра Функции Функция и ее свойства

Функция и ее область определения

Содержание

В уроке 7 класса о функции вы познакомились с функцией, ее аргументом и значением. Сегодня повторим это кратко и разберем новое: область определения — при каких $x$ формула вообще дает ответ. Научимся находить ее для формул с дробью и с корнем и записывать промежутком.

Функция работает как автомат: один вход — один выход

Посмотрим на тариф такси: посадка стоит 100 рублей, каждый километр — еще 20 рублей. Поездка на 1 км стоит 120 рублей, на 2 км — 140, на 3 км — 160, на 5 км — 200. Назовите число километров, и цена определится сразу, причем одна-единственная.

Автомат тарифа такси: каждому входу соответствует один выход. Ниже: вход 4 с выходами 2 и −2 не задает функцию, входы −2 и 2 с одним выходом 4 — задают — Сверху: автомат тарифа дает на каждый вход один выход. Снизу слева: вход 4 и два выхода, 2 и $-2$, — это не функция; справа: входы $-2$ и $2$ дают один выход 4 — это функция

Так устроен автомат: на вход подаем число $x$, внутри работает правило, на выходе появляется число $y$. Для такси вход — километры, правило — «умножить на 20 и прибавить 100», выход — цена. Важно, что на один и тот же вход автомат всегда выдает один и тот же ответ. Если бы за 3 км однажды попросили 160 рублей, а однажды 300, такой тариф нельзя было бы назвать правилом.

Определение

Функция — это правило, по которому каждому значению аргумента $x$ соответствует ровно одно значение функции $y$. Говорят: $y$ — функция от $x$.

Ошибка

Вообразавр считает функцией любую зависимость. Проверим правило «каждому числу $x$ сопоставим число $y$, квадрат которого равен $x$». На вход подаем $x=4$: подходят $y=2$ и $y=-2$, ведь $2^2=4$ и $(-2)^2=4$. Автомат на один вход выдал два ответа — это не функция.

Обратная ситуация допустима. У функции $y=x^2$ входы $x=2$ и $x=-2$ дают один и тот же выход 4. Разным входам можно получить одинаковый выход; одному входу нельзя получить два разных.

Еще один вопрос оставим на потом. Наберите на калькуляторе $1:(x-2)$ для разных $x$: почти всегда получается число, но при одном значении $x$ на экране появится «Error». При каком? Ответим в разделе об области определения.

{"questions":[{"content":"Таблица: $x$ — 1, 2, 2, 5; $y$ — 3, 4, 5, 6. Задает ли она функцию, где $x$ — аргумент?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да: все значения $y$ в таблице разные","Нет: значение $y=6$ записано один раз","Нет: значению $x=2$ соответствуют два значения $y$","Да: у каждого $x$ есть пара"],"explanations":["Требование относится к $x$: одному $x$ — одно $y$. Разные $y$ этого не гарантируют","Одно $y$ для одного $x$ как раз допустимо; ошибка в $x=2$","","Пара есть, но для $x=2$ их две; нужна ровно одна"],"answer":[2]}},"hints":["Функция: каждому $x$ — ровно одно $y$.","При $x=2$ в таблице два значения: 4 и 5.","Значит, функцией таблица не является."],"step":1}],"mix":1}

Как записать, что выдал автомат

Автомату удобно дать имя, обычно букву $f$. Запись $y=f(x)$ читают «$y$ равно $f$ от $x$». Это не умножение: $f(x)$ означает «то, что автомат $f$ выдает на вход $x$». Например, $f(3)$ — значение функции при $x=3$. Чтобы его найти, в формулу вместо каждой буквы $x$ подставляют число 3.

Как найти $f(a)$

1) Запишите формулу. 2) Замените каждую букву $x$ числом $a$ в скобках. 3) Вычислите по порядку действий. 4) Запишите $f(a)=$ результат.

Подстановка x = −3 в f(x) = x² + 5x: (−3)² + 5·(−3) = 9 − 15, f(−3) = −6 — Вместо $x$ подставляем число вместе со скобками: $f(-3)=(-3)^2+5\cdot(-3)$

Пример

Функция задана формулой $f(x)=x^2+5x$. Найдите $f(2)$ и $f(-3)$.

Решение. $f(2)=2^2+5\cdot2=4+10=14$.

$f(-3)=(-3)^2+5\cdot(-3)=9-15=-6$.

Ответ: $f(2)=14$, $f(-3)=-6$.

Обратите внимание

Отрицательное число подставляйте в скобках. Без скобок легко написать $-3^2=-9$ и получить $-9-15=-24$. Но $-3^2$ — это «минус квадрат тройки», а на вход автомата подано число $-3$, и его квадрат $(-3)^2=9$.

{"questions":[{"content":"Функция задана формулой $f(x)=x^2-3x$. Найдите $f(-2)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Подставляем $x=-2$ в скобках: $(-2)^2-3\\cdot(-2)$.","$4+6=10$.","Ответ: 10."],"step":1}],"mix":1}

Одно правило можно задать четырьмя способами

Тариф такси мы уже описали словами: «посадка 100 рублей и 20 рублей за километр». Тот же автомат можно задать формулой $y=100+20x$, таблицей и графиком. Слова и формула задают тариф; таблица показывает несколько его значений, а график — зависимость на изображенном участке. Каждая запись отвечает на вопрос «что выйдет при этом входе».

Один тариф такси четырьмя способами: словами, формулой, таблицей и графиком; везде при x = 3 км стоимость 160 ₽ — Слова, формула, таблица и график описывают один тариф: при $x=3$ везде $y=160$. Таблица и график показывают лишь часть значений

Способ	Как найти выход	Чего не хватает
Словами	выполнить действия по описанию	длинно, легко понять двояко
Формулой	подставить $x$ и посчитать	не видно поведение целиком
Таблицей	найти столбец с нужным $x$	только для записанных $x$
Графиком	подняться от $x$ до линии и посмотреть $y$	значения приближенные

Сверка таблицы с формулой

1) Возьмите $x$ из первой строки таблицы. 2) Подставьте его в формулу. 3) Сравните результат с $y$ из таблицы. 4) Повторите для каждого столбца. Если все совпали, формула согласуется со всеми данными таблицы; о других $x$ таблица сама по себе ничего не сообщает.

Одного совпадения мало: формулы $y=2x+1$ и $y=3x$ при $x=1$ дают одинаковое значение 3, а при $x=2$ — уже 5 и 6.

{"questions":[{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$y=2x+1$","$y=x^2+1$","$y=3x$"],"items":["$x$: 1, 2, 3; $y$: 3, 5, 7","$x$: 1, 2, 3; $y$: 2, 5, 10","$x$: 1, 2, 3; $y$: 3, 6, 9","$x$: 1, 2, 3; $y$: 3, 4, 5"]}},"instruction":"Соотнесите формулу и таблицу значений","hints":["Подставьте $x=1$, $2$, $3$ в каждую формулу.","$2x+1$: 3, 5, 7; $x^2+1$: 2, 5, 10; $3x$: 3, 6, 9.","Ответ: $y=2x+1$ — 3, 5, 7; $y=x^2+1$ — 2, 5, 10; $y=3x$ — 3, 6, 9; строка 3, 4, 5 лишняя."],"step":1}],"mix":1}

Не каждый вход автомат принимает

Вернемся к калькулятору. Посчитаем $\dfrac{1}{x-2}$ для нескольких $x$: при $x=0$ получаем $\dfrac{1}{-2}=-0{,}5$, при $x=3$ — $\dfrac{1}{1}=1$, при $x=4$ — $\dfrac{1}{2}=0{,}5$. А при $x=2$ знаменатель равен $2-2=0$, и получается $\dfrac{1}{0}$. Делить на нуль нельзя, поэтому калькулятор пишет «Error». Это и есть ответ на вопрос из начала урока: автомат $\dfrac{1}{x-2}$ не принимает вход $x=2$.

Автомат y = 1/(x − 2) принимает все входы, кроме x = 2: на числовой прямой точка 2 выколота — Для $y=\dfrac{1}{x-2}$ все входы допустимы, кроме $x=2$: на прямой это пустой кружок

Определение

Область определения функции — все значения аргумента $x$, для которых эта функция задана. Обозначение: $D(f)$ или $D(y)$.

Если функция задана формулой и дополнительных ограничений нет, берем все $x$, при которых выражение имеет смысл, то есть дает число. Для тарифа такси $x\ge0$ по смыслу расстояния; в таблице допустимы только перечисленные входы.

Правило

Если в формуле есть дробь, из области определения исключают значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.

$$\frac{A}{B}:\quad B\ne0$$

Почему именно знаменатель? Сложить, вычесть и умножить можно любые числа, и результат всегда будет числом. Поэтому если в формуле нет деления на выражение с $x$ и нет корня, ограничений нет: например, у функции $y=x^2-7x$ область определения — все числа. Деление выполнимо всегда, кроме деления на нуль. Значит, у дроби опасен только знаменатель, а числитель может быть любым, даже нулем.

Пример

Найдите область определения функции $y=\dfrac{x+1}{2x-8}$.

Решение. Знаменатель не должен равняться нулю: $2x-8\ne0$, $2x\ne8$, $x\ne4$.

Проверка. При $x=4$ знаменатель $2\cdot4-8=0$ — значения нет. При $x=-1$ числитель равен нулю: $\dfrac{0}{-10}=0$ — это число, так что $x=-1$ допустим.

Ответ: все числа, кроме 4.

Ошибка

Вообразавр рассуждает так: «Я подставил в $\dfrac{1}{x-2}$ числа 0, 3 и 4, каждый раз получилось число. Значит, формулу можно считать при любом $x$».

Проверка на числах: при $x=2$ получается $\dfrac{1}{0}$, а такого числа нет.

Где сломалось рассуждение: несколько удачных подстановок ничего не говорят об остальных числах. Утверждение «при любом $x$» опровергает одно-единственное неудачное значение. Поэтому область определения ищут не перебором, а условием: знаменатель $\ne0$.

{"questions":[{"content":"Укажите область определения функции $y=\\dfrac{2}{x-7}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Все числа, кроме 2","Все числа","Все числа, кроме 7","Все числа, кроме $-7$"],"explanations":["Число 2 стоит в числителе; числитель может быть любым","При $x=7$ знаменатель равен 0, а делить на нуль нельзя","","Знак перепутан: нуль знаменателя при $x-7=0$, то есть при $x=7$"],"answer":[2]}},"hints":["Делить на нуль нельзя: $x-7\\ne0$.","Значит, $x\\ne7$.","Область определения — все числа, кроме 7."],"step":1},{"content":"Вообразавр пишет: «У функции $y=\\dfrac{6}{x+3}$ область определения — все числа: я подставил $x=0$, $x=1$ и $x=3$, и каждый раз получилось число». Что не так в его выводе?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["При $x=0$ делить нельзя, это число нужно исключить","При $x=-3$ знаменатель равен 0, это число нужно исключить","При $x=3$ знаменатель равен 0, это число нужно исключить","Ошибки нет: три проверки дали числа"],"explanations":["При $x=0$ получаем $\\frac{6}{3}=2$; нуль стоит не в знаменателе","","При $x=3$ знаменатель $3+3=6$; знак перепутан","Три удачные проверки не охватывают все числа; при $x=-3$ значения нет"],"answer":[1]}},"hints":["Несколько удачных подстановок не доказывают, что формула считается при любом $x$.","Ищем, где знаменатель равен нулю: $x+3=0$ при $x=-3$.","При $x=-3$ получаем $\\frac{6}{0}$ — значения нет. Область определения — все числа, кроме $-3$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Укажите область определения функции $y=x^2-4x+1$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$x\\ge0$","Все числа","Все числа, кроме 0","Все числа, кроме 1"],"explanations":["Корня в формуле нет, отрицательные $x$ подставлять можно","","Деления на $x$ в формуле нет","Значение $x=1$ дает $1-4+1=-2$, ограничений нет"],"answer":[1]}},"hints":["В формуле только умножение, сложение и вычитание — они выполнимы всегда.","Любое $x$ дает значение $y$.","Область определения — все числа."],"step":1}],"mix":1}

Корень принимает только неотрицательные числа

Второй вид ограничений дает квадратный корень. Вспомним: $\sqrt9=3$, потому что $3^2=9$; $\sqrt0=0$, потому что $0^2=0$. А чему равен $\sqrt{-4}$? Нужно число, квадрат которого равен $-4$. Но квадрат любого числа не меньше нуля, поэтому такого числа нет. Автомат с корнем отрицательные числа под корнем не принимает, а нуль принимает.

Автомат y = √(x − 1): допустимы x ≥ 1, точка 1 закрашена (граница входит), левее 1 — вход отвергается — Для $y=\sqrt{x-1}$ допустимы $x\ge1$: точка 1 закрашена, левее нее входы отвергнуты

Правило

Если в формуле есть квадратный корень, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля.

$$\sqrt{A}:\quad A\ge0$$

Пример

Найдите область определения функции $y=\sqrt{x+5}$.

Решение. Подкоренное выражение не меньше нуля: $x+5\ge0$, $x\ge-5$.

Проверка. При $x=-5$: $\sqrt0=0$ — значение есть. При $x=4$: $\sqrt9=3$. При $x=-6$: $\sqrt{-1}$ — значения нет.

Ответ: $x\ge-5$.

Ошибка

Вообразавр записал для $y=\sqrt{x+5}$ условие $x>-5$. Проверяем границу: при $x=-5$ получаем $\sqrt0=0$ — значение есть, вход принят. Потеряна допустимая граница: верно $x\ge-5$.

Знак в условии нестрогий: $\ge$, а не $>$. Число, при котором под корнем получается нуль, входит в область определения.

Проверьте правила в автомате ниже. Это четыре раунда «предскажи область — проверь на прямой»: в каждом сначала решите, какие входы автомат отвергнет, и выберите область определения, а потом сравните со значениями на числовой прямой. Последняя формула в тексте не встречалась. Целые точки на прямой лишь проверяют прогноз; область определения целиком дает условие из правила.

avtomat-oblast

{"questions":[{"content":"Найдите наименьшее целое $x$, при котором имеет смысл выражение $\\sqrt{x-3}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Под корнем число не меньше нуля: $x-3\\ge0$.","$x\\ge3$, наименьшее целое — 3.","Ответ: 3."],"step":1},{"content":"Решавр проверил функцию $y=\\sqrt{x-4}$ при $x=8$ и $x=4$, получил числа и решил, что она определена при любом $x$. Найдите наибольшее целое $x$, при котором $\\sqrt{x-4}$ не существует. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Корень не существует, если $x-4<0$.","$x<4$, наибольшее целое — 3.","Проверка: $\\sqrt{3-4}=\\sqrt{-1}$, числа нет. Ответ: 3."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Для функции $y=\\sqrt{x+2}$ область определения задается условием [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$x\\ge-2$","$x\\le-2$","$x\\ge2$","$x\\ne-2$"],"answer":0}},"hints":["Под корнем число не меньше нуля: $x+2\\ge0$.","Переносим 2: $x\\ge-2$."],"step":1}],"mix":1}

Когда ограничений несколько, они действуют вместе

В одной формуле может быть и корень, и дробь. Тогда вход должен пройти обе проверки сразу: если хотя бы одна не пройдена, автомат его не принимает. Условия выписывают для каждой опасной части, а в ответ берут только те $x$, которые подходят всем условиям.

Пример

Найдите область определения функции $y=\dfrac{\sqrt{x+4}}{x-2}$.

Решение. Корень: $x+4\ge0$, то есть $x\ge-4$. Дробь: $x-2\ne0$, то есть $x\ne2$.

Оба условия сразу: $x\ge-4$ и $x\ne2$.

Проверка. При $x=-4$: $\dfrac{\sqrt0}{-6}=0$ — значение есть. При $x=2$: $\dfrac{\sqrt6}{0}$ — значения нет. При $x=-5$: $\sqrt{-1}$ — значения нет.

Ответ: $x\ge-4$, $x\ne2$. Как записать его промежутками, разберем ниже.

Разберем на прямой ответ примера: условие $x\ge-4$ — луч от $-4$ вправо, число $-4$ входит. Исключение $x\ne2$ выкалывает точку 2 из этого луча. Остаются две части: от $-4$ до 2 и правее 2.

Область определения записывают словами («все числа, кроме 4»), неравенством ($x\ge-5$) или числовым промежутком. Квадратная скобка означает, что конец входит, круглая — что не входит. У бесконечности $+\infty$ и $-\infty$ скобка всегда круглая: это не число, а знак «без конца». Знак $\cup$ объединяет части ответа: подходит число, которое принадлежит хотя бы одному из указанных промежутков. Для примера $[-4;2)\cup(2;+\infty)$: число $-4$ принадлежит первой части, число 3 — второй, оба входят в ответ; число 2 не принадлежит ни одной части.

Запись промежутка

Включенная граница — квадратная скобка, исключенная — круглая; у $\pm\infty$ скобка всегда круглая. Знак $\cup$ соединяет допустимые части. Ответ примера: $[-4;2)\cup(2;+\infty)$.

Область определения y = √(x+4)/(x−2): x ≥ −4 и x ≠ 2, то есть [−4; 2) ∪ (2; +∞) — Область определения $y=\dfrac{\sqrt{x+4}}{x-2}$: от $-4$ включительно вправо, без точки 2

Словами	Неравенство	Промежуток
от $-5$ включительно и больше	$x\ge-5$	$[-5;+\infty)$
больше 3	$x>3$	$(3;+\infty)$
от 1 до 6, оба конца включены	$1\le x\le6$	$[1;6]$
все числа, кроме 4	$x\ne4$	$(-\infty;4)\cup(4;+\infty)$

Обратите внимание

В 8 классе ответ можно записать словами или неравенством, если промежутки еще не привычны. Главное — не потерять ни одного условия и ни одной исключенной точки.

{"questions":[{"content":"Для функции $y=\\dfrac{\\sqrt{x-1}}{x-5}$ разложите значения $x$ по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Входит в область определения","Не входит"],"items":[["$x=1$","$x=3$","$x=7$"],["$x=-1$","$x=0$","$x=5$"]]}},"instruction":"Разложите значения по группам","hints":["Проверьте отдельно: можно ли извлечь корень и не обращается ли знаменатель в нуль. Вход принимается, только если выполнены все проверки.","Корень: $x-1\\ge0$, то есть $x\\ge1$. Значит, $-1$ и $0$ не подходят.","Знаменатель: $x-5\\ne0$, то есть $x\\ne5$.","Ответ: входят 1, 3, 7; не входят $-1$, 0, 5."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сколько целых значений $x$ из отрезка $[0;6]$ входят в область определения функции $y=\\dfrac{\\sqrt x}{x-4}$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Корень: $x\\ge0$ — весь отрезок подходит.","Знаменатель: $x\\ne4$ — исключаем 4.","Из семи целых чисел $0,\\ldots,6$ остается шесть. Ответ: 6."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$y=\\dfrac{1}{x+3}$","$y=\\sqrt{x+3}$","$y=x^2+3$"],"items":["$x\\ne-3$","$x\\ge-3$","Любое число","$x\\le-3$"]}},"instruction":"Соотнесите формулу и область определения","hints":["Проверьте отдельно: можно ли извлечь корень и не обращается ли знаменатель в нуль. Вход принимается, только если выполнены все проверки.","Дробь: знаменатель не нуль, $x+3\\ne0$, $x\\ne-3$.","Корень: $x+3\\ge0$, $x\\ge-3$.","Формула $x^2+3$ — многочлен, ограничений нет.","Ответ: дробь — $x\\ne-3$; корень — $x\\ge-3$; многочлен — любое число; условие $x\\le-3$ лишнее."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Функция — автомат: на каждый допустимый вход $x$ он выдает ровно один выход $y=f(x)$. Область определения — все входы, которые автомат принимает. Она пригодится всякий раз, когда вы решаете уравнение с дробью или корнем: сначала понять, какие $x$ вообще допустимы, а потом считать. Главное запомнить через модель:

Несколько удачных подстановок не доказывают, что формула считается при любом $x$; доказывает условие.

Интересный факт: откуда запись f(x)

Скрыть

Слово «функция» в математике стал употреблять Г. Лейбниц в конце XVII века. Запись $f(x)$ ввел Л. Эйлер в 1734 году, и с тех пор ею пользуются во всем мире.

Часто задаваемые вопросы

Чем область определения отличается от самой формулы?

Формула говорит, как из входа получить выход. Область определения говорит, какие входы вообще можно подавать: те, для которых функция задана. Если функция задана формулой без дополнительных условий, берут все $x$, при которых выражение имеет смысл; например, у $\frac{1}{x-2}$ это $x\ne2$. Для таблицы допустимы только перечисленные входы.

Почему корень из нуля можно, а из отрицательного числа нельзя?

Корень из $A$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $A$. Для нуля такое число есть: $0^2=0$. Квадрат любого числа не меньше нуля, поэтому для отрицательного $A$ подходящего числа нет.

Если числитель дроби равен нулю, это тоже исключают?

Нет. Дробь с нулевым числителем и ненулевым знаменателем равна нулю, это обычное число. Исключают только значения, при которых нулю равен знаменатель.

Можно ли найти область определения, подставляя числа?

Подстановка помогает проверить ответ, но не найти его целиком: чисел бесконечно много, а неудачным может оказаться одно. Поэтому сначала выписывают условия для каждой дроби и каждого корня, а подстановкой проверяют границы.

Где область определения встретится дальше?

В уравнениях и неравенствах с дробями и корнями, а также при построении графиков: точку, где автомат не принимает вход, на графике не закрашивают: ее показывают пустым кружком или линия графика в ней прерывается.

Дальше: тест урока