Функция и ее область определения

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Таблица: $x$ — 0, 3, 3, 7; $y$ — 1, 2, 4, 8. Задает ли она функцию, где $x$ — аргумент?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да: все значения $y$ в таблице разные","Нет: значение $y=8$ записано один раз","Нет: значению $x=3$ соответствуют два значения $y$","Да: у каждого $x$ есть пара"],"explanations":["Разные $y$ ничего не гарантируют: нужно одно $y$ для каждого $x$","Одно $y$ для одного $x$ допустимо; ошибка в $x=3$","","Для $x=3$ пар две, а нужна ровно одна"],"answer":[2]}},"hints":["Каждому $x$ должно соответствовать одно $y$.","При $x=3$ в таблице $y=2$ и $y=4$.","Значит, функцией таблица не является."],"step":1},{"id":"1","content":"Таблица: $x$ — 2, 4, 4, 9; $y$ — 5, 1, 6, 0. Задает ли она функцию, где $x$ — аргумент?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нет: значению $x=4$ соответствуют два значения $y$","Да: у каждого $x$ есть пара","Нет: значение $y=0$ записано один раз","Да: все значения $y$ в таблице разные"],"explanations":["","Для $x=4$ пар две, а нужна ровно одна","Одно $y$ для одного $x$ допустимо; ошибка в $x=4$","Разные $y$ ничего не гарантируют: нужно одно $y$ для каждого $x$"],"answer":[0]}},"hints":["Каждому $x$ должно соответствовать одно $y$.","При $x=4$ в таблице $y=1$ и $y=6$.","Значит, функцией таблица не является."],"step":1},{"id":"2","content":"Функция задана формулой $f(x)=x^2-4x$. Найдите $f(-3)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["Подставляем $x=-3$: $(-3)^2-4\\cdot(-3)$.","$9+12=21$.","Ответ: 21."],"step":1},{"id":"2","content":"Функция задана формулой $f(x)=x^2+6x$. Найдите $f(-4)$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-8"}},"hints":["Подставляем $x=-4$: $(-4)^2+6\\cdot(-4)$.","$16-24=-8$.","Ответ: $-8$."],"step":1},{"id":"3","content":"Функция задана таблицей: $x$ — $-2$, $0$, $1$, $4$; $y$ — $5$, $3$, $-1$, $2$. Соотнесите значение функции и число.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$f(-2)$","$f(1)$","$f(4)$"],"items":["$5$","$-1$","$2$","$7$"]}},"instruction":"Соотнесите значение функции и число","hints":["$f(a)$ — значение $y$ при $x=a$.","Ответ: $f(-2)$ → $5$; $f(1)$ → $-1$; $f(4)$ → $2$; $7$ лишнее."],"step":1},{"id":"3","content":"Функция задана таблицей: $x$ — $-3$, $-1$, $2$, $6$; $y$ — $4$, $0$, $7$, $-2$. Соотнесите значение функции и число.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$f(-3)$","$f(-1)$","$f(6)$"],"items":["$4$","$0$","$-2$","$9$"]}},"instruction":"Соотнесите значение функции и число","hints":["$f(a)$ — значение $y$ при $x=a$.","Ответ: $f(-3)$ → $4$; $f(-1)$ → $0$; $f(6)$ → $-2$; $9$ лишнее."],"step":1},{"id":"4","content":"Область определения функции $y=\\dfrac{1}{x-5}$: все числа, кроме [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$0$","$1$","$5$","$-5$"],"answer":2}},"hints":["Знаменатель не равен нулю: $x-5\\ne0$.","Значит, $x\\ne5$."],"step":1},{"id":"4","content":"Область определения функции $y=\\dfrac{3}{x+4}$: все числа, кроме [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$3$","$4$","$-4$","$0$"],"answer":2}},"hints":["Знаменатель не равен нулю: $x+4\\ne0$.","Значит, $x\\ne-4$."],"step":1},{"id":"5","content":"Расставьте шаги нахождения наименьшего целого $x$, при котором имеет смысл $\\sqrt{x-6}$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Записать условие: $x-6\\ge0$","Из условия найти границу: $x\\ge6$","Остается выбрать наименьшее целое $x$ из промежутка"]}},"hints":["Сначала условие: подкоренное выражение не меньше нуля.","Решаем неравенство, затем выбираем наименьшее целое."],"step":1},{"id":"5","content":"Расставьте шаги нахождения наименьшего целого $x$, при котором имеет смысл $\\sqrt{x+4}$.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Записать условие: $x+4\\ge0$","Из условия найти границу: $x\\ge-4$","Остается выбрать наименьшее целое $x$ из промежутка"]}},"hints":["Сначала условие: подкоренное выражение не меньше нуля.","Решаем неравенство, затем выбираем наименьшее целое."],"step":1},{"id":"6","content":"Запишите промежутком область определения функции $y=\\sqrt{x-8}$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;8]$","$[8;+\\infty)$","$(8;+\\infty)$","$[-8;+\\infty)$"],"explanations":["Направление перепутано: допустимы большие числа","","Число 8 допустимо ($\\sqrt0=0$), поэтому скобка квадратная","Знак перепутан: условие $x-8\\ge0$ дает $x\\ge8$"],"answer":[1]}},"hints":["Условие: $x-8\\ge0$, то есть $x\\ge8$.","Число 8 входит в область: скобка квадратная. Справа — бесконечность: круглая.","Ответ: $[8;+\\infty)$."],"step":1},{"id":"6","content":"Запишите промежутком область определения функции $y=\\sqrt{x+3}$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$[-3;+\\infty)$","$(-\\infty;-3]$","$[3;+\\infty)$","$(-3;+\\infty)$"],"explanations":["","Направление перепутано: допустимы большие числа","Знак перепутан: условие $x+3\\ge0$ дает $x\\ge-3$","Число $-3$ допустимо ($\\sqrt0=0$), поэтому скобка квадратная"],"answer":[0]}},"hints":["Условие: $x+3\\ge0$, то есть $x\\ge-3$.","Число $-3$ входит в область: скобка квадратная. Справа — бесконечность: круглая.","Ответ: $[-3;+\\infty)$."],"step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр записал область определения функции $y=\\dfrac{\\sqrt{x+2}}{x+2}$ так: $x\\ge-2$, ведь корень из нуля существует. Какое значение $x$ из его ответа на самом деле не подходит и почему?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$x=-3$: под корнем отрицательное число","$x=-2$: знаменатель равен 0, хотя корень существует","$x=0$: под корнем $2$","$x=-1$: под корнем $1$"],"explanations":["Значение $x=-3$ в ответ Вообразавра не входит","","Здесь $\\frac{\\sqrt2}{2}$ — число, вход принимается","Здесь $\\frac{\\sqrt1}{1}=1$, вход принимается"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте отдельно: можно ли извлечь корень и не обращается ли знаменатель в нуль.","Корень допускает $x\\ge-2$, знаменатель требует $x+2\\ne0$.","При $x=-2$ получаем $\\frac{0}{0}$: делить на нуль нельзя. Ответ: $x>-2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр записал область определения функции $y=\\dfrac{\\sqrt{x-3}}{x-3}$ так: $x\\ge3$, ведь корень из нуля существует. Какое значение $x$ из его ответа на самом деле не подходит и почему?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$x=7$: под корнем $4$","$x=2$: под корнем отрицательное число","$x=4$: под корнем $1$","$x=3$: знаменатель равен 0, хотя корень существует"],"explanations":["Здесь $\\frac{2}{4}$ — число, вход принимается","Значение $x=2$ в ответ Вообразавра не входит","Здесь $\\frac{\\sqrt1}{1}=1$, вход принимается",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте отдельно: можно ли извлечь корень и не обращается ли знаменатель в нуль.","Корень допускает $x\\ge3$, знаменатель требует $x-3\\ne0$.","При $x=3$ получаем $\\frac{0}{0}$: делить на нуль нельзя. Ответ: $x>3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр утверждает: «Функция $y=\\sqrt{x-2}$ определена при любом $x$: при $x=6$ получаем $\\sqrt4=2$». Найдите ошибку в рассуждении: какое значение $x$ опровергает вывод?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$x=3$: получается $\\sqrt1$","$x=1$: получается $\\sqrt{-1}$","$x=6$: получается $\\sqrt4$","$x=2$: получается $\\sqrt0$"],"explanations":["Корень из 1 равен 1, значение существует","","Это значение допустимо и ничего не опровергает","Корень из нуля равен 0, значение существует"],"answer":[1]}},"hints":["Опровержение — значение $x$ с отрицательным подкоренным выражением.","При $x=1$: $\\sqrt{1-2}=\\sqrt{-1}$, такого числа нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр утверждает: «Функция $y=\\sqrt{x+1}$ определена при любом $x$: при $x=8$ получаем $\\sqrt9=3$». Найдите ошибку в рассуждении: какое значение $x$ опровергает вывод?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$x=-1$: получается $\\sqrt0$","$x=8$: получается $\\sqrt9$","$x=-4$: получается $\\sqrt{-3}$","$x=0$: получается $\\sqrt1$"],"explanations":["Корень из нуля равен 0, значение существует","Это значение допустимо и ничего не опровергает","","Корень из 1 равен 1, значение существует"],"answer":[2]}},"hints":["Опровержение — значение $x$ с отрицательным подкоренным выражением.","При $x=-4$: $\\sqrt{-4+1}=\\sqrt{-3}$, такого числа нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Найдите наибольшее целое $x$, при котором имеет смысл выражение $\\sqrt{7-2x}$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Под корнем не меньше нуля: $7-2x\\ge0$.","Перенесем $2x$ вправо (знак меняется): $7\\ge2x$, то есть $x\\le3{,}5$.","Наибольшее целое — 3. Ответ: 3."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Найдите наибольшее целое $x$, при котором имеет смысл выражение $\\sqrt{9-4x}$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Под корнем не меньше нуля: $9-4x\\ge0$.","Перенесем $4x$ вправо (знак меняется): $9\\ge4x$, то есть $x\\le2{,}25$.","Наибольшее целое — 2. Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр записал область определения функции $y=\\dfrac{\\sqrt{x-1}}{x-3}$ так: $x\\ge1$. Найдите ошибку: что он не учел и каков верный ответ?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$x\\ge1$ и $x\\ne3$","$x\\ne3$","$x\\ge1$","$x\\ge3$"],"explanations":["","Учтена дробь, но при $x=0$ под корнем $-1$","Учтен корень, но при $x=3$ знаменатель равен 0","Условия смешаны: $x=2$ допустимо, а в ответ не вошло"],"answer":[0]}},"hints":["Корень: $x-1\\ge0$, то есть $x\\ge1$.","Знаменатель: $x\\ne3$.","Оба условия сразу: $x\\ge1$ и $x\\ne3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр записал область определения функции $y=\\dfrac{\\sqrt{x+2}}{x-1}$ так: $x\\ge-2$. Найдите ошибку: что он не учел и каков верный ответ?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$x\\ne1$","$x\\ge-2$ и $x\\ne1$","$x\\ge-2$","$x\\ge1$"],"explanations":["Учтена дробь, но при $x=-3$ под корнем $-1$","","Учтен корень, но при $x=1$ знаменатель равен 0","Условия смешаны: $x=0$ допустимо, а в ответ не вошло"],"answer":[1]}},"hints":["Корень: $x+2\\ge0$, то есть $x\\ge-2$.","Знаменатель: $x\\ne1$.","Оба условия сразу: $x\\ge-2$ и $x\\ne1$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>