Подобные треугольники

Этот тест поможет проверить знания о подобии треугольников. Вопросы охватывают основные понятия: коэффициент подобия, сходственные стороны, отношение площадей, а также свойства биссектрисы и медианы.

Здесь встречаются как теоретические формулировки, так и задачи с вычислениями.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Какие отрезки называют пропорциональными?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/rost-rostomer.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Такие, у которых длины равны.","Такие, у которых длины относятся как равные дроби.","Такие, которые лежат на параллельных прямых.","Такие, у которых разность длин постоянна."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что слово «пропорция» связано с равенством.","Речь идет о равенстве отношений длин."],"id":"0"},{"content":"Что называют коэффициентом подобия двух фигур?[[image-26]][[choice-39]]","widgets":{"image-26":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/research-phase-1.svg","width":"298"},"choice-39":{"type":"choice","options":["Число, которое показывает во сколько раз отличаются площади фигуры.","Число, которое показывает насколько раз отличаются стороны фигуры.","Число, которое показывает насколько отличаются стороны фигуры.","Число, которое показывает на сколько отличаются периметры фигуры."],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте, какой элемент фигур сравнивают, чтобы найти коэффициент подобия.","Этот коэффициент равен отношению длин сторон."],"id":"0"},{"content":"Что такое коэффициент подобия двух треугольников?[[image-92]][[choice-113]]","widgets":{"image-92":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/phase-3-final-v2.svg","width":"300"},"choice-113":{"type":"choice","options":["Это отношение площадей треугольников.","Это отношение длин  сторон треугольника, лежащих напротив равных углов.","Это отношение углов треугольника.","Это произведение длин  сторон треугольника, лежащих напротив равных углов."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что при подобии треугольников равны углы.","Коэффициент подобия выражается через отношение соответствующих сторон."],"id":"1"},{"content":"Какое условие выполняется, если два отрезка пропорциональны двум другим?[[image-187]][[choice-216]]","widgets":{"image-187":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/medved.svg","width":"300"},"choice-216":{"type":"choice","options":["Их длины равны.","Их длины выражаются одинаковыми числами.","Их длины относятся одинаково, то есть составляют равные дроби.","Разность их длин постоянна."],"answer":[2]}},"hints":["Пропорциональность — это равенство дробей.","У пропорциональных отрезков отношения должны быть равными."],"id":"1"},{"content":"Какие стороны двух подобных треугольников называют сходственными?[[image-309]][[choice-346]]","widgets":{"image-309":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/loshad-1-1.svg","width":"299"},"choice-346":{"type":"choice","options":["Те, которые равны по длине.","Те, которые лежат напротив равных углов.","Те, которые расположены на параллельных прямых.","Те, которые прилежат  к одной вершине."],"answer":[1]}},"hints":["У подобных треугольников все углы равны.","Сходственные стороны лежат напротив равных углов."],"id":"2"},{"content":"Даны два подобных треугольника $ABC$ и $MNK$. Какие стороны являются сходственными?[[image-454]][[choice-499]]","widgets":{"image-454":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/99-2-optimized.jpg","width":"299"},"choice-499":{"type":"choice","options":["$AB$ и $MN$, $BC$ и $NK$, $AC$ и $MK$","$AB$ и $NK$, $BC$ и $MK$, $AC$ и $MN$.","$AB$ и $MK$, $BC$ и $MN$, $AC$ и $NK$.","$AB$ и $NM$, $BC$ и $KM$, $AC$ и $KN$."],"answer":[0]}},"hints":["Сходственные стороны лежат напротив равных углов.","Внимательно следите за порядком букв."],"id":"2"},{"content":"Какая сторона треугольника $ABC$ будет сходственна стороне $NK$, если треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны?[[image-759]][[choice-812]]","widgets":{"image-759":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/99-2-optimized.jpg","width":"299"},"choice-812":{"type":"choice","options":["$AB$","$BC$","$AC$","$AM$"],"answer":[1]}},"hints":["Сравните порядок вершин в названиях треугольников.","Сходственные стороны лежат напротив равных углов."],"id":"3"},{"content":"Как соотносятся сходственные стороны подобных треугольников?[[image-988]][[choice-1049]]","widgets":{"image-988":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/stolyar-instrumenty-ugol2.svg","width":"300"},"choice-1049":{"type":"choice","options":["Их отношение $1 : 1$.","Они пропорциональны с коэффициентом $k$.","Они относятся как $k^2$.","Они отличаются на величину $k$."],"explanations":["","","Такое отношение имеют площади подобных треугольников.",""],"answer":[1]}},"hints":["Если один треугольник увеличить или уменьшить, все его стороны изменятся в одинаковое число раз.","Длина стороны — это линейная величина."],"id":"3"},{"content":"Как соотносятся площади подобных треугольников?[[image-1269]][[choice-1338]]","widgets":{"image-1269":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/morkov.svg","width":"298"},"choice-1338":{"type":"choice","options":["Относятся как $1:1$.","Они относятся так же, как стороны — с коэффициентом $k$.","Они относятся как $k^2$.","Они отличаются на величину $k^2$."],"answer":[2]}},"hints":["Площадь связана не с одной стороной, а с произведением двух величин.","Если стороны увеличились в $k$ раз, то и высоты увеличатся в $k$ раз.  Следовательно, площадь увеличится в $k^2$ раз."],"id":"4"},{"content":"Площадь меньшего из подобных треугольников $S_1 = 18 \\ \\text{см}^2$. Коэффициент подобия $k = 3$. Найдите площадь большего треугольника площадью $S_2$.[[image-1533]][[choice-1610]]","widgets":{"image-1533":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/03/obrazavr-v-muzee.svg","width":"300"},"choice-1610":{"type":"choice","options":["$54 \\ \\text{см}^2$.","$162 \\ \\text{см}^2$.","$2 \\ \\text{см}^2$.","$6 \\ \\text{см}^2$."],"answer":[1]}},"hints":["Площади подобных треугольников связаны квадратом коэффициента подобия.","Отношение площадей подобных фигур: $\\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$.","Выразим $S_2$:<br />$$S_2 = S_1 \\cdot k^2.$$<br />Подставим значения: $S_2 = 18 \\cdot 3^2$.<br />$S_2 = 162 \\ \\text{см}^2$.<br /><br />Ответ: $S_2 = 162 \\ \\text{см}^2$."],"id":"4"},{"content":"Два треугольника подобны. Площадь одного из них равна $24 \\ \\text{см}^2$, а площадь другого — $54 \\ \\text{см}^2$. Чему равен коэффициент подобия $k$?[[image-1968]][[choice-2053]]","widgets":{"image-1968":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/gora-01-1.svg","width":"300"},"choice-2053":{"type":"choice","options":["$ k = \\dfrac{2}{3}$.","$k = \\dfrac{4}{9}$.","$k = \\dfrac{16}{81}$.","$k = \\dfrac{9}{4}$."],"answer":[0]}},"hints":["Отношение площадей подобных треугольников равно $k^2$.","Запишем формулу: $\\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$.<br />Подставим значения: $\\dfrac{24}{54} = k^2$.<br />Получаем: $k^2 = \\dfrac{4}{9}$.<br />Следовательно, $k = \\sqrt{ \\dfrac{4}{9}} = \\dfrac{2}{3}$. <br /><br />Ответ: $k = \\dfrac{2}{3}$."],"id":"5"},{"content":"Выберите правильную формулу отношения площадей подобных треугольников.[[image-2533]][[choice-2626]]","widgets":{"image-2533":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/pered-telivezirom-telik-03-01.svg","width":"300"},"choice-2626":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{S_1}{S_2} = k$","$\\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$","$\\dfrac{S_1}{S_2} = \\dfrac{1}{k}$","$\\dfrac{S_1}{S_2} = 2k$"],"answer":[1]}},"hints":["Площадь связана с произведением двух величин.","Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия."],"id":"5"},{"content":"В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD = 5$ см и $DC = 3$ см. Известно, что $AB = 10$ см. Найдите сторону $BC$.[[image-2912]][[choice-3013]]","widgets":{"image-2912":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/5-01-19.svg","width":"300"},"choice-3013":{"type":"choice","options":["$4{,}8 \\ \\text{см}$","$6 \\ \\text{см}$","$8 \\ \\text{см}$","$12 \\ \\text{см}$"],"answer":[1]}},"hints":["По теореме о биссектрисе $\\dfrac{AB}{BC} = \\dfrac{AD}{DC}$.","Запишем пропорцию: $\\dfrac{AB}{BC} = \\dfrac{AD}{DC}$.<br />Подставим значения: $\\dfrac{10}{BC} = \\dfrac{5}{3}$.<br />Перемножим крест-накрест: $10 \\cdot 3 = 5 \\cdot BC$.<br />$BC = \\dfrac{30}{5} = 6 \\ \\text{см}$.<br /><br />Ответ: $BC = 6 \\ \\text{см}$."],"id":"6"},{"content":"Площадь треугольника равна $30 \\ \\text{см}^2$. Из его вершины проведена медиана. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?[[image-3505]][[choice-3614]]","widgets":{"image-3505":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/sporyat-vzroslyi-i-molodoi-01-1.svg","width":"300"},"choice-3614":{"type":"choice","options":["$10 \\ \\text{см}^2$","$15 \\ \\text{см}^2$","$20 \\ \\text{см}^2$","$7,5 \\ \\text{см}^2$"],"answer":[1]}},"hints":["Медиана любого треугольника делит его на два равновеликих.","Равновеликих, значит, равных по площади. Следовательно, площадь каждого из получившегося треугольника будет равна $15 \\ \\text{см}^2$.<br /><br />Ответ: $15 \\ \\text{см}^2$."],"id":"6"},{"content":"В треугольнике проведена медиана. Площадь одного из получившихся треугольников равна $18 \\ \\text{см}^2$. Чему равна площадь всего треугольника?[[image-3948]][[choice-4065]]","widgets":{"image-3948":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_syshhik-01-1.svg","width":"300"},"choice-4065":{"type":"choice","options":["$24 \\ \\text{см}^2$","$36 \\ \\text{см}^2$","$72 \\ \\text{см}^2$","$54 \\ \\text{см}^2$."],"answer":[1]}},"hints":["Медиана делит треугольник на два равных по площади (равновеликих).","Если площадь одного треугольника равна $18 \\ \\text{см}^2$, то площадь второго — также равна $18 \\ \\text{см}^2$.<br />Следовательно, площадь всего треугольника равна $36 \\ \\text{см}^2$.<br /><br />Ответ: $36 \\ \\text{см}^2$."],"id":"7"},{"content":"В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$. Известно: $AB = 25 \\ \\text{см}$, $BC = 24 \\ \\text{см}$, $AD = 10 \\ \\text{см}$. Найдите сторону $AC$.[[image-4661]][[choice-4786]]","widgets":{"image-4661":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/5-01-19.svg","width":"300"},"choice-4786":{"type":"choice","options":["$19,6 \\ \\text{см}$.","$17,4 \\ \\text{см}$.","$14,9 \\ \\text{см}$.","$16,8 \\ \\text{см}$."],"answer":[0]}},"hints":["По теореме о биссектрисе $\\dfrac{AB}{BC} = \\dfrac{AD}{DC}$.","Запишем пропорцию: $\\dfrac{25}{24} = \\dfrac{10}{DC}$.<br />По основному свойству пропорции:<br />$DC = \\dfrac{24 \\cdot 10}{25} = 9,6$.<br />Тогда $AC = AD + DC = 10 + 9,6 = 19,6 \\ \\text{см}$.<br /><br />Ответ: $AC = 19,6 \\ \\text{см}$."],"id":"7"}],"mix":1}</textarea></pre></div>