Рациональные числа: дроби, проценты и приближенные вычисления

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с числами, которые нельзя записать целыми. Половина часа, $2,5$ $кг$ яблок, скидка $15\%$ или расстояние $3,7$ $км$ требуют более точной записи.

Для таких задач используют рациональные числа. Мы уже встречались с ними при изучении числовых множеств. Теперь подробнее разберем разные формы их записи. Рациональные числа можно записывать в виде обыкновенных и десятичных дробей. Некоторые из них дают конечную десятичную дробь, а некоторые — бесконечную периодическую.

В реальных вычислениях точное значение нужно не всегда. Например, при покупке товаров достаточно быстро оценить общую стоимость. Для этого используют округление и прикидку результата. В этом уроке научимся работать с дробями и процентами, переводить числа из одной формы записи в другую, а также выполнять приближённые вычисления.

Рациональные числа и дроби

В данном курсе акцент смещается на изучение действительных чисел, куда входят как рациональные, так и иррациональные числа. Они встречаются при решении различных заданий:

• Уравнения и неравенства: решение систем высших степеней, иррациональных и показательных выражений опирается на свойства дробей и рациональных коэффициентов.
• Прогрессии: арифметическая и геометрическая прогрессии повторяются на более сложном уровне с параметрами.
• Тригонометрия: значения синусов, косинусов и радианная мера углов тесно связаны с рациональными коэффициентами при числе $\pi$.

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, а $n\ne0$.

Например, числа $5$, $-3$, $\frac{2}{7}$ и $0,25$ являются рациональными.

Целые числа также можно представить в виде дроби со знаменателем $1$: $$5=\frac51,\qquad -3=\frac{-3}{1}.$$ Поэтому любое целое число является рациональным.

Обыкновенные дроби

Обыкновенная дробь имеет вид $\frac{a}{b},$ где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель.

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. Числитель показывает, сколько таких частей взяли.

Десятичные дроби

Обыкновенную дробь можно записать не только в виде $\frac{a}{b}$. Иногда ее удобно представить в виде десятичной дроби.

Например: $$\frac12=0,5.$$

Десятичная дробь позволяет записывать части единицы с помощью десятичной записи.

Вспомним разряды после запятой: $$0,5=5\cdot\frac{1}{10},$$ $$0,25=2\cdot\frac{1}{10}+5\cdot\frac{1}{100}.$$

Поэтому число $0,25$ означает «$25$ сотых».

{"questions":[{"content":"Представьте число $0,375$ в виде обыкновенной дроби.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac38$","$\\frac18$","$\\frac35$","$\\frac3{10}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["После запятой три цифры. Поэтому: $$0,375=\\frac{375}{1000}.$$","Сократим дробь: $$\\frac{375}{1000}=\\frac38.$$"]},{"content":"Представьте дробь $\\frac{7}{20}$ в виде десятичной дроби.[[fill_choice_big-20]]","widgets":{"fill_choice_big-20":{"type":"fill_choice_big","options":["$0,35$","$0,3$","$0,7$","$0,45$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Чтобы перевести дробь в десятичную, нужно привести знаменатель к значению $100$.","Переведем дробь в десятичную: $$\\frac7{20}=\\frac{7 \\cdot 5}{20 \\cdot 5}=0,35.$$"]}],"mix":1}

Проценты

С процентами вы знакомы еще из основной школы. Однако сейчас проценты они станут рабочим инструментом для решения серьезных задач: от банковских расчетов до задач на смеси и сплавы. Вспомним основные правила и разберем, как проценты связаны с дробями и десятичными числами.

Например, скидку в магазине могут указать как $20\%$, содержание вещества — как $5\%$, а результат выполнения задания — как $90\%$.

Процент — это одна сотая часть величины.

Поэтому $$1\%=\frac{1}{100}=0,01.$$

Десять процентов составляют десять сотых: $$10\%=\frac{10}{100}=0,1.$$

А $50\%$ — половину целого: $$50\%=\frac{50}{100}=\frac12.$$

Перевод процентов в дробь

Чтобы перевести проценты в обыкновенную дробь, достаточно разделить число процентов на $100$. Например: $$25\%=\frac{25}{100}=\frac14.$$

А при переводе процентов в десятичную дробь нужно разделить на $100$: $$25\%=0,25.$$

Таким образом, $$25\%=\frac14=0,25.$$

{"questions":[{"content":"Переведите $37{,}5\\%$ в несократимую обыкновенную дробь.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{3}{8}$","$\\frac{3}{5}$","$\\frac{37}{50}$","$\\frac{15}{4}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Представим проценты в виде дроби со знаменателем $100$: $37{,}5\\%=\\frac{37{,}5}{100}$.","Умножим числитель и знаменатель на $10$: $\\frac{37{,}5}{100}=\\frac{375}{1000}$.","Сократим дробь на $125$: $\\frac{375}{1000}=\\frac{3}{8}$."]}]}

Перевод дроби в проценты

Чтобы перевести дробь в проценты, нужно умножить ее на $100\%$.

Например:

$$\frac35\cdot100\%=60\%.$$

То же самое можно сделать через десятичную запись:

$$\frac35=0,6=60\%.$$

{"questions":[{"content":"Переведите дробь $\\frac{7}{16}$ в проценты.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$43{,}75\\%$","$4{,}375\\%$","$0{,}4375\\%$","$112{,}5\\%$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Чтобы перевести дробь в проценты, умножим ее на $100\\%$: $\\frac{7}{16}\\cdot100\\%$.","Выполним умножение: $\\frac{7}{16}\\cdot100\\%=\\frac{700}{16}\\%$.","Разделим $700$ на $16$: $\\frac{700}{16}\\%=43{,}75\\%$."]}]}

Нахождение процента от числа

Чтобы найти несколько процентов от числа, можно представить процент в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Например, найдем $20\%$ от $300$. Сначала представим $20\%$ в виде дроби: $$20\%=\frac{20}{100}=0,2.$$

Теперь умножим $300$ на $0,2$: $$300\cdot0,2=60.$$

Следовательно, $20\%$ от $300$ равны $60$.

Можно записать решение сразу: $$300\cdot\frac{20}{100}=60.$$

Ответ: $60$.

{"questions":[{"content":"Стоимость оборудования составляет $48\\,000$ рублей. Магазин предоставляет скидку $17{,}5\\%$. Найдите размер скидки.[[choice-15]]","widgets":{"choice-15":{"type":"choice","options":["$8\\,400$ рублей","$30\\,500$ рублей","$40\\,500$ рублей","$56\\,400$ рублей"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Чтобы найти $p\\%$ от числа $a$, используем формулу $a\\cdot\\frac{p}{100}$.","Подставим значения: $48\\,000\\cdot\\frac{17{,}5}{100}$.","Вычислим: $\\frac{17{,}5}{100}=0{,}175$, поэтому $48\\,000\\cdot0{,}175=8\\,400$."]}]}

Нахождение числа по его проценту

Иногда известно, сколько составляет определенный процент, и нужно найти все число.

Например, $20\%$ некоторого числа равны $50$. Найдем это число. Запишем условие с помощью уравнения: $$0,2x=50.$$

Разделим обе части на $0,2$: $$x=\frac{50}{0,2}=250.$$

Следовательно, искомое число равно $250$.

Ответ: $250$.

{"questions":[{"content":"Турист прошел $42$ км, что составляет $17{,}5\\%$ всего маршрута. Найдите длину всего маршрута.[[choice-27]]","widgets":{"choice-27":{"type":"choice","options":["$7{,}35$ км","$59{,}5$ км","$240$ км","$735$ км"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Пусть длина всего маршрута равна $x$ км. По условию $17{,}5\\%$ от $x$ составляет $42$ км.","Составим уравнение: $x\\cdot\\frac{17{,}5}{100}=42$.","Выразим неизвестное число: $x=42\\cdot\\frac{100}{17{,}5}=240$."]}]}

Нахождение процентного отношения

Иногда нужно определить, сколько процентов одно число составляет от другого.

Например, какой процент составляет $30$ от $120$?

Для этого разделим $30$ на $120$: $$\frac{30}{120}=0,25.$$

Переведем полученную дробь в проценты: $$0,25=25\%.$$

Следовательно, $30$ составляет $25\%$ от $120$.

Ответ: $25\%$.

{"questions":[{"content":"На предприятии изготовили $640$ деталей, из них $24$ детали не прошли контроль качества. Какой процент от общего количества изготовленных деталей составляют детали, не прошедшие контроль?[[fill_choice_big-35]]","widgets":{"fill_choice_big-35":{"type":"fill_choice_big","options":["$3{,}75\\%$","$26{,}67\\%$","$37{,}5\\%$","$0{,}375\\%$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Чтобы найти процентное отношение двух чисел, разделим часть на общее количество и умножим результат на $100\\%$.","Подставим данные задачи: $\\frac{24}{640}\\cdot100\\%$.","Вычислим: $\\frac{24}{640}=0{,}0375$, поэтому $0{,}0375\\cdot100\\%=3{,}75\\%$."]}]}

Периодические десятичные дроби

При переводе обыкновенной дроби в десятичную запись деление иногда не заканчивается. Например: $$\frac13=1:3=0,333\ldots$$

После запятой бесконечно повторяется цифра $3$. Такая десятичная дробь называется периодической.

Периодическая десятичная дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой одна или несколько цифр постоянно повторяются в определенной последовательности.

Повторяющуюся последовательность цифр называют периодом дроби. Вместо многоточия период обычно записывают в скобках: $$\frac13=0,(3).$$ Читается: «ноль целых три в периоде».

Рассмотрим еще один пример: $$\frac27=0,285714285714\ldots$$

Здесь повторяется последовательность $285714$. Поэтому: $$\frac27=0,(285714).$$

Числа $3$ и $285714$ являются периодами соответствующих дробей.

Как перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную

Рассмотрим дробь: $$x=0,(3).$$

Запишем ее в виде бесконечной десятичной дроби: $$x=0,333\ldots.$$

Умножим обе части на $10$ и вычтем первое равенство из второго: $$10x=3,333\ldots$$ $$10x-x=3,333\ldots-0,333\ldots$$

Получаем: $$9x=3$$ $$x=\frac39=\frac13.$$

Следовательно, $$0,(3)=\frac13.$$

Так можно переводить простые периодические дроби в обыкновенные.

Показать решение

Скрыть

После вычитания повторяющаяся часть сокращается, и остается обычное уравнение.

Таким образом, периодическая десятичная дробь — это не новое число, отличное от обыкновенной дроби. Это другая форма записи рационального числа.

{"questions":[{"content":"Переведите чистую периодическую дробь $0{,}(36)$ в несократимую обыкновенную дробь.[[fill_choice_big-44]]","widgets":{"fill_choice_big-44":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{36}{100}$","$\\frac{18}{55}$","$\\frac{4}{11}$","$\\frac{36}{11}$"],"placeholder":0,"answer":2}},"step":1,"hints":["Обозначим данную дробь через $x$: $x=0{,}(36)$.<br />В периоде две цифры, поэтому умножим обе части равенства на $100$: $100x=36{,}(36)$.","Вычтем из второго равенства первое: $100x-x=36{,}(36)-0{,}(36)$. Получим $99x=36$.","Выразим $x$ и сократим дробь: $x=\\frac{36}{99}=\\frac{4}{11}$."]}]}

Приближённые значения чисел

До этого мы старались получать точные значения чисел. Однако в некоторых случаях точная запись оказывается неудобной или невозможной.

Например, число $\pi$ имеет бесконечную непериодическую десятичную запись: $$\pi=3,1415926535\ldots$$

Записать все цифры этого числа невозможно. Поэтому в вычислениях часто используют его приближенное значение: $$\pi\approx3,14.$$ Знак $\approx$ означает «приближенно равно».

Приближённое значение — это число, близкое к исходному и удобное для вычислений.

Например, $$\sqrt2\approx1,414.$$

Число $1,414$ не равно $\sqrt2$, но находится к нему очень близко. Поэтому важно различать знаки $=$ и $\approx$.

Запись $\frac12=0,5$ означает точное равенство. А запись $\sqrt2\approx1,414$ означает, что $1,414$ является приближенным значением $\sqrt2$.

Зачем нужны приближенные значения

Приближенные значения используют, когда точное значение слишком сложно записать или когда высокая точность не требуется.

Например, при вычислении длины окружности можно использовать формулу: $$L=2\pi r.$$

Если радиус равен $5$ см, то точное значение имеет вид: $$L=10\pi\text{ см}.$$

Если нужен результат в десятичной форме, можно использовать приближение: $$L\approx10\cdot3,14=31,4\text{ см}.$$

Полученного значения достаточно, если высокая точность не требуется.

{"questions":[{"content":"Известно, что $\\sqrt{5}=2{,}236067\\ldots$. Выберите правильную запись приближенного значения числа $\\sqrt{5}$ с точностью до тысячных.[[fill_choice_big-57]]","widgets":{"fill_choice_big-57":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\sqrt{5}\\approx2{,}236$","$\\sqrt{5}=2{,}236$","$\\sqrt{5}\\approx2{,}237$","$\\sqrt{5}=2{,}236067$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Оставим три цифры после запятой: $2{,}236$.","Рассмотрим следующую цифру. Она равна $0$. Так как $0<5$, цифру в разряде тысячных не изменяем.","Число $2{,}236$ не равно $\\sqrt{5}$ точно, поэтому используем знак $\\approx$: $\\sqrt{5}\\approx2{,}236$."]}]}

Округление чисел

Один из способов получить приближенное значение — округлить число. При округлении часть цифр отбрасывают, сохраняя заданную точность.

Например, округлим число $3,14159$ до сотых.

Нам нужно оставить две цифры после запятой: $3,14.$ Следующая цифра — $1$. Она меньше $5$, поэтому число не изменяется.

Получаем: $$3,14159\approx3,14.$$

Теперь округлим это же число до десятых: $$3,14159\approx3,1.$$

{"questions":[{"content":"Округлите число $47{,}386$ до сотых.<br>[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$47{,}39$","$47{,}38$","$47{,}4$","$48{,}00$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Рассмотрим цифру в разряде тысячных: это $6$. Поэтому цифру в разряде сотых нужно увеличить на $1$.","Это цифра $6$, поэтому увеличиваем цифру сотых $8$ на единицу, получаем $47{,}39$."]}]}

Прикидка результата

Иногда точный результат вычислять сразу не нужно. Сначала можно оценить, каким примерно должен быть ответ. Такой способ называют прикидкой результата.

Прикидка — это предварительная оценка результата вычисления с помощью удобных приближённых значений.

Прикидка помогает быстро понять порядок числа и проверить готовый ответ. Если полученный результат сильно отличается от прикидки, скорее всего, в вычислениях допущена ошибка.

Например, рассмотрим произведение: $49,8\cdot20,1.$ Точно вычислять его в уме неудобно. Заменим числа близкими и удобными: $$49,8\approx50,\qquad20,1\approx20.$$

Получаем: $$49,8\cdot20,1\approx50\cdot20=1000.$$

Значит, точный результат должен находиться около $1000$.

Прикидка суммы

При сложении можно заменить числа близкими круглыми значениями.

Например: $398+201.$

Заменим $398$ на $400$, а $201$ на $200$: $$398+201\approx400+200=600.$$

Точный результат равен: $$398+201=599.$$

Он действительно близок к полученной прикидке.

{"questions":[{"instruction":"Выберите наиболее близкий результат","content":"Не выполняя точного вычисления, оцените сумму $4\\,873+2\\,096$.[[fill_choice_big-159]]","widgets":{"fill_choice_big-159":{"type":"fill_choice_big","options":["$6\\,000$","$9\\,000$","$7\\,000$","$70\\,000$"],"placeholder":0,"answer":2}},"step":1,"hints":["Для прикидки округлим слагаемые до сотен: $4\\,873\\approx4\\,900$, $2\\,096\\approx2\\,100$.","Сложим округленные числа: $4\\,900+2\\,100=7\\,000$.","Следовательно, сумма $4\\,873+2\\,096$ приближенно равна $7\\,000$."]}]}

Прикидка произведения

При умножении особенно удобно использовать округление.

Например: $19,8\cdot4,1.$

Округлим числа: $$19,8\approx20,\qquad4,1\approx4.$$

Получаем: $$19,8\cdot4,1\approx20\cdot4=80.$$

Значит, точный результат должен быть близок к $80$. Действительно, $$19,8\cdot4,1=81,18.$$

Полученный результат соответствует прикидке.

{"questions":[{"content":"Не выполняя точного вычисления, определите, какое значение наиболее близко к результату: $298 \\cdot 5{,}1$.<br>[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1500$","$150$","$3000$","$600$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Оценим произведение, заменив множители близкими круглыми числами: $298 \\approx 300$ и $5{,}1 \\approx 5$.","Тогда $300 \\cdot 5 = 1500$. Значит, значение произведения $298 \\cdot 5{,}1$ наиболее близко к $1500$."]},{"instruction":"Проверьте результат с помощью прикидки","content":"Ученик вычислил: $19,8\\cdot30,1=59,598.$[[fill_choice_big-100]]","widgets":{"fill_choice_big-100":{"type":"fill_choice_big","options":["результат неверный","результат верный"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Округлим множители:$$19,8\\approx20,\\qquad30,1\\approx30.$$","Тогда: $$19,8\\cdot30,1\\approx20\\cdot30=600.$$","Полученный учеником результат $59,598$ сильно отличается от $600$. Следовательно, в вычислении допущена ошибка."]}],"mix":1}

Прикидка частного

При делении также можно заменить числа удобными значениями.

Например: $$\frac{598}{19}.$$

Заменим $598$ на $600$, а $19$ на $20$: $$\frac{598}{19}\approx\frac{600}{20}=30.$$

Следовательно, результат должен быть примерно равен $30$.

{"questions":[{"instruction":"Выберите наиболее близкий результат","content":"Не выполняя точного вычисления, оцените частное $6\\,120:298$.[[fill_choice_big-164]]","widgets":{"fill_choice_big-164":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$20$","$200$","$2\\,000$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Для прикидки заменим делимое и делитель близкими удобными числами: $6\\,120\\approx6\\,000$, $298\\approx300$.","Разделим округленные числа: $6\\,000:300=20$.","Следовательно, частное $6\\,120:298$ приближенно равно $20$."]}]}

Часто задаваемые вопросы