ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
17. Различные фигуры: круг
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $4\sqrt3$. Найдите сторону треугольника.
В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности.
Значит, расстояние от точки $O$ до стороны треугольника — это радиус вписанной окружности: $r=4\sqrt3$
Для равностороннего треугольника:
$r=\frac{a\sqrt3}{6}$
Подставим значение $r$:
$\frac{a\sqrt3}{6}=4\sqrt3$
$a\sqrt3=24\sqrt3$
$a=24$
20
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $5\sqrt3$. Найдите сторону треугольника.
В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности.
Значит, расстояние от точки $O$ до стороны треугольника — это радиус вписанной окружности: $r=5\sqrt3$
Для равностороннего треугольника: $r=\frac{a\sqrt3}{6}$
Подставим значение $r$:
$\frac{a\sqrt3}{6}=5\sqrt3$
$a\sqrt3=30\sqrt3$
$a=30$
20
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\frac{\sqrt3}{2}$. Найдите сторону треугольника.
В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности.
Значит, расстояние от точки $O$ до стороны треугольника — это радиус вписанной окружности: $r=\frac{\sqrt3}{2}$
Для равностороннего треугольника: $r=\frac{a\sqrt3}{6}$
Подставим значение $r$:
$\frac{a\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$
$a\sqrt3=3\sqrt3$
$a=3$
20
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\frac{12}{13}$. Диаметр описанной около него окружности равен $13$. Найдите площадь прямоугольника.
У прямоугольника диаметр описанной окружности равен диагонали, значит: $d=13$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами прямоугольника и его диагональю.
Синус угла между стороной и диагональю равен отношению противолежащей стороны к диагонали:
$\sin\alpha=\frac{12}{13}$
Значит, одна сторона прямоугольника равна $12$.
Найдём вторую сторону по теореме Пифагора:
$x^2+12^2=13^2$
$x^2+144=169$
$x^2=25$
$x=5$
Площадь прямоугольника:
$S=12\cdot5=60$
20
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $0{,}6$. Диаметр описанной около него окружности равен $10$. Найдите площадь прямоугольника.
У прямоугольника диаметр описанной окружности равен диагонали, значит: $d=10$
Так как: $\sin\alpha=0{,}6=\frac{3}{5}$, то сторона, лежащая напротив этого угла, равна: $10\cdot0{,}6=6$
Найдём вторую сторону по теореме Пифагора:
$x^2+6^2=10^2$
$x^2+36=100$
$x^2=64$
$x=8$
Площадь прямоугольника:
$S=6\cdot8=48$
20
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\sqrt5$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
Пусть сторона квадрата равна $x$.
Так как точка $O$ — середина стороны $CD$, то: $DO=\frac{x}{2}$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADO$:
$AD=x$
$DO=\frac{x}{2}$
$AO=\sqrt5$
По теореме Пифагора:
$x^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2=(\sqrt5)^2$
$x^2+\frac{x^2}{4}=5$
$\frac{5x^2}{4}=5$
$x^2=4$
Площадь квадрата равна $x^2$, значит: $S=4$
20
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\sqrt{10}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
Пусть сторона квадрата равна $x$.
Так как точка $O$ — середина стороны $CD$, то: $DO=\frac{x}{2}$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADO$:
$AD=x$
$DO=\frac{x}{2}$
$AO=\sqrt{10}$
По теореме Пифагора:
$x^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2=(\sqrt{10})^2$
$x^2+\frac{x^2}{4}=10$
$\frac{5x^2}{4}=10$
$x^2=8$
Площадь квадрата равна $x^2$, значит: $S=8$
20