16. Окружность и круг: #257037

$1)$ Рассмотрим треугольник $BOC.$ Отрезки $BO$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому $BO = OC.$ Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC.$

$2)$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Искомый угол $ACB$ и угол $OCB$ — это один и тот же угол (вершина $C,$ стороны $CA$ и $CB$). Следовательно:
$$\angle OBC = \angle OCB = \angle ACB = 53^\circ$$

$3)$ Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ.$ Для треугольника $BOC{:}$
$$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$$

$4)$ Подставляем известные значения углов при основании: $$\angle BOC + 53^\circ + 53^\circ = 180^\circ$$ $$\angle BOC + 106^\circ = 180^\circ$$

$5)$ Находим угол $BOC{:}$ $$\angle BOC = 180^\circ- 106^\circ = 74^\circ$$

$6)$ Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $$\angle AOD = \angle BOC = 74^\circ$$