Правильный многоугольник. Вписанные и описанные около него окружности

Ранее мы познакомились с окружностью, ее элементами и свойствами. Также мы узнали о выпуклых и вогнутых многоугольниках и познакомились с правильными фигурами.

Сегодня рассмотрим, что действительно называется правильным многоугольником, и увидим, как он связан с окружностью.

Правильный многоугольник

Нам уже известно, что у многоугольников могут быть разными по величине стороны и углы. Есть фигуры, устроенные особенно строго и симметрично. В геометрии их выделяют и называют правильными многоугольниками.

Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Кроме того, для правильного многоугольника недостаточно равенства только сторон или только углов.

Бытует мнение, что если у многоугольника равны все стороны или все углы, то он уже правильный. Это не так.

Например, ромб имеет равные стороны, но его углы различны по величине. И наоборот: у прямоугольника все углы равны, но стороны не обязаны быть равными.

Следовательно, для правильного многоугольника должны выполняться оба условия сразу.

К правильным многоугольникам относятся равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.

У правильного многоугольника можно находить величину каждого угла, который тесно связан с количеством его сторон.

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна:
$\left(n-2\right)\cdot180^\circ$, где $n$ — количество сторон многоугольника.

Так как у правильного многоугольника все его углы, также как и стороны, равны, то величину угла можно вычислить по формуле:

$\alpha=\dfrac{\left(n-2\right)\cdot180^\circ}{n}$

{"questions":[{"content":"Чему равен внутренний угол правильного двенадцатиугольника?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$120^\\circ$","$135^\\circ$","$150^\\circ$","$160^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Используйте формулу для вычисления угла правильного $n$-угольника: <br />$\\alpha=\\dfrac{(n-2)\\cdot180^\\circ}{n}$.","Подставим $n=12$: <br />$\\alpha=\\dfrac{(12-2)\\cdot180^\\circ}{12}=\\dfrac{10\\cdot180^\\circ}{12}=150^\\circ$."]}]}

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Можно заметить, что с увеличением числа сторон правильный многоугольник все больше становится похожим на окружность. Поэтому правильные многоугольники тесно связаны с вписанной и описанной окружностями.

Вспомним определение окружности, описанной около многоугольника.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности.

Описанную окружность можно построить не только около правильного многоугольника. Однако именно около правильного многоугольника ее можно описать всегда.

Теорема
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Скрыть

Пусть $A_1A_2\dots A_n$ — правильный многоугольник.

Проведем биссектрисы углов $A_1$ и $A_2$, которые пересекаются в точке $O$.

Так как многоугольник правильный, то его углы равны, значит, $\angle A_1 = \angle A_2$.

$OA_1$ и $OA_2$ — биссектрисы углов $A_1$ и $A_2$ соответственно, поэтому $\angle OA_1A_2 = \dfrac{1}{2}\angle A_1$, а $\angle OA_2A_1 = \dfrac{1}{2}\angle A_2$.

Так как $\angle A_1 = \angle A_2$, то $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1$.

Следовательно, треугольник $OA_1A_2$ равнобедренный, и $OA_1 = OA_2$.

Рассмотрим треугольники $OA_1A_2$ и $OA_2A_3$.

У них:
$A_1A_2 = A_2A_3$, так как многоугольник правильный;

$OA_2$ — общая сторона;

$\angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3$, так как $OA_2$ — биссектриса.

Следовательно, треугольники $OA_1A_2$ и $OA_2A_3$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем:

$OA_1 = OA_3$.

Но уже известно, что $OA_1 = OA_2$. Значит, $OA_1 = OA_2 = OA_3$.

Точно так же, переходя от одной стороны к следующей, получаем:

$OA_1 = OA_2 = OA_3 = \dots = OA_n$.

Итак, точка $O$ равноудалена от всех вершин правильного многоугольника.

Поэтому существует окружность с центром $O$ и радиусом $OA_1$. Эта окружность проходит через все вершины многоугольника, а значит, является описанной около него.

Существование доказано. Теперь докажем единственность (то есть то, что такая окружность может быть проведена только одна).

Если бы около данного правильного многоугольника можно было описать еще одну окружность, то ее центр тоже должен был бы быть одинаково удален от всех вершин многоугольника.

Но точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, центр описанной окружности должен лежать на серединном перпендикуляре к стороне $A_1A_2$ и на серединном перпендикуляре к стороне $A_2A_3$.

Серединные перпендикуляры к двум различным сторонам пересекаются только в одной точке. Значит, центр описанной окружности определяется единственным образом. Так же, как и ее радиус.

Следовательно, около правильного многоугольника можно описать только одну окружность.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Что значит <b>окружность описана около многоугольника</b>?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Она касается всех сторон многоугольника.","Она проходит через все вершины многоугольника.","Ее центр лежит на одной из вершин многоугольника.","Она проходит через середины всех сторон многоугольника."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните определение описанной окружности.","Такая окружность должна проходить через все вершины многоугольника."]}],"mix":1}

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Теперь вспомним, что называется вписанной в многоугольник окружностью. Она так же, как и описанная не обязательно может быть вписана именно в правильный многоугольник.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Это значит, что окружность проходит внутри многоугольника и имеет с каждой его стороной ровно одну общую точку — точку касания.

Теорема
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Скрыть

Рассмотрим правильный $n$-угольник $A_1A_2\dots A_n$ и обозначим его центр точкой $O$.

Опустим из точки $O$ перпендикуляры на стороны многоугольника:

$OM_1 \perp A_1A_2$, $OM_2 \perp A_2A_3$, $\dots$, $OM_n \perp A_nA_1$.

Рассмотрим треугольники $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, $\dots$, $OA_nA_1$.

У этих треугольников: $OA_1=OA_2=\dots=OA_n$, так как все вершины правильного многоугольника одинаково удалены от его центра (из доказанного выше);

$A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_nA_1$, так как все стороны правильного многоугольника равны.

Следовательно, все треугольники $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, $\dots$, $OA_nA_1$ равны.

Тогда равны и высоты, опущенные из точки $O$ на их основания и $OM_1=OM_2=\dots=OM_n$.

Это значит, что точка $O$ одинаково удалена от всех сторон правильного многоугольника и является вписанной в него.

Теперь докажем, что такая окружность — единственная.

Если бы в данный правильный многоугольник можно было вписать еще одну окружность, то ее центр тоже должен был бы быть одинаково удален от всех сторон многоугольника.

Но точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Поэтому центр вписанной окружности должен лежать на биссектрисах углов многоугольника.

Биссектрисы двух углов пересекаются только в одной точке. Значит, центр вписанной окружности определяется единственным образом. Тогда и радиус определяется единственным образом — как расстояние от этой точки до стороны.

Следовательно, в правильный многоугольник можно вписать только одну окружность.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Что значит <b>окружность вписана в многоугольник</b>?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Она проходит через все вершины многоугольника.","Она касается всех сторон многоугольника.","Ее центр совпадает с одной из вершин многоугольника.","Ее центр находится на стороне многоугольника."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните определение вписанной окружности.","Такая окружность должна касаться всех сторон многоугольника."]}],"mix":1}

Это интересно

Всем нам известно число $ \pi $ (пи), но мало кто задумывается, откуда оно взялось и что обозначает. Еще в глубокой древности люди заметили удивительную закономерность: если разделить длину любой окружности на ее диаметр, то получится примерно одно и то же число.

Именно это постоянное отношение и есть число $ \pi $.

Самые ранние известные приближения этого числа встречаются у вавилонян, а затем и в древнеегипетских записях. Вавилоняне использовали значение $3{,}125$, а египтяне получили приближение, близкое к $3{,}16$.

Сегодня его обозначают греческой буквой $ \pi $: такой знак впервые использовал Уильям Джонс в $1706$ году, а затем его сделал общепринятым Леонард Эйлер.

Считается, что буква $ \pi $ была выбрана неслучайно: она связана с греческим словом, от которого произошло слово «периметр». Кроме того, число $ \pi $ нельзя записать точно в виде обычной дроби, а его десятичная запись бесконечна и не повторяется по какому-то простому шаблону.

Особенно интересно, что уточнять значение числа $ \pi $ математикам помогали правильные многоугольники.

Один из самых известных способов предложил Архимед. Он вписывал в окружность правильный многоугольник и описывал около нее другой. Периметр вписанного многоугольника был меньше длины окружности, а периметр описанного — больше. Значит, сама длина окружности находилась где-то между ними.

Чем больше сторон было у таких многоугольников, тем точнее получалось приближение. Так правильные многоугольники помогли людям лучше понять окружность и приблизиться к числу $ \pi $.

Число $ \pi $ важно не только в геометрии. Без него нельзя находить длину окружности и площадь круга, а значит, и решать задачи, связанные с колесами, трубами, арками, куполами, круглыми резервуарами, движением планет и многими другими явлениями.

Позже оказалось, что $ \pi $ встречается не только в задачах про круги: оно появляется и в физике, и в астрономии, и в теории вероятностей, и в формулах, связанных с волнами и колебаниями.

У числа $ \pi $ есть даже свой праздник. Его отмечают $14$ марта, потому что запись даты $3/14$ совпадает с первыми цифрами этого числа: $3{,}14$.

Часто задаваемые вопросы