Построение правильных многоугольников

Мы уже познакомились с правильными многоугольниками и узнали их основные свойства. На этом уроке мы научимся их строить при помощи двух чертежных инструментов: циркуля и линейки.

Начнем с самых простых случаев: правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, а затем разберем общий способ построения правильных $2n$-угольников.

Общая идея построения

Правильный многоугольник удобно строить как многоугольник, вписанный в окружность. Для этого окружность нужно разделить на равные дуги, а затем соединить соседние точки деления.

Если окружность разделена на $n$ равных дуг, то соответствующие им хорды также равны. Значит, и стороны полученного многоугольника будут равны. Кроме того, вершины такого многоугольника расположены на окружности равномерно, поэтому его углы тоже будут равны.

Именно на этой идее основаны построения правильных многоугольников.

{"questions":[{"content":"На чем основана идея построения правильного многоугольника, вписанного в окружность?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["На делении окружности на равные дуги и соединении точек деления по порядку.","На построении нескольких окружностей с разными радиусами.","На выборе любых точек окружности и их соединении.","На построении только равных сторон без учета углов."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните, как должны располагаться вершины правильного многоугольника на окружности.","Вспомните, что равным дугам окружности соответствуют равные хорды."]}],"mix":1}

Построение квадрата

Рассмотрим самое простое построение — построение квадрата, вписанного в окружность. Для этого вычертим окружность с центром $O$ и проведем диаметр $AC$.

Следующим шагом, через центр $O$ проведем диаметр $BD$, перпендикулярный $AC$.

Далее, соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — квадрат.

Доказательство

Скрыть

Диаметры $AC$ и $BD$ перпендикулярны, поэтому центральные углы $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOA$ равны $90^\circ$. Следовательно, окружность разделена на четыре равные дуги.

Равным дугам соответствуют равные хорды, поэтому $AB = BC = CD = DA$.

Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ делят окружность на равные части, значит, полученный четырехугольник является правильным. То есть $ABCD$ — квадрат.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Как построить квадрат, вписанный в окружность?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Провести два взаимно перпендикулярных диаметра и соединить их концы по порядку.","Отметить на окружности любые четыре точки и соединить их по порядку.","Провести один диаметр окружности и соединить его концы с центром.","Отложить на окружности четыре отрезка, равные радиусу окружности."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните, как можно разделить окружность на четыре равные дуги.","Вспомните, как расположены диагонали квадрата, относительно друг друга."]}],"mix":1}

Построение правильного шестиугольника

Теперь построим правильный шестиугольник, вписанный в окружность.

Построение:

1. Построим окружность с центром $O$.
2. Отметим на окружности, в произвольном месте, точку $A$.
3. Не меняя раствор циркуля, последовательно отметим на окружности точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, удаленные друг от друга на расстояние, равное радиусу окружности.

Соединим соседние точки и получим правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Доказательство

Скрыть

Так как $OA$ и $OB$ — радиусы одной окружности, то $OA = OB$. По построению $AB$ тоже равен радиусу окружности. Значит, $OA = OB = AB$, поэтому треугольник $AOB$ равносторонний.

Тогда $\angle AOB = 60^\circ$.

Так же получаются и остальные центральные углы между соседними вершинами. Вся окружность делится на шесть равных дуг, потому что $360^\circ : 6 = 60^\circ$.

Равным дугам соответствуют равные хорды, значит, все стороны шестиугольника равны. Вершины расположены на окружности равномерно, поэтому все углы шестиугольника также равны.

Следовательно, $ABCDEF$ — правильный шестиугольник.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Как построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отметить на окружности точку и последовательно отметить еще точки так, чтобы расстояние между соседними точками было равно радиусу окружности.","Провести два взаимно перпендикулярных диаметра и соединить их концы по порядку.","Разделить окружность на три равные дуги и соединить полученные точки.","Отметить на окружности любые шесть точек и соединить их по порядку."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните, чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность.","Вспомните, какой раствор циркуля нужно взять для отметки соседних вершин правильного шестиугольника."]}],"mix":1}

Построение правильного треугольника

Правильный треугольник можно построить с помощью уже построенного правильного шестиугольника. Достаточно соединить его вершины через одну и вы получите правильный треугольник.

Доказательство данного построения также происходит через равенство дуг и соответственных им хорд. Попробуйте выполнить его самостоятельно.

{"questions":[{"content":"На чем основано построение правильного треугольника через окружность?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["На соединении вершин правильного шестиугольника через одну.","На соединении любых трех точек окружности.","На проведении двух взаимно перпендикулярных диаметров.","На делении окружности на четыре равные дуги."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните, как расположены вершины правильного шестиугольника на окружности.","Вспомните, какие дуги получаются, если соединить вершины правильного шестиугольника через одну."]}],"mix":1}

Построение правильного 2n-угольника

После построения квадрата, правильного шестиугольника и правильного треугольника может показаться, что любую окружность можно так же просто разделить на нужное число равных частей. Например, на $5$, $7$, $9$ или $10$.

Но в геометрических построениях все зависит от числа сторон. Для одних правильных многоугольников существует точный способ построения с помощью циркуля и линейки, для других нет.

Так, например, возможно начертить правильный пятиугольник и даже правильный семнадцатиугольник. Но для них нужны отдельные приемы, которые выходят за рамки этого урока.

А вот с правильными семиугольником и девятиугольником иначе: циркуля и линейки недостаточно, чтобы выполнить точное построение. Их можно изобразить приближенно, и такой чертеж уже не будет считаться геометрически строгим.

Поэтому мы рассмотрим прием, который работает в тех случаях, когда правильный $n$-угольник уже построен, а по нему можно построить правильный $2n$-угольник.

Так, например, если провести серединные перпендикуляры к сторонам квадрата, то на окружности появятся еще четыре точки. Вместе с вершинами квадрата они образуют правильный восьмиугольник.

А если построить серединные перпендикуляры к сторонам правильного шестиугольника, получится правильный двенадцатиугольник и так далее.

Следовательно, по уже построенному правильному $n$-угольнику, можно выстроить правильный $2n$-угольник.

{"questions":[{"content":"Какой из правильных многоугольников нельзя точно построить с помощью циркуля и линейки?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Правильный семиугольник.","Правильный пятиугольник.","Правильный шестиугольник.","Правильный семнадцатиугольник."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните, что число сторон влияет на возможность строгого геометрического построения."]}],"mix":1}

Это интересно

Геометрия часто появляется там, где нужно соединить красоту, порядок и удобство. Правильные многоугольники и похожие на них формы можно встретить в архитектуре, дизайне, предметах быта и даже в спорте.

Например, в Италии есть замок Кастель-дель-Монте. Его план связан с восьмиугольником: само здание имеет восьмиугольную форму, а по углам расположены восемь восьмиугольных башен.

Такая повторяющаяся геометрия делает замок очень узнаваемым: кажется, будто весь его облик построен вокруг числа $8$.

А вот в Великобритании есть монеты, которые напоминают семиугольники. Монеты в $20$ и $50$ пенсов имеют по семь сторон, но это не правильные семиугольники: их стороны не прямые, а слегка изогнутые.

Данная форма называется равноугольным криволинейным семиугольником. Благодаря ей монета имеет постоянную ширину, то есть при любом повороте сохраняет один и тот же размер.

Поэтому ее удобно использовать в автоматах: механизм может точно распознать монету, даже если она повернулась другой стороной.

Правильные многоугольники можно встретить и в объемных формах.

Классический футбольный мяч похож на геометрическую модель, составленную из $12$ пятиугольников и $20$ шестиугольников.

Поэтому обычный мяч тоже можно рассматривать как пример того, как плоские многоугольники помогают создавать почти круглую поверхность.

Так правильные многоугольники оказываются не просто фигурами на чертеже. Они помогают архитекторам создавать выразительные здания, инженерам — продумывать удобные формы, а конструкторам — собирать объемные модели из простых плоских элементов.

Часто задаваемые вопросы