{"questions":[{"instruction":"Укажите иррациональное число","content":"[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{\\sqrt{18}}{3}$","$\\sqrt{49}-7$","$\\sqrt{0{,}04}$","$\\sqrt{8}-2\\sqrt{2}$"],"explanations":["","$\\sqrt{49}-7=7-7=0$ — рациональное число.","$\\sqrt{0{,}04}=0{,}2$ — рациональное число.","$\\sqrt{8}-2\\sqrt{2}=2\\sqrt{2}-2\\sqrt{2}=0$ — рациональное число."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Упростим каждое выражение, используя свойства квадратного корня.","Числа $0$, $0{,}2$ и другие конечные десятичные дроби являются рациональными.","После упрощения только $\\frac{\\sqrt{18}}{3}=\\sqrt{2}$ остается иррациональным числом."],"id":"6"},{"instruction":"Укажите иррациональное число","content":"[[choice-1884]]","widgets":{"choice-1884":{"type":"choice","options":["$\\frac{\\sqrt{75}}{5}$","$\\frac{\\sqrt{81}}{9}$","$\\sqrt{0{,}09}$","$\\sqrt{12}-2\\sqrt{3}$"],"explanations":["","$\\frac{\\sqrt{81}}{9}=\\frac{9}{9}=1$ — рациональное число.","$\\sqrt{0{,}09}=0{,}3$ — рациональное число.","$\\sqrt{12}-2\\sqrt{3}=2\\sqrt{3}-2\\sqrt{3}=0$ — рациональное число."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Упростим радикалы, выделяя из-под корня полные квадраты.","Иррациональное число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.","После упрощения только $\\frac{\\sqrt{75}}{5}=\\sqrt{3}$ является иррациональным числом."],"id":"6"},{"content":"Между какими соседними целыми числами расположено число $\\sqrt{37}$? [[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$5<\\sqrt{37}<6$","$6<\\sqrt{37}<7$","$7<\\sqrt{37}<8$","$18<\\sqrt{37}<19$"],"explanations":["$37$ больше $6^2=36$, поэтому $\\sqrt{37}$ больше $6$.","","$37$ меньше $7^2=49$, поэтому $\\sqrt{37}$ меньше $7$.","Корень из $37$ значительно меньше $18$, так как $18^2=324$."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдем квадраты ближайших натуральных чисел: $6^2=36$ и $7^2=49$.","Получаем двойное неравенство $36<37<49$.","Извлечем корни из частей неравенства: $6<\\sqrt{37}<7$."],"id":"7"},{"content":"Между какими соседними целыми числами расположено число $\\sqrt{70}$?[[choice-2108]]","widgets":{"choice-2108":{"type":"choice","options":["$6<\\sqrt{70}<7$","$7<\\sqrt{70}<8$","$8<\\sqrt{70}<9$","$9<\\sqrt{70}<10$"],"explanations":["$70$ больше $7^2=49$, поэтому $\\sqrt{70}$ больше $7$.","$70$ больше $8^2=64$, поэтому $\\sqrt{70}$ больше $8$.","","$70$ меньше $9^2=81$, поэтому $\\sqrt{70}$ меньше $9$."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Найдем квадраты чисел $8$ и $9$: $8^2=64$, $9^2=81$.","Число $70$ удовлетворяет неравенству $64<70<81$.","После извлечения корней получаем $8<\\sqrt{70}<9$."],"id":"7"},{"instruction":"Сравните числа","content":"$\\sqrt{7}$ и $\\frac{8}{3}$ [[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{7}<\\frac{8}{3}$","$\\sqrt{7}=\\frac{8}{3}$","$\\sqrt{7}>\\frac{8}{3}$","Сравнить числа невозможно"],"explanations":["","Равенство потребовало бы выполнения условия $7=\\frac{64}{9}$.","$7$ меньше $\\frac{64}{9}$, поэтому и исходное положительное число меньше.","Оба числа положительны, поэтому их можно сравнить по квадратам."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Оба сравниваемых числа положительны, поэтому сравним их квадраты.","Получаем $(\\sqrt{7})^2=7$ и $\\left(\\frac{8}{3}\\right)^2=\\frac{64}{9}$.","Так как $7=\\frac{63}{9}<\\frac{64}{9}$, то $\\sqrt{7}<\\frac{8}{3}$."],"id":"8"},{"instruction":"Сравните числа","content":"$\\sqrt{11}$ и $\\frac{10}{3}$[[choice-2328]]","widgets":{"choice-2328":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{11}>\\frac{10}{3}$","$\\sqrt{11}=\\frac{10}{3}$","$\\sqrt{11}<\\frac{10}{3}$","Сравнить числа невозможно"],"explanations":["$11=\\frac{99}{9}$ меньше $\\frac{100}{9}$, а не больше.","Равенство потребовало бы выполнения условия $11=\\frac{100}{9}$.","","Положительные числа можно сравнить, сопоставив их квадраты."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Оба числа положительны, поэтому возведем их в квадрат.","Получаем $(\\sqrt{11})^2=11$ и $\\left(\\frac{10}{3}\\right)^2=\\frac{100}{9}$.","Так как $11=\\frac{99}{9}<\\frac{100}{9}$, то $\\sqrt{11}<\\frac{10}{3}$."],"id":"8"},{"instruction":"Вычислите значение выражения","content":"$$|\\sqrt{16}-7|+|2-\\sqrt{9}|$$ [[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$2$","$3$","$4$","$6$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Сначала извлечем корни: $\\sqrt{16}=4$ и $\\sqrt{9}=3$.","Вычислим значения модулей: $|4-7|=|-3|=3$ и $|2-3|=|-1|=1$.","Сложим полученные числа: $3+1=4$."],"id":"9"},{"instruction":"Вычислите значение выражения","content":"$$|\\sqrt{25}-9|+|3-\\sqrt{4}|$$[[choice-2549]]","widgets":{"choice-2549":{"type":"choice","options":["$3$","$4$","$5$","$7$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Сначала извлечем корни: $\\sqrt{25}=5$ и $\\sqrt{4}=2$.","Вычислим значения модулей: $|5-9|=|-4|=4$ и $|3-2|=|1|=1$.","Сложим полученные числа: $4+1=5$."],"id":"9"},{"instruction":"Найдите расстояние между точками $A$ и $B$","content":"На координатной прямой отмечены точки $A(-\\sqrt{5})$ и $B(\\sqrt{5})$. [[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{5}$","$2\\sqrt{5}$","$5$","$10$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. При нахождении расстояния нужно вычесть координаты точек и взять модуль результата.","Вычтем координаты: $\\sqrt{5}-(-\\sqrt{5})=2\\sqrt{5}$.","Полученное число положительно, поэтому расстояние равно $2\\sqrt{5}$."],"id":"10"},{"instruction":"Найдите расстояние между точками $C$ и $D$","content":"На координатной прямой отмечены точки $C(-\\sqrt{7})$ и $D(2\\sqrt{7})$.[[choice-2770]]","widgets":{"choice-2770":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{7}$","$2\\sqrt{7}$","$3\\sqrt{7}$","$7\\sqrt{7}$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Расстояние между точками найдем как модуль разности их координат. При нахождении расстояния нужно вычесть координаты точек и взять модуль результата.","Вычтем координаты: $2\\sqrt{7}-(-\\sqrt{7})=2\\sqrt{7}+\\sqrt{7}$.","Приведем подобные слагаемые и получим расстояние $3\\sqrt{7}$."],"id":"10"}],"mix":1}
Карточки
Тесты
Зави
