Уравнение

На этом уроке мы познакомимся с уравнениями и научимся их решать.

Что такое уравнение

В некоторых равенствах есть буквенная часть, например: $$\textcolor{coral}{a}+8=15$$ Такие выражения и называют уравнениями.

Уравнением называется равенство, содержащее букву (переменную), значение которой надо найти.

Если вместо переменной $\textcolor{coral}{a}$ подставить число $\textcolor{green}{7}$, то будет выполняться равенство:$$\textcolor{green}{7}+8=15$$$$15=15$$Число $\textcolor{green}{7}$ в данном случае будет являться корнем уравнения.

Значение буквы (переменной), при котором уравнение становится верным числовым равенством, называют корнем уравнения.

{"questions":[{"content":"Найдите значение переменной $b$, при котором будет выполняться равенство:$$5+b=7$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$b=2$","$b=7$","$b=4$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Для решения данного задания ответим на вопрос: «Какое число нужно прибавить к числу $5$, чтобы получилось $7$?».","Ответ: $2$"]}]}

Нахождение слагаемого

Решим пример:$$\textcolor{blue}{8}+\textcolor{coral}{x}=\textcolor{darkgreen}{19}$$$$\textcolor{coral}{x}=\textcolor{darkgreen}{19}-\textcolor{blue}{8}$$$$x=11$$

Чтобы найти $\textcolor{coral}{неизвестное\spaceслагаемое}$, нужно из $\textcolor{darkgreen}{суммы}$ вычесть $\textcolor{blue}{известное\spaceслагаемое}$:$$\textcolor{coral}{x}+\textcolor{blue}{a}=\textcolor{darkgreen}{b}$$ $$\textcolor{coral}{x}=\textcolor{darkgreen}{b}-\textcolor{blue}{a}$$

{"questions":[{"content":"Найдите корень уравнения:$$15+y=46$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y=31$","$y=61$","$y=15$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.","$$y=46-15$$$$y=31$$"]}]}

Нахождение уменьшаемого и вычитаемого 

Решим уравнение:$$\textcolor{orange}{x}-\textcolor{lightblue}{17}=\textcolor{green}{14}$$

Чтобы найти неизвестное $\textcolor{orange}{уменьшаемое}$, нужно сложить $\textcolor{green}{разность}$ и $\textcolor{lightblue}{вычитаемое}$: $$\textcolor{orange}{x}-\textcolor{lightblue}{a}=\textcolor{green}{b}$$ $$\textcolor{orange}{x}=\textcolor{green}{b}+\textcolor{lightblue}{a}$$

Тогда$$\textcolor{orange}{x}=\textcolor{green}{14}+\textcolor{lightblue}{17}$$ $$\textcolor{orange}{x}=31$$

Проверим себя, подставив вместо $x$ полученное число:$$31-17=14$$$$14=14$$Равенство верное.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение:$$t-30=60$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$t=90$","$t=30$","$t=60$"],"answer":[0]}},"hints":["Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно сложить разность и вычитаемое.","$t=60+30=90$"]}]}

Рассмотрим пример, в котором нужно найти $\textcolor{lightblue}{вычитаемое}$:$$\textcolor{orange}{63}-\textcolor{lightblue}{x}=\textcolor{green}{28}$$

Чтобы найти неизвестное $\textcolor{lightblue}{вычитаемое}$, из $\textcolor{orange}{уменьшаемого}$ вычтем $\textcolor{green}{разность}$: $$\textcolor{orange}{a}-\textcolor{lightblue}{x}=\textcolor{green}{b}$$ $$\textcolor{lightblue}{x}=\textcolor{orange}{a}-\textcolor{green}{b}$$

В нашем случае $$\textcolor{lightblue}{x}=\textcolor{orange}{63}-\textcolor{green}{28}$$ $\textcolor{lightblue}{x}=35$ 

Проверка:$$63-35=28$$$$28=28$$

{"questions":[{"content":"Определите значение $i$, при котором равенство$$55-i=40$$будет верным.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$i=15$","$i=45$","$i=55$"],"answer":[0]}},"hints":["Чтобы найти неизвестное вычитаемое, из уменьшаемого вычтем разность.","$i=55-40=15$"]}]}

Случаи, когда у уравнения нет корней

Бывает, что уравнение не имеет верного решения.
Рассмотрим пример:$$\textcolor{coral}{x}\sdot0=12$$Здесь, чтобы найти корень $\textcolor{coral}{x}$, нам нужно разделить $12$ на $0$, но на $0$ делить нельзя. В подобных случаях уравнение не имеет верных решений или корней.

Подводя итог, мы можем сказать, что решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться, что данное уравнение не имеет ни одного корня.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение:$$5+13+40+n=100$$ Ответ:[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$n=42$","$n=85$","$n=68$"],"answer":0}},"step":1,"hints":["Посчитаем числовые значения:$$5+13+40+n=100$$$$58+n=100$$","Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.","$$n=100-58=42$$"]}]}

Как читать названия переменных

При произношении нужно учитывать, что обозначающие переменные латинские буквы $\textcolor{coral}{x}$, $\textcolor{blue}{y}$, $\textcolor{green}{z}$ – мужского рода.
Названия всех других латинских букв – среднего рода.
Например, $\textcolor{coral}{x}$ равен $3$, а $\textcolor{orange}{h}$ равно $3$.
Или $\textcolor{blue}{y}$ равен $9$, а $\textcolor{orange}{b}$ равно $9$.

В математике названия букв не склоняются. К примеру, выражение $y+13=100$ будет читаться так: «сумма игрек и тринадцати равна ста».

{"questions":[{"content":"Укажите, какие из перечисленных выражений прочитаны <b>неверно</b>?[[choice-23]]","widgets":{"choice-23":{"type":"choice","options":["$x=10$<br />$x$ равен десяти","$b=4$<br />$b$ равен четырём","$y=1$<br />$y$ равно одному","$c=22$<br />$c$ равно двадцати двум","$z=5$<br />$z$ равен пяти"],"explanations":["","Названия всех латинских букв кроме $x$, $y$, $z$ – среднего рода.<br />Данное выражение правильно читается так: $b$ <b>равно</b> четырем.","Латинские буквы, обозначающие переменные $x$, $y$, $z$ – мужского рода.<br />Данное выражение правильно читается так: $y$ <b>равен</b> одному.","",""],"answer":[1,2]}},"hints":["При произношении нужно учитывать, что обозначающие переменные латинские буквы $x$, $y$, $z$ – мужского рода. Названия всех других латинских букв – среднего рода."]}]}

Решение задач с помощью уравнений

Очень часто уравнения используют для быстрого и простого решения задач.

Обычно неизвестную величину в задачах обозначают латинскими буквами $x$ или $y$. 

Решим задачу. На большом блюде было некоторое количество овощей, затем на него добавили еще $8$ плодов. Всего в итоге в емкости оказалось $26$ овощей. Нужно найти, сколько овощей было на блюде изначально.

Решение. 
Обозначим за $x$ изначальное количество овощей на блюде.
После того, как добавили еще $8$ плодов, в емкости оказалось $\textcolor{darkgreen}{x+8}$ овощей. 
Получаем следующее равенство:$$\textcolor{darkgreen}{x+8}=26$$Решив данное уравнение, мы и найдем ответ на вопрос в задаче:$$x=26-8$$$$x=18$$Проверим себя, подставив найденное число в равенство: $$18+8=26$$ $$26=26$$ Равенство верное. Ответ: $18$ овощей.

Решите с помощью уравнения. Несколько девочек играли с мячом. Затем к ним присоединились еще три подруги и всего девочек стало $2$. Сколько девочек играло мячом с самого начала?

Показать ответ

Скрыть

{"questions":[{"content":"В первый день Иксератопс вылечил несколько пациентов, во второй день — $7$ пациентов. Всего за два дня было вылечено $28$ больных. Сколько пациентов вылечил Иксератопс в первый день?[[image-1]][[choice-9]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/stomatolog-zub-doktor-1.svg","width":"450"},"choice-9":{"type":"choice","options":["$21$","$7$","$14$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Возьмем неизвестное количество пациентов в первый день за $x$.","Известно, что за два дня было вылечено $28$ пациентов. Значит: $x+7=28$","Решаем полученное уравнение. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: $x=28-7=21$","Ответ: $21$ пациента."]}]}

Часто задаваемые вопросы