Иррациональные и действительные числа. Сравнение и оценка чисел. Модуль действительного числа и его свойства

Ранее вы уже встречались с разными видами чисел. Вы работали с натуральными, целыми и рациональными числами. Учились сравнивать числа, выполнять действия с ними и находить их модуль.

В $10$ классе эти знания снова понадобятся. Теперь они станут основой для изучения более сложных тем алгебры и анализа. Например, при решении уравнений и неравенств появляются квадратные корни и иррациональные числа. В задачах приходится сравнивать выражения, оценивать их значения и работать с приближениями.

Иррациональные числа

До этого мы работали с рациональными числами. Напомним, что рациональное число можно представить в виде дроби $$\frac{m}{n},$$ где $m$ и $n$ — целые числа, а $n\ne0$.

Например, числа $5$, $-2$, $\frac37$ и $0,25$ являются рациональными.

Однако существуют числа, которые невозможно представить в таком виде. Их называют иррациональными числами.

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, а $n\ne0$.

Одним из самых известных примеров является число $\sqrt2$.

Докажем, что оно является иррациональным

Скрыть

К иррациональным числам также относятся: $$\sqrt3,\qquad \sqrt5,\qquad \sqrt7,\qquad \pi.$$

Например, $\sqrt9=3.$ Число $3$ является рациональным. Поэтому при работе с корнями важно сначала проверить, можно ли извлечь корень точно.

{"questions":[{"instruction":"Распределите числа по группам","content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Рациональные числа","Иррациональные числа"],"items":[["$\\frac{2}{7}$","$-3$","$0{,}25$","$\\sqrt{16}$"],["$\\sqrt{2}$","$-\\sqrt{35}$","$\\pi$","$\\sqrt{10}$"]]}},"explanation":"Числа $\\frac{2}{7}$, $-3$, $0{,}25$ и $\\sqrt{9}=3$ можно представить в виде обыкновенной дроби, поэтому они рациональные.<br />Числа $\\sqrt{2}$, $-\\sqrt{5}$, $\\pi$ и $\\sqrt{10}$ нельзя представить в виде дроби $\\frac{m}{n}$, поэтому они иррациональные.","hints":["Рациональное число можно представить в виде дроби $\\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n \\ne 0$."]}]}

Десятичная запись иррациональных чисел

Рациональные числа имеют конечную или бесконечную периодическую десятичную запись. Например: $\frac14=0,25, \frac13=0,(3).$

У иррациональных чисел десятичная запись бесконечна и непериодична. Например: $$\sqrt2=1,41421356237\ldots$$ Цифры после запятой продолжаются бесконечно. При этом никакая последовательность цифр не повторяется постоянно. Поэтому иррациональное число нельзя точно записать конечной десятичной дробью.

В старших классах это особенно важно при работе с корнями. Точное значение часто сохраняют в виде $\sqrt2$, $\sqrt5$ или $\pi$, а при необходимости используют приближение: $$\sqrt2\approx1,414.$$ Так можно одновременно сохранять точность вычислений и получать удобное десятичное значение.

{"questions":[{"content":"Соотнесите запись иррационального числа с его приближенной десятичной записью.<br>[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\sqrt{3}$","$\\sqrt{5}$","$\\sqrt{7}$"],"items":["$1{,}732\\ldots$","$2{,}236\\ldots$","$2{,}646\\ldots$","$1{,}414\\ldots$"]}},"explanation":"При извлечении квадратных корней получаем приближенные значения: $\\sqrt{3}\\approx1{,}732$, $\\sqrt{5}\\approx2{,}236$, $\\sqrt{7}\\approx2{,}646$. Их десятичные записи бесконечны и непериодичны.","hints":["Возведем целую часть десятичной записи в квадрат и сравним результат с подкоренным числом. Затем уточним значение по цифрам после запятой."]}]}

Рациональные и иррациональные числа

Множества рациональных и иррациональных чисел не пересекаются. Одно и то же число не может одновременно быть рациональным и иррациональным. Например: $\frac23\in\mathbb Q,$ а $\sqrt2\notin\mathbb Q.$

При этом оба числа являются действительными.

Именно объединение рациональных и иррациональных чисел понадобится нам дальше.

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"instruction":"Какое из выражений имеет иррациональное значение?","content":"[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{50}-5\\sqrt{2}$","$\\frac{\\sqrt{18}}{\\sqrt{2}}$","$\\sqrt{12}+\\sqrt{27}$","$(\\sqrt{7})^2-1$"],"explanations":["Преобразуем: $\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$, поэтому значение выражения равно $0$ — это рациональное число.","Преобразуем: $\\frac{\\sqrt{18}}{\\sqrt{2}}=\\sqrt{9}=3$. Получили рациональное число.","","Вычислим: $(\\sqrt{7})^2-1=7-1=6$. Получили рациональное число."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Упростим каждый корень, выделяя из подкоренного выражения квадрат целого числа. После упрощения проверим, осталось ли в значении выражения иррациональное число вида $a\\sqrt{b}$.","Преобразуем: $\\sqrt{12}+\\sqrt{27}=2\\sqrt{3}+3\\sqrt{3}=5\\sqrt{3}$. Это иррациональное число."]}]}

Действительные числа

Мы уже разделили числа на рациональные и иррациональные. Теперь объединим их в одно множество.

Действительные числа — это все рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначают буквой $\mathbb R$.

Например, действительными являются числа $$-5,\qquad \frac23,\qquad 0,75,\qquad \sqrt2,\qquad \pi.$$

Рациональные числа входят в множество действительных чисел: $$\mathbb Q\subset\mathbb R.$$

Иррациональные числа также являются действительными, но не являются рациональными.

Поэтому действительные числа можно представить как два непересекающихся множества:

• рациональные числа;
• иррациональные числа.

Числовые множества

Вспомним знакомую цепочку числовых множеств: $$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.$$

Натуральные числа входят в целые. Целые входят в рациональные. Рациональные входят в действительные:

Например, $5\in\mathbb N,$ поэтому одновременно $$5\in\mathbb Z,\qquad 5\in\mathbb Q,\qquad 5\in\mathbb R.$$

А число $\sqrt2$ не является рациональным, но является действительным: $$\sqrt2\notin\mathbb Q,\qquad \sqrt2\in\mathbb R.$$

{"questions":[{"instruction":"Поместите каждое число только в одну группу","content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Рациональные числа","Натуральные числа","Целые числа"],"items":[["$\\frac{3}{5}$","$-2{,}7$","$\\frac{11}{4}$"],["$6$","$19$","$100$"],["$-8$","$0$","$-25$"]]}},"explanation":"Сначала выделим натуральные числа: $6$, $19$ и $100$. Затем найдем целые числа, которые не являются натуральными: $-8$, $0$ и $-25$.<br />Числа $\\frac{3}{5}$, $-2{,}7$ и $\\frac{11}{4}$ рациональные, но не целые.","hints":["Натуральные числа используют при счете предметов.<br />Целые числа включают натуральные числа, ноль и отрицательные целые числа.<br />К рациональным относятся числа, которые можно представить в виде дроби $\\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n \\ne 0$."]}]}

Действительные числа на числовой прямой

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой. Например, числа $-2$, $0$ и $3$ располагаются так: $$-2<0<3.$$

Между двумя рациональными числами находятся не только рациональные, но и иррациональные числа.

Например, между $1$ и $2$ находится число $\sqrt2$: $$1<\sqrt2<2.$$

Поэтому числовая прямая содержит все действительные числа. Это позволяет сравнивать даже такие числа, которые записаны совершенно по-разному.Например: $\frac32<\sqrt3,$ поскольку $$1,5<\sqrt3\approx1,732.$$

На практике необязательно каждый раз вычислять точное значение иррационального числа. Иногда достаточно определить, между какими числами оно находится.

Сравнение действительных чисел

С действительными числами можно выполнять те же основные действия, что и с рациональными. Но при сравнении иногда возникают новые ситуации. Например, как сравнить числа $\sqrt2\quad\text{и}\quad1,5?$

Мы не можем записать $\sqrt2$ конечной десятичной дробью. Однако это и не требуется. Достаточно оценить число. Поскольку $1,4<\sqrt2<1,5,$ получаем: $\sqrt2<1,5.$

Такой подход позволяет сравнивать выражения с корнями, не вычисляя их приближенное значение полностью.

Число $5$ находится правее числа $2$, поэтому $5>2$. Точно так же можно сравнивать рациональные и иррациональные числа: $$1<\sqrt2<2.$$ Следовательно, $\sqrt2>1$ и $\sqrt2<2.$

Для неотрицательных чисел действует важное свойство: $$a<b\Longleftrightarrow\sqrt a<\sqrt b.$$ Это означает, что при сравнении неотрицательных квадратных корней можно сравнивать подкоренные выражения.

Например, сравним $\sqrt7$ и $\sqrt{10}$. Поскольку $7<10,$ то $\sqrt7<\sqrt{10}.$ Вычислять значения корней не нужно.

{"questions":[{"instruction":"Распределите неравенства по группам","content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верные неравенства","Неверные неравенства"],"items":[["$\\sqrt{2}<1{,}5$","$-\\sqrt{5}<-2{,}2$","$\\sqrt{10}>3{,}1$","$\\sqrt{15}<4$"],["$\\sqrt{3}>1{,}8$","$-\\sqrt{2}>-1{,}4$","$\\sqrt{7}<2{,}6$","$\\sqrt{11}<3{,}3$"]]}},"step":1,"hints":["Сравним подкоренные выражения с квадратами ближайших десятичных чисел. При сравнении отрицательных чисел учтем, что левее на координатной прямой расположено меньшее число.","Используем приближенные значения:<br />$\\sqrt{2}\\approx1{,}414$,<br />$\\sqrt{3}\\approx1{,}732$,<br />$\\sqrt{5}\\approx2{,}236$,<br />$\\sqrt{7}\\approx2{,}646$,<br />$\\sqrt{10}\\approx3{,}162$,<br />$\\sqrt{11}\\approx3{,}317$,<br />$\\sqrt{15}\\approx3{,}873$."]}]}

Оценка иррациональных чисел

Иногда нам нужно не просто сравнить числа, а определить, между какими числами находится иррациональное число. Например, оценим $\sqrt7$. Знаем: $$2^2=4<7,$$ $$3^2=9>7.$$

Следовательно, $$2<\sqrt7<3.$$

Можно получить более точную оценку. Проверим квадраты чисел $2,6$ и $2,7$: $$2,6^2=6,76<7,$$ $$2,7^2=7,29>7.$$

Поэтому: $$2,6<\sqrt7<2,7.$$ Такой способ позволяет постепенно уточнять значение иррационального числа.

В дальнейшем подобная оценка понадобится при работе с приближенными вычислениями, графиками функций и неравенствами.

{"questions":[{"content":"Выберите последовательность, в которой числа расположены в порядке возрастания.<br>[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$-\\sqrt{2};\\ -\\frac{7}{5};\\ \\sqrt{2};\\ \\frac{3}{2};\\ \\sqrt{3}$","$-\\frac{7}{5};\\ -\\sqrt{2};\\ \\sqrt{2};\\ \\frac{3}{2};\\ \\sqrt{3}$","$-\\sqrt{2};\\ -\\frac{7}{5};\\ \\frac{3}{2};\\ \\sqrt{2};\\ \\sqrt{3}$","$-\\sqrt{2};\\ -\\frac{7}{5};\\ \\sqrt{2};\\ \\sqrt{3};\\ \\frac{3}{2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Сравним положительные числа $\\sqrt{2}$ и $\\frac{7}{5}$ по их квадратам: $(\\sqrt{2})^2=2=\\frac{50}{25}$, а $(\\frac{7}{5})^2=\\frac{49}{25}$. Следовательно, $\\sqrt{2}>\\frac{7}{5}$. При переходе к противоположным числам знак неравенства изменится.","Расположим положительные числа $\\sqrt{2}$, $\\frac{3}{2}$ и $\\sqrt{3}$. Сравним их квадраты: $(\\sqrt{2})^2=2=\\frac{8}{4}$, $(\\frac{3}{2})^2=\\frac{9}{4}$, $(\\sqrt{3})^2=3=\\frac{12}{4}$. Поэтому $\\sqrt{2}<\\frac{3}{2}<\\sqrt{3}$.","Объединим результаты: $-\\sqrt{2}<-\\frac{7}{5}<\\sqrt{2}<\\frac{3}{2}<\\sqrt{3}$. Значит, выбираем последовательность $-\\sqrt{2};\\ -\\frac{7}{5};\\ \\sqrt{2};\\ \\frac{3}{2};\\ \\sqrt{3}$."]}]}

Модуль действительного числа

С модулем вы уже встречались в основной школе. В $10$ классе это понятие станет особенно важным. Модуль используется при работе с расстояниями, уравнениями и неравенствами. Он позволяет записывать многие задачи с помощью одного математического выражения.

Модуль как расстояние до нуля

Рассмотрим числа $3$ и $-3$ на числовой прямой. Оба числа находятся от нуля на расстоянии $3$. Поэтому: $$|3|=3,$$ $$|-3|=3.$$

Модуль действительного числа — это расстояние от соответствующей ему точки на числовой прямой до нуля.

Расстояние не может быть отрицательным. Поэтому модуль любого действительного числа неотрицателен. Например: $$|7|=7,$$ $$|-7|=7,$$ $$|0|=0.$$

Расстояние между двумя действительными числами $a$ и $b$ равно: $$|a-b|.$$

Например, найдем расстояние между $-2$ и $5$. $$|-2-5|=|-7|=7.$$ Можно записать и наоборот: $$|5-(-2)|=|7|=7.$$

Поэтому: $$|a-b|=|b-a|.$$ Порядок вычитания не влияет на расстояние.

Строгое определение модуля

Для любого действительного числа $a$: $$\vert{}a\vert{}= \begin{cases} a, & a \ge 0, \\ -a, & a < 0. \end{cases}$$

Это означает следующее: если число неотрицательное, модуль оставляет его без изменений. $$|5|=5.$$

Если число отрицательное, модуль меняет его знак: $$|-5|=-(-5)=5.$$ Поэтому модуль можно представить как «расстояние без учета направления».

{"questions":[{"instruction":"Сравните расстояние от каждой точки до нуля с числом $3$","content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Расстояние меньше $3$","Расстояние равно $3$","Расстояние больше $3$"],"items":[["$-2$","$\\frac{1}{2}$"],["$-3$","$3$"],["$-5$","$4{,}2$"]]}},"step":1,"hints":["Модуль числа показывает расстояние от соответствующей точки до нуля. Поэтому для распределения координат нужно вычислить их модули и сравнить полученные неотрицательные числа с $3$.","Найдем модули координат: $|-2|=2$, $|\\frac{1}{2}|=\\frac{1}{2}$, $|-3|=3$, $|3|=3$, $|-5|=5$, $|4{,}2|=4{,}2$.","Получаем: $-2$ и $\\frac{1}{2}$ находятся от нуля на расстоянии меньше $3$; $-3$ и $3$ — на расстоянии $3$; $-5$ и $4{,}2$ — на расстоянии больше $3$. Символ «—» здесь обозначает тире."]}]}

Свойства модуля

Модуль связан с расстоянием от числа до нуля, поэтому его свойства напрямую следуют из этого смысла. Они помогают работать с модулями без построения числовой прямой и упрощать выражения, содержащие модули. Рассмотрим основные свойства модуля действительного числа.

$$|a|\ge0.$$

Например: $$|-5|=5,\qquad |3|=3,\qquad |\sqrt2|=\sqrt2.$$ Во всех случаях результат неотрицателен.

Например: $|0|=0.$ А для любого ненулевого числа модуль положителен: $$|-3|=3,\qquad |\sqrt5|=\sqrt5.$$ Поэтому равенство $|a|=0$ можно сразу заменить на $a=0$.

Например: $$|7|=|-7|=7.$$ То же самое справедливо для иррациональных чисел: $$|\sqrt3|=|-\sqrt3|=\sqrt3.$$

Например: $$|-2\cdot3|=|-6|=6.$$

С другой стороны: $$|-2|\cdot|3|=2\cdot3=6.$$ Поэтому: $$|-2\cdot3|=|-2|\cdot|3|.$$

Свойство также работает с иррациональными числами: $$|-\sqrt2\cdot3|=|-3\sqrt2|=3\sqrt2.$$

Например: $$\left|\frac{-6}{2}\right|=|-3|=3.$$

С другой стороны: $$\frac{|-6|}{|2|}=\frac62=3.$$ Поэтому: $$\left|\frac{-6}{2}\right|=\frac{|-6|}{|2|}.$$

Условие $b\ne0$ необходимо, потому что деление на ноль невозможно.

Например: $(-5)^2=25,$ поэтому: $$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|.$$

Для положительного числа получаем то же самое: $$\sqrt{3^2}=\sqrt9=3=|3|.$$

Поэтому выражение $\sqrt{a^2}$ всегда равно $|a|$, а не просто $a$. Например: $$\sqrt{(-7)^2}=7,$$ но $-7\ne7.$

Именно поэтому запись $\sqrt{a^2}=a$ верна только при условии $a\ge0$. В общем случае правильная формула: $$\sqrt{a^2}=|a|.$$

Геометрически это означает, что расстояние между двумя точками не может быть больше пути через промежуточную точку. Например: $$|-3+5|=|2|=2,$$ а $|-3|+|5|=3+5=8.$ Поэтому: $$|-3+5|\le|-3|+|5|.$$

Равенство возможно, например, когда числа имеют одинаковый знак: $$|3+5|=|3|+|5|=8.$$

Например, пусть $a=7$, а $b=3$. Тогда: $$\bigl||7|-|3|\bigr|=|7-3|=4,$$ $$|7-3|=4.$$ Получаем равенство: $$\bigl||7|-|3|\bigr|\le|7-3|.$$

Это свойство особенно полезно при сравнении расстояний на числовой прямой. Оно показывает, что изменение расстояния числа до нуля не может быть больше расстояния, на которое само число переместилось.

{"questions":[{"content":"Выберите все утверждения, которые выполняются при любых действительных значениях $a$ и $b$.<br>[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$|ab|=|a|\\cdot|b|$","$|a+b|=|a|+|b|$","$|a+b|\\leq |a|+|b|$","$|a^2|=a^2$","$|a-b|\\geq ||a|-|b||$"],"explanations":["Модуль произведения равен произведению модулей сомножителей.","Равенство выполняется не всегда. Например, при $a=1$ и $b=-1$ левая часть равна $0$, а правая — $2$.","Это неравенство треугольника: модуль суммы не превосходит суммы модулей.","Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому его модуль равен самому числу: $|a^2|=a^2$.","Из неравенства треугольника следует $|a|\\leq|a-b|+|b|$, поэтому $|a|-|b|\\leq|a-b|$. Аналогично получаем $|b|-|a|\\leq|a-b|$."],"answer":[0,2,3,4]}},"step":1,"hints":["Вспомним основные свойства: $|ab|=|a|\\cdot|b|$, а модуль любого неотрицательного числа равен самому этому числу.","Для суммы используем неравенство треугольника: $|a+b|\\leq|a|+|b|$. Равенство возможно не при всех значениях. Например, проверим $a=1$ и $b=-1$.","Представим $a$ как $(a-b)+b$. Тогда $|a|\\leq|a-b|+|b|$, откуда $|a|-|b|\\leq|a-b|$. Если поменять $a$ и $b$ местами, получим $|b|-|a|\\leq|a-b|$.","Следовательно, нужно выбрать утверждения $|ab|=|a|\\cdot|b|$, $|a+b|\\leq|a|+|b|$, $|a^2|=a^2$ и $|a-b|\\geq||a|-|b||$."]}],"mix":1}

Часто задаваемые вопросы