Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

{"questions":[{"content":"Чему равна площадь правильного многоугольника, если его периметр равен $36$, а радиус вписанной окружности равен $5$? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$90$","$180$","$41$","$72$"],"answer":[0]}},"hints":["Сначала найдите полупериметр: $p = \\dfrac{P}{2}$. Затем используйте формулу $S = pr$.","$p = \\dfrac{36}{2} = 18$, значит, $S = 18 \\cdot 5 = 90$."]},{"content":"Чему равен радиус вписанной окружности правильного многоугольника, если его площадь равна $84$, а периметр равен $24$? [[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$7$","$3{,}5$","$14$","$60$"],"answer":[0]}},"hints":["Сначала найдите полупериметр: $p = \\dfrac{P}{2}$. Затем из формулы $S = pr$ выразите радиус: $r = \\dfrac{S}{p}$.","$p = \\dfrac{24}{2} = 12$, значит, $r = \\dfrac{84}{12} = 7$."]},{"content":"Чему равен радиус вписанной окружности правильного треугольника со стороной $a_3 = 12$? [[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$2\\sqrt{3}$","$4\\sqrt{3}$","$6\\sqrt{3}$","$12\\sqrt{3}$"],"answer":[0]}},"hints":["Для правильного треугольника используйте формулу $r = \\dfrac{a_3\\sqrt{3}}{6}$.","$r = \\dfrac{12\\sqrt{3}}{6} = 2\\sqrt{3}$."],"id":"0"},{"content":"Чему равен радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной $a_3 = 9$? [[choice-988]]","widgets":{"choice-988":{"type":"choice","options":["$3\\sqrt{3}$","$\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}$","$9\\sqrt{3}$","$\\dfrac{9\\sqrt{3}}{2}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Для правильного треугольника используйте формулу $R = \\dfrac{a_3\\sqrt{3}}{3}$.","$R = \\dfrac{9\\sqrt{3}}{3} = 3\\sqrt{3}$."],"id":"0"},{"content":"Чему равен радиус вписанной окружности правильного шестиугольника со стороной $a_6 = 10$? [[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$5\\sqrt{3}$","$10$","$10\\sqrt{3}$","$5$"],"answer":[0]}},"hints":["Для правильного шестиугольника используйте формулу $r = \\dfrac{a_6\\sqrt{3}}{2}$.","$r = \\dfrac{10\\sqrt{3}}{2} = 5\\sqrt{3}$."],"id":"1"},{"content":"Чему равен радиус описанной окружности правильного шестиугольника со стороной $a_6 = 14$?[[choice-1090]]","widgets":{"choice-1090":{"type":"choice","options":["$14$","$7$","$14\\sqrt{3}$","$\\dfrac{14\\sqrt{3}}{2}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["У правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне.","$R = a_6 = 14$."],"id":"1"},{"content":"Чему равен радиус вписанной окружности квадрата со стороной $a_4 = 16$? [[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$8$","$16$","$8\\sqrt{2}$","$16\\sqrt{2}$"],"answer":[0]}},"hints":["Для квадрата используйте формулу $r = \\dfrac{a_4}{2}$.","$r = \\dfrac{16}{2} = 8$."],"id":"2"},{"content":"Чему равен радиус описанной окружности квадрата со стороной $a_4 = 12$?[[choice-1209]]","widgets":{"choice-1209":{"type":"choice","options":["$6\\sqrt{2}$","$12$","$6$","$12\\sqrt{2}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Для квадрата используйте формулу $R = \\dfrac{a_4\\sqrt{2}}{2}$.","$R = \\dfrac{12\\sqrt{2}}{2} = 6\\sqrt{2}$."],"id":"2"}],"mix":1}