Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

На прошлом уроке мы познакомились с правильными многоугольниками. Увидели, что с ними тесно связаны вписанная и описанная окружности. Оказалось, что эти окружности не только дополняют чертеж. Они помогают лучше понять строение многоугольника и его свойства.

Сегодня мы изучим формулы и увидим, как по одним элементам правильного многоугольника находить другие: площадь, сторону и радиус вписанной окружности.

Связь правильного многоугольника с его площадью

Прежде чем выводить формулы, нужно понять, на каком свойстве правильного многоугольника они основаны.

Рассмотрим правильный многоугольник и соединим его центр со всеми вершинами. Тогда он разобьется на $n$ треугольников. Эти треугольники будут равны между собой.

• Действительно, их основаниями служат стороны правильного многоугольника, а все стороны у него равны.
• Боковые стороны этих треугольников являются радиусами описанной окружности, значит, также являются равными.

Следовательно, все треугольники равны по трем сторонам.

Теперь опустим из центра перпендикуляр на одну из сторон многоугольника. Так как окружность вписана в правильный многоугольник, расстояние от центра до стороны равно радиусу вписанной окружности. Значит, высота каждого такого треугольника равна $r$.

{"questions":[{"content":"Чем является радиус вписанной окружности правильного многоугольника?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Стороной многоугольника.","Высотой одного из треугольников, на которые он разбивается.","Радиусом описанной окружности.","Диаметром вписанной окружности."],"answer":[1]}},"hints":["Рассмотрите треугольники, полученные соединением центра многоугольника с его вершинами.","Радиус вписанной окружности — это расстояние от ее центра до стороны многоугольника."]}]}

Формула площади правильного многоугольника

Теперь мы знаем, что правильный многоугольник можно разбить на равные треугольники, что позволяет вычислить его площадь. Однако такой способ не всегда удобен. Поэтому перейдем к выводу формулы, которая используется для прямого вычисления.

$S = \dfrac{1}{2}Pr$,
где $P$ — периметр правильного многоугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

Доказательство

Скрыть

Рассмотрим правильный $n$-угольник со стороной $a$ и радиусом вписанной окружности $r$.

Соединим центр многоугольника со всеми его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на $n$ равных треугольников.

Рассмотрим один из этих треугольников. Его основание равно стороне многоугольника, то есть $a$, а высота равна радиусу вписанной окружности $r$, поскольку радиус вписанной окружности есть расстояние от центра до стороны.

Тогда площадь одного такого треугольника равна

$S_1 = \dfrac{1}{2}ar$.

Так как весь многоугольник состоит из $n$ таких треугольников, его площадь равна

$S = n \cdot S_1 = n \cdot \dfrac{1}{2}ar = \dfrac{1}{2}nar$.

Но $na$ — это периметр правильного многоугольника, то есть

$P = na$.

Следовательно,

$S = \dfrac{1}{2}Pr$.

Что и требовалось доказать.

Если в формуле $S = \dfrac{1}{2}Pr$ заменить $ \dfrac{1}{2}P$ на $p$, то она будет выглядеть так: $S = pr$, где $p$ будет являться полупериметром. Такая запись часто попадается в учебных материалах.

Заметим, что данная формула справедлива не только для правильных многоугольников, но и для любых многоугольников, в которые можно вписать окружность.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Какая формула выражает площадь правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$S = Pr$","$S = \\dfrac{1}{2}Pr$","$S = \\dfrac{P}{2r}$","$S = 2Pr$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что правильный многоугольник разбивается на равные треугольники.","Площадь равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности."]}]}

Формула для вычисления стороны правильного многоугольника

В предыдущем разделе мы увидели, что площадь правильного многоугольника удобно находить через его периметр и радиус вписанной окружности.

Но иногда в задаче известен не периметр, а радиус описанной окружности. Тогда сначала нужно найти сторону многоугольника.

$a_n = 2R \sin \dfrac{180^\circ}{n}$,
где $a_n$ — сторона правильного $n$-угольника, $R$ — радиус описанной окружности, $n$ — количество сторон многоугольника.

Доказательство

Скрыть

Пусть $R$ — радиус описанной окружности правильного $n$-угольника, а $a_n$ — его сторона.

Соединим центр $O$ с двумя соседними вершинами многоугольника $A_1$ и $A_2$. А также опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH_1$ на сторону $A_1A_2$.

Рассмотрим треугольник $A_1OA_2$. Он равнобедренный, потому что $OA_1$ и $OA_2$ — радиусы одной окружности.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой. Поэтому она делит сторону $A_1A_2$ пополам:

$A_1H_1 = \dfrac{a_n}{2}$.

Выразим этот отрезок через радиус $R$.

Угол $OA_1H_1$ равен половине внутреннего угла правильного $n$-угольника.

Внутренний угол правильного $n$-угольника равен $\dfrac{n -2}{n} \cdot 180^\circ$.

Значит, $\angle OA_1H_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{n -2}{n} \cdot 180^\circ$.

Упростим выражение:

$\angle OA_1H_1 = \dfrac{n -2}{2n} \cdot 180^\circ$.

Это можно записать иначе:

$\angle OA_1H_1 = 90^\circ -\dfrac{180^\circ}{n}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1H_1O$.

В нем отрезок $A_1H_1$ — катет, прилежащий к углу $OA_1H_1$, а $A_1O = R$ — гипотенуза. Поэтому по определению косинуса:

$\cos \angle OA_1H_1 = cos \left(90^\circ -\dfrac{180^\circ}{n}\right) = \dfrac{A_1H_1}{R}$.

Отсюда

$A_1H_1 = R \cos \left(90^\circ -\dfrac{180^\circ}{n}\right)$.

Но вся сторона многоугольника в два раза больше отрезка $A_1H_1$:

$a_n = 2A_1H_1$.

Тогда

$a_n = 2R \cos \left(90^\circ -\dfrac{180^\circ}{n}\right)$.

По формуле приведения

$\cos \left(90^\circ -\alpha\right) = \sin \alpha$.

Значит,

$\cos \left(90^\circ — \dfrac{180^\circ}{n}\right) = \sin \dfrac{180^\circ}{n}$.

Итак, мы получили формулу стороны правильного $n$-угольника:

$a_n = 2R \sin \dfrac{180^\circ}{n}$.

Что и требовалось доказать.

Данная формула удобна тем, что по одному радиусу описанной окружности можно сразу найти сторону правильного многоугольника.

{"questions":[{"content":"По какой формуле можно найти сторону правильного $n$-угольника, если известен радиус $R$, описанной около него окружности? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a_n = 2R\\sin \\dfrac{180^\\circ}{n}$","$a_n = 2R\\cos \\dfrac{180^\\circ}{n}$","$a_n = R\\cos \\dfrac{180^\\circ}{n}$","$a_n = \\dfrac{R}{2}\\sin \\dfrac{180^\\circ}{n}$"],"answer":[0]}},"hints":["В формуле используется функция, которая связывает угол, противолежащий ему катет и гипотенузу.","$a_n = 2R\\sin \\dfrac{180^\\circ}{n}$."]}]}

Частные формулы для нахождения стороны правильного n-угольника

В геометрии не очень часто используются многоугольники с большим количеством сторон, поэтому существуют формулы для самых распространенных случаев: правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.

Их можно получить из общей формулы $a_n = 2R \sin \dfrac{180^\circ}{n}$, если по очереди подставить под $n$: $n = 3$, $n = 4$ и $n = 6$.

Для правильного треугольника:

$a_3 = 2R \sin \dfrac{180^\circ}{3} = 2R \sin 60^\circ = 2R \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

Для квадрата:

$a_4 = 2R \sin \dfrac{180^\circ}{4} = 2R \sin 45^\circ = 2R \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$.

Для правильного шестиугольника:

$a_6 = 2R \sin \dfrac{180^\circ}{6} = 2R \sin 30^\circ = 2R \cdot \dfrac{1}{2} = R$.

Таким образом, сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. Это довольно часто применяют в задачах. Используя данные формулы, можно также вывести радиусы описанных многоугольников через их стороны.

{"questions":[{"content":"Для какого из правильных многоугольников справедлива формула $a_n = R\\sqrt{2}$? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Правильного треугольника","Квадрата","Правильного пятиугольника","Правильного шестиугольника"],"answer":[1]}},"hints":["Подставьте в формулу $a_n = 2R\\sin \\dfrac{180^\\circ}{n}$ значения $n = 3$, $n = 4$ и $n = 6$.","Формула $a_n = R\\sqrt{2}$ справедлива для квадрата."]}]}

Формула для нахождения радиуса вписанной окружности

Мы уже научились находить сторону правильного многоугольника через радиус описанной окружности. Теперь рассмотрим другую ситуацию: сторона правильного многоугольника известна, и нужно найти радиус вписанной в него окружности.

$r = \dfrac{a_n}{2\operatorname{tg}\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)}$,
$a_n$ — сторона правильного $n$-угольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

Доказательство

Скрыть

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности правильного $n$-угольника, а $a_n$ — его сторона.

Соединим центр $O$ с двумя соседними вершинами многоугольника $A_1$ и $A_2$. А также опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH_1 = r$ на сторону $A_1A_2$.

Так как треугольник $A_1OA_2$ равнобедренный, высота $OH_1$, проведенная к основанию, является также медианой. Поэтому она делит сторону $A_1A_2$ пополам:

$A_1H_1 = \dfrac{a_n}{2}$.

Центральный угол правильного $n$-угольника равен $\dfrac{360^\circ}{n}$. Отрезок $OH_1$ делит этот угол пополам, поэтому

$\angle A_1OH_1 = \dfrac{180^\circ}{n}$.

Рассмотрим треугольник $A_1OH_1$.

В нем катет $A_1H_1$ лежит напротив угла $\dfrac{180^\circ}{n}$, а катет $OH_1 = r$ прилежит к этому углу. Поэтому используем тангенс:

$\operatorname{tg}\dfrac{180^\circ}{n} = \dfrac{A_1H_1}{OH_1}$.

Подставим известные значения:

$\operatorname{tg}\dfrac{180^\circ}{n} = \dfrac{\dfrac{a_n}{2}}{r}$.

Отсюда получаем:

$r \cdot \operatorname{tg}\dfrac{180^\circ}{n} = \dfrac{a_n}{2}$.

Разделим обе части равенства на $\operatorname{tg}\dfrac{180^\circ}{n}$:

$r = \dfrac{a_n}{2\operatorname{tg}\dfrac{180^\circ}{n}}$.

Что и требовалось доказать.

Итак, если известна сторона правильного $n$-угольника, радиус вписанной окружности можно найти по данной формуле. Она показывает, что радиус вписанной окружности зависит от длины стороны многоугольника и количества его сторон.

{"questions":[{"content":"При помощи какой формулы можно найти радиус вписанной окружности правильного $n$-угольника, если известна его сторона $a_n$? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$r = \\dfrac{a_n}{2\\operatorname{tg}\\dfrac{180^\\circ}{n}}$","$r = 2a_n\\operatorname{cos}\\dfrac{180^\\circ}{n}$","$r = \\dfrac{2a_n}{\\operatorname{tg}\\dfrac{180^\\circ}{n}}$","$r = \\dfrac{a_n}{2\\sin\\dfrac{180^\\circ}{n}}$"],"answer":[0]}},"hints":["В правильном написании формулы используется функция, которая связывает острый угол с катетами.","$r = \\dfrac{a_n}{2\\operatorname{tg}\\dfrac{180^\\circ}{n}}$."]}]}

Частные формулы для нахождения радиуса вписанной окружности

Как уже было сказано выше, в геометрии чаще всего встречаются правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Поэтому, если подставить в общую формулу:

$$r = \dfrac{a_n}{2\operatorname{tg}\dfrac{180^\circ}{n}}$$

последовательно $n = 3$, $n = 4$ и $n = 6$, то мы получим частные случаи радиуса, вписанной окружности, именно для этих фигур.

Для правильного треугольника:

$r = \dfrac{a_3}{2\operatorname{tg}60^\circ}$.

Так как $\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}$, получаем:

$r = \dfrac{a_3}{2\sqrt{3}}$.

Домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$r = \dfrac{a_3\sqrt{3}}{6}$.

Для квадрата:

$r = \dfrac{a_4}{2\operatorname{tg}45^\circ}$.

Так как $\operatorname{tg}45^\circ = 1$, получаем:

$r = \dfrac{a_4}{2}$.

Для правильного шестиугольника:

$r = \dfrac{a_6}{2\operatorname{tg}30^\circ}$.

Так как $\operatorname{tg}30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$r = \dfrac{a_6}{2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}}$,

$r = \dfrac{a_6\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы не выводить формулы каждый раз заново, соберем самые частые случаи в одну таблицу. В ней указаны радиусы описанной и вписанной окружностей для правильного треугольника, шестиугольника и квадрата. Здесь $a_3$, $a_4$ и $a_6$ — длина стороны.

{"questions":[{"content":"Какая формула позволяет найти радиус вписанной окружности правильного треугольника со стороной $a_3$? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$r = \\dfrac{a_3\\sqrt{3}}{6}$","$r = \\dfrac{a_3\\sqrt{3}}{3}$","$r = \\dfrac{a_3}{2}$","$r = \\dfrac{a_3\\sqrt{3}}{2}$"],"answer":[0]}},"hints":["Для правильного треугольника в общую формулу $r = \\dfrac{a_n}{2\\operatorname{tg}\\dfrac{180^\\circ}{n}}$ нужно подставить $n = 3$.","Верная формула: $r = \\dfrac{a_3\\sqrt{3}}{6}$."]}]}

Это интересно

Правильные многоугольники и окружности встречаются не только на чертежах. Иногда по законам геометрии строили даже целые города.

Один из таких примеров — Пальманова, город-крепость в Италии, построенный почти как геометрическая задача. Его основала Венецианская республика в 1593 году, а план города сразу продумали вокруг центра.

Если посмотреть на Пальманову сверху, видно, что она имеет форму девятиконечной звезды. Внутри находится шестиугольная площадь, а от нее расходятся прямые улицы-лучи.

Получается не просто город, а почти готовый чертеж: центр, радиусы, симметрия и многоугольники.

Такая форма была нужна не только для красоты. Город строили как крепость, поэтому выступающие углы помогали защитникам лучше видеть подступы к стенам и контролировать разные направления.

Сегодня Пальманова входит в объект Всемирного наследия ЮНЕСКО (специального учреждения Организации Объединенных Наций, которое помогает странам сотрудничать в сферах образования, науки, культуры и коммуникаций для укрепления мира и устойчивого развития) «Венецианские оборонительные сооружения XVI–XVII веков». Это хороший пример того, как правильные многоугольники и окружности могут встречаться не только в учебнике, но и в плане настоящего города.

Пальманова интересна еще и тем, что ее план связан с идеей «идеального города»: все должно было быть продумано, симметрично и удобно. На практике такой город оказался не так прост для жизни, но как пример геометрии в архитектуре он получился очень выразительным.

Часто задаваемые вопросы