8 класс Геометрия Подобные треугольники Определение подобных треугольников

Подобные треугольники. Коэффициент подобия

Содержание

Равные треугольники совпадают при наложении — как рисунок и его копия на кальке. В уроке «Теорема Фалеса. Деление отрезка. Пропорциональные отрезки» вы узнали, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. В этом уроке разберем треугольники одной формы, но разного размера — подобные: введем коэффициент подобия, научимся находить сходственные стороны и докажем, что прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Копир меняет размер, но сохраняет форму

Со снимка размером 10 × 15 см нужно сделать фото на документ размером 3 × 4 см. Прямоугольники 10 × 15 и 3 × 4 разной формы: $10 : 3 \ne 15 : 4$. Почему же лицо на маленьком фото не становится ни уже, ни шире? Ответим в конце урока.

Начнем с копира. Положим на него лист с треугольником $ABC$, стороны которого 3, 4 и 5 см, и включим увеличение в 2 раза. На копии получится треугольник $A_1B_1C_1$ со сторонами 6, 8 и 10 см: каждая сторона ровно вдвое длиннее. Измерим углы транспортиром. У обоих треугольников угол между сторонами 3 и 4 (на копии — 6 и 8) прямой, а два других — примерно $37^\circ$ и $53^\circ$.

Треугольник ABC со сторонами 3, 4, 5 и его копия A1B1C1 со сторонами 6, 8, 10: все длины вдвое больше, углы те же — Копир с $k = 2$: каждая сторона выросла вдвое, а углы остались прежними — форма та же

Так работает любой копир с масштабом: все длины умножаются на одно и то же число, а углы не меняются. Треугольник и его копию называют подобными. Число, на которое умножаются длины, называют коэффициентом подобия и обозначают буквой $k$. Его находят делением стороны копии на соответствующую сторону оригинала: $k = \dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{6}{3} = 2$. Другие пары сторон дают то же число: $8 : 4 = 2$, $10 : 5 = 2$.

Важно

Коэффициент всегда записывают «копия к оригиналу»: $k = \dfrac{A_1B_1}{AB}$. При $k > 1$ копия больше оригинала, при $k < 1$ — меньше, при $k = 1$ получается копия на кальке, то есть равный треугольник. Если подобие записано $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $k$, то $k$ — отношение сторон первого треугольника к сходственным сторонам второго. Чтобы вернуться от копии к оригиналу, длину копии делят на $k$: отношение оригинала к копии равно $\dfrac{1}{k}$.

{"questions":[{"content":"Фотографию увеличили на копире в 2 раза без искажений. Что у фигур на фотографии осталось прежним?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Длины сторон","Величины углов","Периметр","Площадь"],"explanations":["Длины выросли в 2 раза, поэтому сторона стала другой","","Периметр складывается из длин сторон и тоже вырос в 2 раза","Площадь выросла в 4 раза, а не осталась прежней"],"answer":[1]}},"hints":["Копир увеличивает длины в одно и то же число раз.","Углы при этом не меняются: форма сохраняется.","Ответ: углы."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$, $AB = 8$, $A_1B_1 = 14$. Найдите коэффициент подобия $k = \\dfrac{A_1B_1}{AB}$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/j5ol84mwzhsb.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["1,75","1.75"]}},"hints":["Коэффициент — отношение стороны копии к сходственной стороне оригинала.","$k = 14 : 8 = 1{,}75$."],"step":1},{"content":"Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\\dfrac{A_1B_1}{AB} = 4$. Чему равно отношение $\\dfrac{AB}{A_1B_1}$? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,25","0.25","1/4"]}},"hints":["$AB$ в 4 раза меньше $A_1B_1$.","$\\dfrac{AB}{A_1B_1} = \\dfrac{1}{4} = 0{,}25$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

У подобных треугольников углы равны, а сходственные стороны пропорциональны

Копию можно положить на стол как угодно: повернуть и даже перевернуть. Тогда «верхняя» сторона копии уже не обязана соответствовать «верхней» стороне оригинала. Как узнать, какую сторону с какой сравнивать? Копир не меняет углов, поэтому ориентир — равные углы. Сторона, лежащая против угла $A$, на копии лежит против равного ему угла $A_1$.

Треугольник ABC и повернутая отраженная копия A1B1C1: сходственные стороны лежат против равных углов, одного цвета — Копия повернута, но против равных углов лежат стороны одного цвета: это сходственные стороны, их отношение равно $k$

Определение

Сходственные стороны двух треугольников — стороны, лежащие против равных углов.

Два треугольника подобны, если углы одного равны углам другого, а сходственные стороны пропорциональны. Подобие записывают знаком $\sim$. Запись $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ означает: $\angle A_1 = \angle A$, $\angle B_1 = \angle B$, $\angle C_1 = \angle C$ и

Число $k$ — коэффициент подобия.

Порядок букв в записи подобия несет смысл, как и в записи равенства треугольников: на одинаковых местах стоят вершины равных углов. Из записи $\triangle KLM \sim \triangle PRS$ сразу видно: $\angle K = \angle P$, $\angle L = \angle R$, $\angle M = \angle S$, а сходственны $KL$ и $PR$, $LM$ и $RS$, $KM$ и $PS$. Знак «$=$» здесь ставить нельзя: треугольники разного размера не равны.

Пример 1

Запись подобия можно читать с любой стороны: $\triangle PRS \sim \triangle KLM$ означает то же соответствие $P \to K$, $R \to L$, $S \to M$, что и $\triangle KLM \sim \triangle PRS$. Известно, что $\triangle PRS \sim \triangle KLM$, $KL = 5$, $LM = 7$, $KM = 8$, $PR = 7{,}5$. Найдите $RS$ и $PS$.

Решение. По записи $P \to K$, $R \to L$, $S \to M$, поэтому $PR$ сходственна $KL$, $RS$ — стороне $LM$, $PS$ — стороне $KM$. Коэффициент: $k = \dfrac{PR}{KL} = \dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$. Тогда $RS = 7 \cdot 1{,}5 = 10{,}5$, $PS = 8 \cdot 1{,}5 = 12$.

Ответ: $RS = 10{,}5$, $PS = 12$.

Ошибка

В треугольниках $ABC$ и $DEF$ равны углы: $\angle A = \angle E$, $\angle B = \angle F$, $\angle C = \angle D$. Стороны: $AB = 4$, $BC = 6$, $AC = 5$, $DE = 10$, $EF = 8$, $FD = 12$. Решавр пишет «по порядку букв»: $\triangle DEF \sim \triangle ABC$, и считает $k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$.

Проверка на числах. Если запись верна, остальные пары дадут то же отношение. Но $\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{8}{6} \approx 1{,}33$, а $\dfrac{FD}{AC} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ — три разных числа.

Где ошибка. Порядок букв выбран без взгляда на углы. Равны углы $A$ и $E$, значит, на месте $A$ должна стоять $E$: $\triangle EFD \sim \triangle ABC$. Теперь сходственные стороны лежат против равных углов: $\dfrac{EF}{AB} = \dfrac{FD}{BC} = \dfrac{ED}{AC} = 2$.

Ошибка по порядку букв: пара AB и DE даёт 2,5, а пары против равных углов дают одно число 2 — «По порядку букв» сторона $AB$ попала в пару к $DE$, хотя против равных углов $C$ и $D$ лежат $AB$ и $EF$

{"questions":[{"content":"Известно, что $\\triangle ABC \\sim \\triangle MNK$. Какая сторона треугольника $MNK$ сходственна стороне $BC$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$MN$","$MK$","$NK$","Любая сторона"],"explanations":["$MN$ соответствует стороне $AB$, а не $BC$","$MK$ соответствует стороне $AC$","","Порядок букв в записи подобия уже задает, какая сторона какой сходственна"],"answer":[2]}},"hints":["Порядок букв в записи подобия задает соответствие вершин: $A \\to M$, $B \\to N$, $C \\to K$.","Стороне $BC$ соответствует $NK$.","Ответ: $NK$."],"step":1},{"content":"В треугольниках $ABC$ и $PQR$ равны углы: $\\angle A = \\angle Q$, $\\angle B = \\angle R$, $\\angle C = \\angle P$. Сопоставьте каждой стороне треугольника $ABC$ сходственную ей сторону треугольника $PQR$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AB$","$BC$","$AC$"],"items":["$QR$","$PR$","$PQ$"]}},"hints":["Сходственные стороны лежат против равных углов. Против угла $A$ лежит сторона $BC$, против угла $Q$ — сторона $PR$.","Против угла $B$ лежит $AC$, против угла $R$ — $PQ$; против угла $C$ лежит $AB$, против угла $P$ — $QR$.","Ответ: $AB$ — $QR$, $BC$ — $PR$, $AC$ — $PQ$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]На рисунке равны углы $A$ и $K$, $B$ и $M$, $C$ и $N$. Решавр записал $\\triangle MNK \\sim \\triangle ABC$ «по порядку букв» и взял $k = \\dfrac{MN}{AB}$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gzloep7vnmyz.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: порядок букв в записи ничего не значит","Подобие нельзя записывать, пока не измерены все стороны","Запись верна, но коэффициент нужно считать как $\\dfrac{AB}{MN}$","Запись должна быть $\\triangle KMN \\sim \\triangle ABC$: $AB$ сходственна $KM$, а $MN$ — $BC$"],"explanations":["Порядок букв как раз показывает, какие вершины и стороны соответствуют друг другу","Записать подобие можно по равным углам; длины сторон нужны только чтобы найти $k$","Запись неверна: $MN$ в ней оказывается сходственной $AB$, хотя равны углы $A$ и $K$, а не $A$ и $M$",""],"answer":[3]}},"hints":["В записи подобия порядок букв задает соответствие: равным углам должны стоять одинаковые места.","Углам $A$, $B$, $C$ равны $K$, $M$, $N$, значит, верно $\\triangle KMN \\sim \\triangle ABC$.","Сторона $AB$ сходственна $KM$, а $MN$ — стороне $BC$; $k = \\dfrac{KM}{AB}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Периметр копии меняется во столько же раз, что и стороны

Вернемся к треугольнику $3$–$4$–$5$ и его копии $6$–$8$–$10$. Периметр оригинала $3 + 4 + 5 = 12$ см, копии — $6 + 8 + 10 = 24$ см, ровно вдвое больше. Это не случайность: каждое слагаемое выросло в $k$ раз, значит, и сумма тоже.

Теорема

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

Почему верно. Стороны копии равны $ka$, $kb$, $kc$, поэтому $P_1 = ka + kb + kc = k(a + b + c) = kP$.

Пример 2

Стороны треугольника равны 4, 5 и 7 см. Найдите периметр подобного ему треугольника с коэффициентом $k = 1{,}5$.

Решение. Периметр оригинала: $4 + 5 + 7 = 16$ см. Периметр копии: $16 \cdot 1{,}5 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

Теорему можно читать и в обратную сторону: если известны периметры подобных треугольников, то коэффициент подобия равен их отношению, $k = \dfrac{P_1}{P}$.

Площадь меняется иначе — в $k^2$ раз; подробно — в уроке о площадях подобных треугольников.

kopir-masshtab

{"questions":[{"content":"Треугольник со сторонами 6, 8 и 11 см уменьшили: получили подобный ему треугольник с коэффициентом $k = 0{,}6$. Найдите периметр нового треугольника в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Каждая сторона нового треугольника равна стороне исходного, умноженной на $k$, поэтому и периметр умножается на $k$.","Периметр исходного треугольника: $6 + 8 + 11 = 25$ см.","Периметр нового: $25 \\cdot 0{,}6 = 15$ см."],"step":1},{"content":"Периметры подобных треугольников равны 24 и 36. Сторона меньшего равна 8. Найдите сходственную ей сторону большего треугольника. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Периметры относятся как $k$: $k = 36 : 24 = 1{,}5$.","Сторона большего: $8 \\cdot 1{,}5 = 12$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Прямая, параллельная стороне, отсекает от треугольника его копию

В треугольнике $ABC$ проведем прямую, параллельную стороне $AC$. Она пересечет стороны $BA$ и $BC$ в точках $D$ и $E$. Маленький треугольник $DBE$ похож на уменьшенную копию треугольника $ABC$, приложенную к вершине $B$. Проверим это по определению: нужны равные углы и пропорциональные стороны.

Прямая DE, параллельная AC, отсекает от треугольника ABC треугольник DBE, подобный ABC; через параллелограмм DFCE равны DE и FC — Слева: при $DE \parallel AC$ углы треугольников $DBE$ и $ABC$ равны. Справа: прямая $DF \parallel BC$ дает параллелограмм $DFCE$ и третье отношение сторон

Теорема

Прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному: если в треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $BA$, точка $E$ — на стороне $BC$ и $DE \parallel AC$, то

Доказательство

Углы. Угол $B$ общий. $\angle BDE = \angle BAC$ и $\angle BED = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущих $BA$ и $BC$.

Две пары сторон. Проведем через $B$ прямую, параллельную $AC$. Три параллельные прямые отсекают на сторонах угла $B$ отрезки $BD$, $DA$ и $BE$, $EC$, и по теореме о пропорциональных отрезках $\dfrac{BD}{DA} = \dfrac{BE}{EC}$. Отрезок $BA$ состоит из тех же частей $BD$ и $DA$, как и $BC$ из $BE$ и $EC$, поэтому $\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{BE}{BC}$.

Третья пара. Проведем через $D$ прямую $DF \parallel BC$, $F$ — на стороне $AC$. Через $A$ проведем прямую, параллельную $BC$: для угла $A$ и параллельных прямых $DF$ и $BC$ та же теорема дает $\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AD}{AB}$, значит, $\dfrac{FC}{AC} = \dfrac{BD}{BA}$. В четырехугольнике $DFCE$ противоположные стороны параллельны, это параллелограмм, поэтому $DE = FC$ и $\dfrac{DE}{AC} = \dfrac{BD}{BA}$.

Вывод. Углы равны, три отношения сходственных сторон равны, значит, $\triangle DBE \sim \triangle ABC$ по определению.

Почему теоремой о пропорциональных отрезках можно пользоваться при любых длинах

Скрыть

В уроке «Теорема Фалеса» теорема доказана, когда отрезки на стороне угла делятся на равные части, например $BD = 2$ части и $BA = 5$ таких же частей. Докажем общий случай: $\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{BE}{BC}$ при $DE \parallel AC$ для любых длин.

Разделим $BA$ на $n$ равных частей и проведем через точки деления прямые, параллельные $AC$. По уже доказанному они делят и $BC$ на $n$ равных частей. Пусть $BD$ содержит $m$ целых частей и еще остаток, меньший одной части. Тогда и $BE$ содержит $m$ целых частей и остаток, меньший одной части, Точка $D$ лежит между $m$-й и $(m+1)$-й точками деления $BA$. Прямая $DE$ параллельна прямым через эти точки и лежит между ними, поэтому $E$ лежит между $m$-й и $(m+1)$-й точками деления $BC$. Значит, оба отношения $\dfrac{BD}{BA}$ и $\dfrac{BE}{BC}$ лежат между $\dfrac{m}{n}$ и $\dfrac{m+1}{n}$, и при любом $n$ они отличаются меньше чем на $\dfrac{1}{n}$. Число $n$ можно взять сколь угодно большим, поэтому разность равна нулю и отношения равны.

Вы уже встречали частный случай этой теоремы. Средняя линия $MN$ треугольника $ABC$ параллельна стороне $AC$ (урок «Средняя линия треугольника»), поэтому она отсекает копию с коэффициентом $k = \dfrac{BM}{BA} = \dfrac{1}{2}$. Отсюда снова $MN = \dfrac{1}{2} AC$.

Пример 3

В треугольнике $ABC$ прямая $DE \parallel AC$, точка $D$ на стороне $BA$, точка $E$ на стороне $BC$, $BD = 3$, $DA = 6$, $AC = 12$, $BC = 15$. Найдите $DE$ и $EC$.

Решение. По теореме $\triangle DBE \sim \triangle ABC$. Коэффициент — отношение сторон треугольников: $BA = 3 + 6 = 9$, $k = \dfrac{BD}{BA} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$. Тогда $DE = 12 \cdot \dfrac{1}{3} = 4$, $BE = 15 \cdot \dfrac{1}{3} = 5$, $EC = 15-5 = 10$.

Частая ошибка — взять $k = \dfrac{BD}{DA} = \dfrac{1}{2}$ и получить $DE = 6$. Отрезок $DA$ — не сторона треугольника $DBE$ и не сторона $ABC$, а только часть стороны.

Ответ: $DE = 4$, $EC = 10$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $AB$, точка $E$ — на стороне $BC$, $DE \\parallel AC$. Какое подобие верно?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/isin95obmcki.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\triangle DBE \\sim \\triangle ABC$","$\\triangle DBE \\sim \\triangle BAC$","$\\triangle ADE \\sim \\triangle ABC$","$\\triangle DBE \\sim \\triangle CBA$"],"explanations":["","Здесь вершине $B$ соответствует $A$, а общий угол $B$ у треугольников одинаковый","$E$ лежит на $BC$, а не на $AC$, поэтому угол $DAE$ не совпадает с углом $BAC$; равных углов из условия не следует","Вершине $D$ тогда соответствует $C$, но равны углы $D$ и $A$"],"answer":[0]}},"hints":["Угол $B$ общий; $\\angle BDE = \\angle BAC$ как соответственные при $DE \\parallel AC$.","Вершине $D$ соответствует $A$, вершине $E$ — $C$.","Ответ: $\\triangle DBE \\sim \\triangle ABC$."],"step":1},{"content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ проведена $DE \\parallel AC$, $D \\in AB$, $E \\in BC$, $BD = 4$, $DA = 2$, $AC = 15$. Найдите $DE$. [[input-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/isin95obmcki.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$BA = BD + DA = 6$, $\\triangle DBE \\sim \\triangle ABC$, $k = \\dfrac{BD}{BA} = \\dfrac{4}{6} = \\dfrac{2}{3}$.","$DE = AC \\cdot k = 15 \\cdot \\dfrac{2}{3} = 10$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $AC$, точка $E$ — на стороне $BC$, $DE \\parallel AB$. Расставьте шаги доказательства того, что $\\triangle CDE \\sim \\triangle CAB$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Проведем $DF \\parallel BC$, $F \\in AB$. В четырехугольнике $DFBE$ противоположные стороны параллельны, это параллелограмм, поэтому $DE = FB$","Для угла $A$ и параллельных прямых $DF$ и $CB$ по теореме о пропорциональных отрезках $\\dfrac{AF}{AB} = \\dfrac{AD}{AC}$, значит, $\\dfrac{FB}{AB} = \\dfrac{CD}{CA}$","Отсюда $\\dfrac{DE}{AB} = \\dfrac{CD}{CA}$, а для угла $C$ та же теорема дает $\\dfrac{CE}{CB} = \\dfrac{CD}{CA}$: три отношения сторон равны","Вместе с равными углами ($C$ общий, $\\angle CDE = \\angle CAB$ и $\\angle CED = \\angle CBA$ как соответственные при $DE \\parallel AB$) получаем $\\triangle CDE \\sim \\triangle CAB$"]}},"hints":["Третье отношение сторон без вспомогательной прямой не получить: сначала нужна точка $F$.","Теорема о пропорциональных отрезках для угла $A$ дает $\\dfrac{FB}{AB}$, а параллелограмм $DFBE$ — равенство $DE = FB$; вместе это $\\dfrac{DE}{AB}$.","Порядок: построение $DF$ и параллелограмм → теорема для угла $A$ → три равных отношения → равные углы и вывод о подобии."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Пропорциональных сторон мало: копия сохраняет и углы

В определении подобия два условия: равные углы и пропорциональные стороны. Нужны ли оба? Проверим.

Ошибка

Решавр рассуждает: «У ромба со стороной 5 и углом $60^\circ$ и квадрата со стороной 10 все стороны относятся как $10 : 5 = 2$. Значит, фигуры подобны с коэффициентом 2».

Проверка. Будь квадрат копией ромба, его углы были бы такими же: $60^\circ$ и $120^\circ$. А у квадрата все углы по $90^\circ$. Копир не превращает угол $60^\circ$ в прямой.

Где ошибка. Проверено только одно условие из двух. Для подобия нужны и пропорциональные стороны, и равные углы.

Ромб со стороной 5 и квадрат со стороной 10: стороны пропорциональны, а углы 60° и 90° разные, поэтому фигуры не подобны — Стороны пропорциональны ($k = 2$), но углы $60^\circ$ и $90^\circ$ различны — ромб и квадрат не подобны

Бывает и наоборот. У прямоугольников $2 \times 3$ и $2 \times 6$ все углы прямые, но $2 : 2 = 1$, а $6 : 3 = 2$. Второй прямоугольник растянут только в одном направлении, а копир меняет все длины в одно и то же число раз. Эти прямоугольники тоже не подобны.

Прямоугольники 2 на 3 и 2 на 6: углы равны, но отношения сторон 1 и 2 разные, значит не подобны — Углы равны, но отношения сторон разные: $2 : 2 = 1$ и $6 : 3 = 2$ — прямоугольники не подобны

С треугольниками так не бывает. Если углы двух треугольников равны, то их стороны пропорциональны, и наоборот: если стороны пропорциональны, то и углы равны. Поэтому для треугольников достаточно проверить меньше условий, чем требует определение. Какие именно — разберем в уроке «Признаки подобия треугольников».

Теперь ответим на вопрос из начала урока. Из снимка вырезают участок $10 \times 13{,}3$ с отношением сторон $3 : 4$ (лишняя полоска отрезается) и уменьшают его с коэффициентом $k = 0{,}3$: получается $3 \times 4$ см, а лицо на нем — точная уменьшенная копия лица. Рамка $3 \times 4$ не подобна рамке $10 \times 15$, как прямоугольники $2 \times 3$ и $2 \times 6$, но лицо внутри не искажено. Если бы снимок сразу сжали до $3 \times 4$, ширину умножили бы на $0{,}3$, а высоту — на $\dfrac{4}{15} \approx 0{,}27$. Множители разные, это уже не подобие: лицо стало бы приплюснутым.

Снимок 10 на 15 уменьшили в 0,3 раза до 3 на 4,5, затем обрезали до 3 на 4; сразу сжать до 3 на 4 нельзя: лицо приплюснется — Уменьшение с $k = 0{,}3$ и обрезка сохраняют лицо; сжатие сразу до $3 \times 4$ меняет его форму

{"questions":[{"content":"Решавр сравнил ромб со стороной 3 и углом $60^\\circ$ и квадрат со стороной 6: «Каждая сторона квадрата в 2 раза длиннее стороны ромба, значит, фигуры подобны, $k = 2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сравнивать нужно периметры, а не стороны","Углы не равны: у ромба $60^\\circ$ и $120^\\circ$, у квадрата $90^\\circ$","Коэффициент равен $3 : 6$, а не $6 : 3$","Ошибки нет: квадрат — тоже ромб"],"explanations":["Периметры 12 и 24 тоже относятся как 2, но это не помогает: у копии ромба углы $60^\\circ$ и $120^\\circ$, а у квадрата $90^\\circ$","","Если считать копией ромб, то $k = \\dfrac{1}{2}$, но и тогда углы $60^\\circ$ и $90^\\circ$ не равны: ошибка не в числе","Квадрат — ромб с прямыми углами, а у этого ромба угол $60^\\circ$; копир углы не меняет, поэтому квадрат не копия этого ромба"],"answer":[1]}},"hints":["Подобная фигура — копия: длины в ней изменены в одно и то же число раз, а углы те же.","Отношения сторон одинаковы: $6 : 3 = 2$. Но у ромба углы $60^\\circ$ и $120^\\circ$, а у квадрата все углы по $90^\\circ$.","Ответ: углы не равны, поэтому фигуры не подобны."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите пары фигур по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Подобны всегда","Могут быть не подобны"],"items":[["Два квадрата","Два равносторонних треугольника"],["Два ромба","Два прямоугольника","Два равнобедренных треугольника"]]}},"hints":["Подобие — копия: углы те же, и все сходственные стороны изменены в одно и то же число раз.","У любых двух квадратов углы по $90^\\circ$, у любых двух равносторонних треугольников — по $60^\\circ$, а все стороны одной фигуры отличаются от сторон другой в одно и то же число раз.","У ромбов углы бывают разными, у прямоугольников $2 \\times 3$ и $2 \\times 6$ разные отношения сторон, у равнобедренных треугольников углы при основании могут быть $40^\\circ$ и $70^\\circ$.","Ответ: подобны всегда — два квадрата и два равносторонних треугольника; могут быть не подобны — два ромба, два прямоугольника, два равнобедренных треугольника."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Подобные треугольники — это треугольник и его копия, сделанная копиром с масштабом. Это нужно в задачах на чертежи, карты и модели, а дальше — для признаков подобия, площадей, теоремы Пифагора и измерения высоты по тени. Чтобы быстро вспомнить главное, представьте копир:

Еще задачи на пропорциональные отрезки разобраны в уроке «Подобные треугольники. Пропорциональные отрезки».

Часто задаваемые вопросы

Чем подобные треугольники отличаются от равных?

Равные треугольники совпадают при наложении, у подобных совпадают только углы, а стороны отличаются в $k$ раз. Равенство — частный случай подобия с $k = 1$: копия на кальке.

Как найти сходственные стороны, если второй треугольник повернут или перевернут?

Не смотрите на расположение на чертеже. Найдите пары равных углов: сторона, которая лежит против угла $A$, сходственна стороне, лежащей против равного ему угла. Если подобие уже записано, соответствие видно по местам букв.

Нужно ли проверять и углы, и стороны?

Для четырехугольников и других многоугольников — да: у ромба и квадрата стороны пропорциональны, а углы разные. Для треугольников одно условие влечет другое, поэтому хватает меньшей проверки — это признаки подобия, они разобраны в следующем уроке.

Во сколько раз меняется площадь подобного треугольника?

В $k^2$ раз: при $k = 2$ площадь копии в 4 раза больше. Причина — в формуле площади две длины, и каждая умножается на $k$. Подробно об этом — в уроке о площадях подобных треугольников.

Награды за урок