Правильный многоугольник. Вписанные и описанные около него окружности

{"questions":[{"content":"Какой многоугольник называется правильным?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Многоугольник, у которого  стороны равны.","Многоугольник, у которого равны углы.","Многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.","Многоугольник, у которого равны все диагонали."],"answer":[2]}},"hints":["Для правильного многоугольника должно выполняться не одно условие.","В правильном многоугольнике все стороны и углы равны."]},{"content":"Чему равна сумма углов выпуклого $n$-угольника?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$n\\cdot180^\\circ$","$(n-1)\\cdot180^\\circ$","$(n-2)\\cdot180^\\circ$","$(n+2)\\cdot180^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Вспомните формулу суммы углов выпуклого многоугольника.","Сумма углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $S=(n-2)\\cdot180^\\circ$."]},{"content":"Чему равен каждый внутренний угол правильного двенадцатиугольника?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$140^\\circ$","$144^\\circ$","$150^\\circ$","$160^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Используйте формулу угла правильного $n$-угольника: $\\alpha=\\dfrac{(n-2)\\cdot180^\\circ}{n}$.","Подставим $n=12$: <br />$\\alpha=\\dfrac{(12-2)\\cdot180^\\circ}{12}=\\dfrac{10\\cdot180^\\circ}{12}=150^\\circ$."]},{"content":"Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его внутренний угол равен $135^\\circ$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$6$","$7$","$8$","$9$"],"answer":[2]}},"hints":["Используйте формулу $\\alpha=\\dfrac{(n-2)\\cdot180^\\circ}{n}$.","Подставьте в формулу $\\alpha=135^\\circ$:<br />$135=\\dfrac{(n-2)\\cdot180}{n}$. <br />Умножьте на $n$: <br />$135n=180n-360$. <br />Тогда $45n=360$, значит, $n=8$."]},{"content":"Чему равна сумма внутренних углов девятиугольника?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$1080^\\circ$","$1260^\\circ$","$1440^\\circ$","$1620^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Используйте формулу суммы углов выпуклого $n$-угольника: $S=(n-2)\\cdot180^\\circ$.","Подставим $n=9$: <br />$S=(9-2)\\cdot180^\\circ=7\\cdot180^\\circ=1260^\\circ$."]},{"content":"Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна $900^\\circ$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$6$","$7$","$8$","$9$"],"answer":[1]}},"hints":["Используйте формулу суммы углов: $S=(n-2)\\cdot180^\\circ$.","Подставим $S=900^\\circ$: <br />$(n-2)\\cdot180=900$. <br />Тогда $n-2=5$, значит, $n=7$."]},{"content":"Если окружность описана около многоугольника, то:[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Она касается всех сторон многоугольника.","Она проходит через все вершины многоугольника.","Ее центр лежит на одной из сторон многоугольника.","Она проходит через середины всех сторон многоугольника."],"answer":[1]}},"hints":["Описанная окружность лежит за пределами  многоугольника.","Описанная около многоугольника окружность проходит через все его вершины."]},{"content":"Если окружность вписана в многоугольник, то:[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Она проходит через все вершины многоугольника.","Она касается всех сторон многоугольника.","Ее центр совпадает с одной из вершин.","Она проходит через середины всех сторон."],"answer":[1]}},"hints":["Вписанная окружность лежит внутри многоугольника.","Вписанная в многоугольник окружность касается всех его сторон."]}],"mix":1}