16. Окружность и круг: все задания

$1)$ Угол $AOB$ является центральным, так как его вершина $O$ — центр окружности. Он опирается на дугу $AB.$

$2)$ Угол $ACB$ является вписанным, так как его вершина $C$ лежит на окружности. Он также опирается на дугу $AB.$

$3)$ Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно:
$$\angle ACB = \dfrac{1}{2} \angle AOB$$

$4)$ Подставляем значение $\angle AOB = 73^\circ{:}$
$$\angle ACB = \dfrac{1}{2} \cdot 73^\circ = 36.5^\circ$$

$1)$ Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны:
$$\angle BOC = \angle AOD = 86^\circ$$

$2)$ Рассмотрим треугольник $BOC.$ Отрезки $BO$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому $BO = OC.$ Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC.$

$3)$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
$$\angle OBC = \angle OCB$$

$4)$ Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ.$ Для треугольника $BOC{:}$
$$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$$

$5)$ Заменяем $\angle OBC$ на $\angle OCB$ и подставляем значение $\angle BOC = 86^\circ{:}$
$$86^\circ + \angle OCB + \angle OCB = 180^\circ$$ $$86^\circ + 2 \cdot \angle OCB = 180^\circ$$ $6)$ Выражаем $\angle OCB$ (который является искомым углом $ACB,$ так как точка $C$ общая):
$$2 \cdot \angle OCB = 180^\circ- 86^\circ$$ $$2 \cdot \angle OCB = 94^\circ$$ $$\angle OCB = \dfrac{94^\circ}{2} = 47^\circ$$

$1)$ Рассмотрим треугольник $BOC.$ Отрезки $BO$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому $BO = OC.$ Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC.$

$2)$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Искомый угол $ACB$ и угол $OCB$ — это один и тот же угол (вершина $C,$ стороны $CA$ и $CB$). Следовательно:
$$\angle OBC = \angle OCB = \angle ACB = 53^\circ$$

$3)$ Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ.$ Для треугольника $BOC{:}$
$$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$$

$4)$ Подставляем известные значения углов при основании: $$\angle BOC + 53^\circ + 53^\circ = 180^\circ$$ $$\angle BOC + 106^\circ = 180^\circ$$

$5)$ Находим угол $BOC{:}$ $$\angle BOC = 180^\circ- 106^\circ = 74^\circ$$

$6)$ Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $$\angle AOD = \angle BOC = 74^\circ$$

$1)$ Центр окружности лежит на стороне $AB,$ следовательно, $AB$ — диаметр.

$2)$ Диаметр окружности равен двум радиусам, следовательно,
$$AB = 2 \cdot 17 = 34$$

$3)$ Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ.$ Угол $ACB$ вписанный и опирается на диаметр $AB,$ следовательно, $\angle ACB = 90^\circ \implies \triangle ACB$ — прямоугольный.

$4)$ По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$ квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

$5)$ Выразим $AC$ и подставим известные значения:
$$AC = \sqrt{AB^2- BC^2} = \sqrt{34^2- 30^2} = \sqrt{256} = 16$$

$1)$ Центр окружности лежит на стороне $AB,$ следовательно, $AB$ — диаметр.

$2)$ Диаметр окружности равен двум радиусам, следовательно,
$$AB = 2 \cdot 8.5 = 17$$

$3)$ Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ.$ Угол $ACB$ вписанный и опирается на диаметр $AB,$ следовательно, $\angle ACB = 90^\circ \implies \triangle ACB$ — прямоугольный.

$4)$ По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$ квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

$5)$ Выразим $BC$ и подставим известные значения:
$$BC = \sqrt{AB^2- AC^2} = \sqrt{17^2- 8^2} = \sqrt{289- 64} = \sqrt{225} = 15$$

$1)$ Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

$2)$ Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$3)$ Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы $CAD$ и $CBD$ равны, так как опираются на одну дугу $CD.$ Поэтому: $$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD =$$ $$= \angle ABD + \angle CAD = 80^\circ + 34^\circ = 114^\circ$$

$1)$ Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

$2)$ Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$3)$ Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы $CAD$ и $CBD$ равны, так как опираются на одну дугу $CD.$ Поэтому: $$\angle ABD = \angle ABC- \angle CBD = \angle ABC- \angle CAD = 92^\circ- 60^\circ = 32^\circ$$

$1)$ Проведем отрезок $AN$.

$2)$ Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ.$ Угол $ANB$ вписанный и опирается на диаметр $AB,$ следовательно, $\angle ANB = 90^\circ \implies \triangle ANB$ — прямоугольный.

$3)$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ.$ Известно, что угол $NBA$ равен $41^\circ,$ а в сумме два острых угла дают $90^\circ.$ Значит, угол $NAB$ равен:
$$\angle NAB = 90^\circ- \angle NBA = 90^\circ- 41^\circ = 49^\circ$$

$4)$ Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Заметим, что $\angle NMB = \angle NAB$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $NB.$ Тогда:
$$\angle NMB = \angle NAB = 49^\circ$$

$1)$ Проведем радиус окружности $AO.$

$2)$ Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$3)$ По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрата:
$$DO = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}$$

$4)$ Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нем угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

$5)$ По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ADO$ по теореме Пифагора: $$OA^2 = DO^2 + AD^2$$

$6)$ Подставим известные значения и выразим $a^2{:}$ $$\left(\sqrt{10}\right)^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2$$ $$10 = \dfrac{a^2}{4} + a^2$$ $$10 = \dfrac{5a^2}{4}$$ $$a^2 = 10 \cdot \dfrac{4}{5} = 8$$

$7)$ Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:
$$S_{ABCD} = a^2 = 8$$

$1)$ Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ.$

$2)$ У трапеции основания параллельны. Значит, углы $A$ и $B$ трапеции в сумме дают $180^\circ$ как односторонние углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB{:}$
$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$

$3)$ Выразим угол $B$ и подставим значение угла $A{:}$
$$\angle B = 180^\circ- \angle A = 180^\circ- 52^\circ = 128^\circ$$

$1)$ Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ.$

$2)$ В трапеции $ABCD$ противоположными являются углы $A$ и $C{:}$
$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$

$3)$ Выразим угол $C$ и подставим известные значения:
$$\angle C = 180^\circ- \angle A = 180^\circ- 32^\circ = 148^\circ$$

$1)$ Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ.$

$2)$ У вписанного в окружность четырехугольника $ABCD$ углы $A$ и $C$ — противоположные, значит, их сумма равна $180^\circ{:}$
$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$

$3)$ Выразим угол $C$ и подставим известные значения:
$$\angle C = 180^\circ- \angle A = 180^\circ- 62^\circ = 118^\circ$$

$1)$ По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:
$$AB^2 = BC^2 + AC^2$$

$2)$ Выразим $AB$ и подставим известные значения:$$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ $3)$ Если вписанный угол равен $90^\circ,$ то он опирается на диаметр.

$4)$ Угол $ACB$ вписанный и равен $90^\circ.$ Значит, угол $ACB$ опирается на диаметр, то есть $AB$ — диаметр.

$5)$ Радиус окружности равен половине диаметра. Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен: $$R = \dfrac{1}{2} AB = \dfrac{13}{2} = 6.5$$

$1)$ Обозначим треугольник как $ABC.$

$2)$ Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60^\circ.$

$3)$ Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов:
$$\dfrac{a}{\sin 60^\circ} = 2R$$

$4)$ Синус $60^\circ$ — табличная величина: $$\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

$5)$ Из полученной формулы выразим $R{:}$ $$\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$$ $$\dfrac{2a}{\sqrt{3}} = 2R$$ $$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$$

$6)$ По условию сторона треугольника равна $16\sqrt{3}.$ Получаем: $$R = \dfrac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \dfrac{16 \cdot 3}{3} = 16$$

Способ $1.$

$1)$ Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле:
$$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3},$$
где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

$2)$ По условию радиус описанной окружности равен $6\sqrt{3}.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:
$$6\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$$ $$6\sqrt{3} \cdot 3 = a\sqrt{3}$$ $$18\sqrt{3} = a\sqrt{3}$$ $$a = 18$$

$3)$ Таким образом, сторона треугольника равна $18.$

Способ $2.$

$1)$ Обозначим треугольник как $ABC.$

$2)$ Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60^\circ.$

$3)$ Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов: $$\dfrac{a}{\sin 60^\circ} = 2R$$

$4)$ Синус $60^\circ$ — табличная величина:
$$\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

$5)$ Из полученной формулы выразим $a{:}$ $$\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$$ $$\dfrac{2a}{\sqrt{3}} = 2R$$ $$a = \sqrt{3}R$$ $6)$ По условию радиус окружности равен $6\sqrt{3}.$ Получаем: $$a = \sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$$

$1)$ Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$

$2)$ По теореме синусов: $$\dfrac{a}{\sin \alpha} = 2R,$$
где $a$ — сторона треугольника, $\alpha$ — противолежащий ей угол, $R$ — радиус описанной окружности.

$3)$ Тогда для треугольника $ABC$ по теореме синусов: $$\dfrac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R$$

$4)$ Подставим известные значения: $$\dfrac{26}{\sin 150^\circ} = 2R$$

$5)$ По формуле для синусов углов: $$\sin (180^\circ- \alpha) = \sin \alpha$$
То есть синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла. Из данной формулы следует равенство: $$\sin 150^\circ = \sin (180^\circ- 30^\circ) = \sin 30^\circ$$

$6)$ Сделаем данную замену в исходном равенстве, подставив табличное значение $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ и найдем значение радиуса: $$\dfrac{26}{\sin 30^\circ} = 2R$$ $$\dfrac{26}{\dfrac{1}{2}} = 2R$$ $$26 \cdot 2 = 2R$$ $$52 = 2R$$ $$R = 26$$

$1)$ Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$

$2)$ По теореме синусов:
$$\dfrac{a}{\sin \alpha} = 2R$$ где $a$ — сторона треугольника, $\alpha$ — противолежащий ей угол, $R$ — радиус описанной окружности.

$3)$ Тогда для треугольника $ABC$ по теореме синусов: $$\dfrac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R$$

$4)$ Подставим известные значения: $$\dfrac{8\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = 2R$$

$5)$ Подставим табличное значение $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и найдем значение радиуса:
$$\dfrac{8\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$$ $$8\sqrt{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}} = 2R$$ $$8 \cdot 2 = 2R$$ $$16 = 2R$$ $$R = 8$$

Способ $1{:}$

$1)$ Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:
$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6},$$
где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

$2)$ По условию сторона треугольника равна $4\sqrt{3}.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:
$$r = \dfrac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \dfrac{4 \cdot 3}{6} = 2$$

Способ $2{:}$

$1)$ Проведем в треугольнике высоту $h.$

$2)$ В равностороннем треугольнике углы равны $60^\circ.$

$3)$ Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нем синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$$\sin 60^\circ = \dfrac{h}{a}$$

$4)$ Подставим табличное значение $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и выразим высоту $h{:}$
$$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{a}$$ $$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$

$5)$ Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

$6)$ Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2 : 1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:$$r = \dfrac{h}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$$7)$ По условию сторона треугольника равна $4\sqrt{3}.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:$$r = \dfrac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \dfrac{4 \cdot 3}{6} = 2$$

Способ $1{:}$

$1)$ Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:
$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6},$$ где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

$2)$ По условию радиус окружности равен $7\sqrt{3}.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника: $$7\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$ $$7\sqrt{3} \cdot 6 = a\sqrt{3}$$ $$42\sqrt{3} = a\sqrt{3}$$ $$a = 42$$

Способ $2{:}$

$1)$ Проведем в треугольнике высоту $h.$

$2)$ В равностороннем треугольнике углы равны $60^\circ.$

$3)$ Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нем синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $$\sin 60^\circ = \dfrac{h}{a}$$

$4)$ Подставим табличное значение $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и выразим высоту $h{:}$
$$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{a}$$ $$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$

$5)$ Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

$6)$ Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2 : 1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен: $$r = \dfrac{h}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$

$7)$ По условию радиус окружности равен $7\sqrt{3}.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника: $$7\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$ $$7\sqrt{3} \cdot 6 = a\sqrt{3}$$ $$42\sqrt{3} = a\sqrt{3}$$ $$a = 42$$