Подобные треугольники. Коэффициент подобия

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольниках $LMN$ и $STU$ равны углы: $\\angle L = \\angle T$, $\\angle M = \\angle U$, $\\angle N = \\angle S$. Сопоставьте каждой стороне треугольника $LMN$ сходственную ей сторону треугольника $STU$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$LM$","$MN$","$LN$"],"items":["$TU$","$SU$","$ST$"]}},"instruction":"Сопоставьте стороны","hints":["Сходственные стороны лежат против равных углов. Против угла $L$ лежит $MN$, против угла $T$ — $SU$.","Против угла $M$ лежит $LN$, против угла $U$ — $ST$; против угла $N$ лежит $LM$, против угла $S$ — $TU$.","Ответ: $LM$ — $TU$, $MN$ — $SU$, $LN$ — $ST$."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольниках $EFG$ и $XYZ$ равны углы: $\\angle E = \\angle Z$, $\\angle F = \\angle X$, $\\angle G = \\angle Y$. Сопоставьте каждой стороне треугольника $EFG$ сходственную ей сторону треугольника $XYZ$.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$EF$","$FG$","$EG$"],"items":["$XZ$","$XY$","$YZ$"]}},"instruction":"Сопоставьте стороны","hints":["Сходственные стороны лежат против равных углов. Против угла $E$ лежит $FG$, против угла $Z$ — $XY$.","Против угла $F$ лежит $EG$, против угла $X$ — $YZ$; против угла $G$ лежит $EF$, против угла $Y$ — $XZ$.","Ответ: $EF$ — $XZ$, $FG$ — $XY$, $EG$ — $YZ$."],"step":1},{"id":"2","content":"Известно, что $\\triangle ABC \\sim \\triangle KMN$. Сторона, сходственная стороне $BC$, — это [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$KN$","$KM$","$MN$","$AC$"],"answer":2}},"hints":["В записи подобия на одинаковых местах стоят вершины равных углов: $A \\to K$, $B \\to M$, $C \\to N$.","Стороне $BC$ (вершины на 2-м и 3-м местах) соответствует сторона с вершинами на тех же местах. Ответ: $MN$."],"step":1},{"id":"2","content":"Известно, что $\\triangle PQR \\sim \\triangle DEF$. Сторона, сходственная стороне $PR$, — это [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$EF$","$QR$","$DE$","$DF$"],"answer":3}},"hints":["В записи подобия на одинаковых местах стоят вершины равных углов: $P \\to D$, $Q \\to E$, $R \\to F$.","Стороне $PR$ (вершины на 1-м и 3-м местах) соответствует сторона с вершинами на тех же местах. Ответ: $DF$."],"step":1},{"id":"3","content":"Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$, $AB = 6$, $A_1B_1 = 15$. Найдите $k = \\dfrac{A_1B_1}{AB}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["2,5","2.5"]}},"hints":["$k$ — отношение стороны копии к стороне оригинала.","$k = 15 : 6 = 2{,}5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Треугольник $M_1N_1K_1$ подобен треугольнику $MNK$, $MN = 4$, $M_1N_1 = 14$. Найдите $k = \\dfrac{M_1N_1}{MN}$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["3,5","3.5"]}},"hints":["$k$ — отношение стороны копии к стороне оригинала.","$k = 14 : 4 = 3{,}5$."],"step":1},{"id":"4","content":"Стороны треугольника равны 4, 5 и 6. Подобный ему треугольник имеет $k = 2$. Найдите периметр подобного треугольника. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Периметр оригинала: $4 + 5 + 6 = 15$.","Периметр копии: $15 \\cdot 2 = 30$."],"step":1},{"id":"4","content":"Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Подобный ему треугольник имеет $k = 1{,}5$. Найдите периметр подобного треугольника. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"27"}},"hints":["Периметр оригинала: $5 + 6 + 7 = 18$.","Периметр копии: $18 \\cdot 1{,}5 = 27$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $AB$, точка $E$ — на стороне $AC$, $DE \\parallel BC$. Какое подобие верно?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/szahnz9bbtdz.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\triangle ADE \\sim \\triangle ABC$","$\\triangle DBE \\sim \\triangle ABC$","$\\triangle ADE \\sim \\triangle ACB$","$\\triangle EAD \\sim \\triangle ABC$"],"explanations":["","Равенства углов из условия не следует: $E$ лежит на $AC$, а не на $BC$","Тогда $D$ соответствует $C$, а равны углы $D$ и $B$","Вершине $A$ при этом соответствует $E$, хотя угол $A$ общий и соответствует себе"],"answer":[0]}},"hints":["Угол $A$ общий; $\\angle ADE = \\angle ABC$ как соответственные.","Вершине $D$ соответствует $B$, вершине $E$ — $C$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $AC$, точка $E$ — на стороне $BC$, $DE \\parallel AB$. Какое подобие верно?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3bmsx5hbwjxi.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\triangle CDE \\sim \\triangle CBA$","$\\triangle CDE \\sim \\triangle CAB$","$\\triangle DCE \\sim \\triangle ABC$","$\\triangle ADE \\sim \\triangle ACB$"],"explanations":["Тогда $D$ соответствует $B$, а равны углы $D$ и $A$","","Вершине $C$ при этом соответствует $B$, хотя угол $C$ общий и соответствует себе","$E$ лежит на $BC$, а не на $AB$, поэтому угол $DAE$ не совпадает с углом $CAB$; равенства углов из условия не следует"],"answer":[1]}},"hints":["Угол $C$ общий; $\\angle CDE = \\angle CAB$ как соответственные.","Вершине $D$ соответствует $A$, вершине $E$ — $B$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-3]]Прямая, параллельная стороне $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ ($DE = 6$, $AC = 10$). Сторона $BC = 15$. Какую длину имеет отрезок $EC$, оставшийся на стороне $BC$? [[input-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/isin95obmcki.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$\\triangle DBE \\sim \\triangle ABC$, $k = \\dfrac{DE}{AC} = \\dfrac{6}{10} = 0{,}6$, $BE = 15 \\cdot 0{,}6 = 9$.","$EC = BC-BE = 15-9 = 6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-4]]Прямая, параллельная стороне $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ ($DE = 8$, $AC = 20$). Сторона $BC = 15$. Какую длину имеет отрезок $EC$, оставшийся на стороне $BC$? [[input-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/isin95obmcki.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$\\triangle DBE \\sim \\triangle ABC$, $k = \\dfrac{DE}{AC} = \\dfrac{8}{20} = 0{,}4$, $BE = 15 \\cdot 0{,}4 = 6$.","$EC = BC-BE = 15-6 = 9$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Какие две фигуры подобны при любых размерах?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Два прямоугольника","Два ромба","Два квадрата","Два параллелограмма"],"explanations":["Углы равны, но стороны не обязаны быть пропорциональны ($2 \\times 3$ и $2 \\times 6$)","Стороны пропорциональны, но углы могут быть разными (ромб и квадрат)","","Не равны углы и не пропорциональны стороны в общем случае"],"answer":[2]}},"hints":["Для подобия нужны равные углы и пропорциональные стороны одновременно.","У квадратов углы всегда прямые, а стороны одного квадрата в одно и то же число раз отличаются от сторон другого."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Какие два треугольника подобны при любых размерах?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Два с равными периметрами","Два прямоугольных","Два равнобедренных","Два равносторонних"],"explanations":["Периметр не задает форму: стороны 3, 4, 5 и 4, 4, 4 имеют равные периметры","Прямой угол один, а острые могут быть разными, например $30^\\circ$ и $45^\\circ$","У равнобедренных углы при основании могут быть любыми, например $50^\\circ$ и $80^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Равносторонний треугольник всегда имеет углы по $60^\\circ$, значит, у двух таких треугольников углы равны, а стороны одного равны $a$, другого — $b$, и все отношения сторон равны $\\dfrac{b}{a}$."],"level":"повышенный"},{"id":"8","content":"Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен $ABC$ с $k = \\dfrac{A_1B_1}{AB} = 0{,}4$, $A_1B_1 = 6$. Найдите $AB$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Оригинал больше копии в $\\dfrac{1}{k}$ раз.","$AB = A_1B_1 : k = 6 : 0{,}4 = 15$."],"step":1},{"id":"8","content":"Треугольник $M_1N_1K_1$ подобен $MNK$ с $k = \\dfrac{M_1N_1}{MN} = 0{,}25$, $M_1N_1 = 3$. Найдите $MN$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Оригинал больше копии в $\\dfrac{1}{k}$ раз.","$MN = M_1N_1 : k = 3 : 0{,}25 = 12$."],"step":1},{"id":"9","content":"Решавр сравнил прямоугольники $2 \\times 3$ и $2 \\times 6$: «Углы равны, одна пара сторон 2 и 2, значит, $k = 1$, подобны». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Отношения сходственных сторон разные: $2 : 2 = 1$, а $6 : 3 = 2$","Прямоугольники нельзя сравнивать между собой","Нужно сравнить периметры","Углы прямоугольников не равны"],"explanations":["","Сравнивать можно: подобие определено для любых фигур, нужны равные углы и пропорциональные стороны","Равенство отношений периметров следует из подобия, но не доказывает его","Углы у любых двух прямоугольников равны, прямые"],"answer":[0]}},"hints":["Для подобия все пары сходственных сторон должны быть в одном отношении.","Здесь $2 : 2 = 1$, а $6 : 3 = 2$ — отношения разные, подобия нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр сравнил прямоугольники $3 \\times 4$ и $3 \\times 8$: «Углы прямые, одна пара сторон равна, значит, $k = 1$, подобны». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Прямоугольники нельзя сравнивать между собой","Углы прямоугольников не равны","Нужно сравнить диагонали","Отношения сходственных сторон разные: $3 : 3 = 1$, а $8 : 4 = 2$"],"explanations":["Сравнивать можно: подобие определено для любых фигур","Углы у любых двух прямоугольников равны, прямые","Диагонали пропорциональны только у подобных фигур; это следствие, а не проверка",""],"answer":[3]}},"hints":["Для подобия все пары сходственных сторон должны быть в одном отношении.","Здесь $3 : 3 = 1$, а $8 : 4 = 2$ — отношения разные, подобия нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В треугольниках $ABC$ и $MNK$ равны углы $A$ и $N$, $B$ и $K$, $C$ и $M$. Решавр записал $\\triangle ABC \\sim \\triangle MNK$. Как записать подобие верно?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\triangle ABC \\sim \\triangle MNK$","$\\triangle ABC \\sim \\triangle NMK$","$\\triangle ABC \\sim \\triangle NKM$","$\\triangle ABC \\sim \\triangle KNM$"],"explanations":["Так записано «по порядку букв»: тогда $A$ соответствует $M$, а равен ей угол $C$","Тогда $B$ соответствует $M$, а равен ему угол $C$","","Тогда $A$ соответствует $K$, а равен ей угол $B$"],"answer":[2]}},"hints":["Равным углам должны стоять одинаковые места: $A \\to N$, $B \\to K$, $C \\to M$.","Записываем вершины $\\triangle MNK$ в порядке $N, K, M$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В треугольниках $ABC$ и $PQR$ равны углы $A$ и $R$, $B$ и $Q$, $C$ и $P$. Решавр записал $\\triangle ABC \\sim \\triangle PQR$. Как записать подобие верно?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\triangle ABC \\sim \\triangle RQP$","$\\triangle ABC \\sim \\triangle PQR$","$\\triangle ABC \\sim \\triangle RPQ$","$\\triangle ABC \\sim \\triangle QRP$"],"explanations":["","Так записано «по порядку букв»: тогда $A$ соответствует $P$, а равен ей угол $C$","Тогда $B$ соответствует $P$, а равен ему угол $C$","Тогда $A$ соответствует $Q$, а равен ей угол $B$"],"answer":[0]}},"hints":["Равным углам должны стоять одинаковые места: $A \\to R$, $B \\to Q$, $C \\to P$.","Записываем вершины $\\triangle PQR$ в порядке $R, Q, P$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>