Отношение площадей подобных треугольников

Мы уже знакомы с понятием подобных треугольников: у них равны углы и стороны пропорциональны. Но интересно то, что при подобии изменяются не только длины сторон, но и площади.

На этом уроке посмотрим, как именно связаны площади подобных треугольников и их коэффициент подобия.

Площади подобных треугольников

Чтобы разобраться во взаимосвязи площадей подобных треугольников, важно понимать одну особенность: во всех их элементах сохраняется то же отношение, что и у сходственных сторон.

Высоты, медианы и биссектрисы подобных треугольников относятся друг к другу в том же коэффициенте подобия, что и сходственные стороны.

То есть, $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BH}{B_1H_1} = \dfrac{BM}{B_1M_1} = \dfrac{AE}{A_1E_1} = k$.

Именно это наблюдение поможет нам понять, как соотносятся площади подобных треугольников.

Формула площади треугольника: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — сторона, а $h$ — проведенная к ней высота.

Площадь — это квадратная величина, так как перемножаются длины двух отрезков. Поэтому, если мы составим отношение площадей подобных треугольников, то коэффициент подобия также станет квадратным:

$\dfrac{\tfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}{\tfrac{1}{2} \cdot a_1 \cdot h_1} = k^2$, так как $ \dfrac{a}{a_1} = k$ и $ \dfrac{h}{h_1} = k$, $k \cdot k = k^2$, а $ \tfrac{1}{2}$ просто сокращается.

Кстати, отношение площадей всех подобных фигур будет равно квадрату коэффициента подобия. Потому что, как нам известно, площадь любой фигуры — это произведение основания и высоты.

{"questions":[{"content":"Какие элементы в подобных треугольниках относятся друг к другу так же, как и стороны?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/obrazavr-s-uglom-krivye.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Только высоты","Только медианы","Высоты, медианы и биссектрисы","Только биссектрисы"],"answer":[2]}},"hints":["В подобных треугольниках коэффициент подобия одинаков для всех соответствующих элементов."]}]}

Теорема о площадях подобных треугольников

В предыдущем разделе мы увидели что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Это поможет нам понять саму формулировку теоремы и ее доказательство.

Теорема
Площади двух подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:
$\dfrac{S}{S_1} = k^2$.

Доказательство

Скрыть

Пусть $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом подобия $k$.
Известно, что $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{h}{h_1} = k$, где $h$ и $h_1$ — высоты, проведенные к этим сторонам.

Тогда:
$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h$,
$S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot h_1$.

Составим отношение:

$\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{\tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h}{\tfrac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot h_1} = \dfrac{AB}{A_1B_1} \cdot \dfrac{h}{h_1} = k \cdot k = k^2$.

Что и требовалось доказать.

Задача

Треугольники $ABC$ и $PMK$ подобны с коэффициентом подобия $k = 1,5$.

Площадь $\triangle PMK$ равна $24 \ \text{см}^2$. Найдите площадь $\triangle ABC$.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Коэффициент подобия равен $4$. Во сколько раз площадь одного треугольника больше площади другого?[[image-1]][[choice-8]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/maths.svg","width":"300"},"choice-8":{"type":"choice","options":["В 2 раза","В 4 раза","В 8 раз","В 16 раз"],"answer":[3]}},"hints":["Вспомните, что площади подобных треугольников относятся как $k^2$.","Если $k = 4$, то $k^2 = 16$. Следовательно, площади увеличатся или уменьшатся относительно друг друга в $16$ раз."]}]}

Свойство биссектрисы треугольника

Мы выяснили, что в подобных треугольниках все элементы связаны коэффициентом подобия, а площади относятся как квадрат этого коэффициента. Но интересные зависимости можно найти и внутри треугольника.

Например, если провести биссектрису, она разделит противоположную сторону не случайно, а строго в отношении прилежащих сторон.

Теорема
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Это значит, если в $\triangle ABC$ проведена биссектриса $AD$ к стороне $BC$, то:

$\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{AC}{CD}$.

Доказательство

Скрыть

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ADC$.
Так как $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен углу $DAC$.

По свойству отношения площадей треугольников с равным углом их площади относятся так же, как произведения сторон, заключающих этот угол.
Поэтому:
$ \dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}}= \dfrac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD}= \dfrac{AB}{AC}$.

Теперь посмотрим на те же треугольники с другой стороны.
Опустим высоту $AH$ на сторону $BC$, она будет являться общей для обоих треугольников.

А если высота одна и та же, то площади треугольников относятся так же, как и их основания.
Значит:
$\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\dfrac{BD}{DC}$.

Мы получили два выражения для одного и того же отношения площадей.
Приравняем их:
$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$.

Что и требовалось доказать.

Задача

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$. Известно: $AB=12\ \text{см}$, $BC=9\ \text{см}$. При этом $DC$ на $1\ \text{см}$ короче, чем $AD$. Найдите $AC$.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$, которая делит сторону $AC$ в точке $D$. Выберите верное равенство.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/3-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{AD}{DC}=\\dfrac{AB}{BC}$","$\\dfrac{AD}{DC}=\\dfrac{AC}{AB}$","$\\dfrac{AD}{DC}=\\dfrac{AB}{AC}$","$\\dfrac{AD}{DC}=\\dfrac{BC}{AB}$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.","$\\dfrac{AD}{DC}=\\dfrac{AB}{BC}$."]}]}

Свойство медианы треугольника

Медиана треугольника также обладает некоторым свойством, которое чаще используется в задачах, нежели свойство биссектрисы.

Теорема
Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих).

Доказательство

Скрыть

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$, где точка $M$ — середина стороны $BC$. Опустим из вершины $A$ высоту $AH$ на сторону $BC$.

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $ACM$.

Площадь треугольника $ABM$:
$S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\cdot BM\cdot AH$.

Площадь треугольника $ACM$:
$S_{ACM}=\dfrac{1}{2}\cdot MC\cdot AH$.

Составим отношение:
$\dfrac{S_{ABM}}{S_{ACM}}=\dfrac{\tfrac{1}{2}\cdot BM\cdot AH}{\tfrac{1}{2}\cdot MC\cdot AH}=\dfrac{BM}{MC}$.

Так как $AM$ — медиана, то $BM=MC$.

Следовательно:
$\dfrac{S_{ABM}}{S_{ACM}}=1$.

Значит, $S_{ABM}=S_{ACM}$, то есть медиана делит треугольник на два равновеликих.

Что и требовалось доказать.

Задача

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Площадь треугольника $ABC$ равна $64\ \text{см}^2$.

Найдите площадь треугольника $ABM$.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Медиана треугольника делит его на два треугольника. Что можно сказать об их площадях?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/lawyer-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Они равны.","Площадь одного в два раза больше  площади другого.","Площадь одного в два раза меньше  площади другого.","Сумма их площадей равна половине площади  всего треугольника."],"answer":[0]}},"hints":["Медиана делит противоположную сторону на два равных отрезка.","Если у треугольников равные основания и одна и та же высота, то и площади будут одинаковыми."]}]}

Часто задаваемые вопросы