Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости имеются прямая $a$ точка $F\notin{a}$. Из точки $F$ к прямой $a$ можно провести сколь угодно много отрезков. Длина какого из них будет минимальна? Для того, чтобы из возможного множества отрезков выбрать необходимый, нужно задать понятие «расстояние от точки до прямой».   

В завершающем уроке раздела мы:

— дадим определение наклонной прямой;
— рассмотрим, что такое расстояние от точки до прямой;
— узнаем, как определить расстояние между параллельными прямыми.

Расстояние от точки до прямой — определение

При изучении основ геометрии мы доказали теорему о единственности перпендикуляра — о том, что через каждую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.

Пусть $FD$ — такая прямая с условием $FD\perp{a}$. Из этого следует, что любая другая прямая, проходящая через $F$ и пересекающая $a$, будет образовывать с $a$ угол, отличный от $90^\circ$.

Отметим на $a$ произвольную точку $M$ так, чтобы $M\neq{D}$. Получившийся треугольник $\bigtriangleup{MDF}$ будет прямоугольным, где $FD$ — катет, а $FM$ — гипотенуза.

Как мы установили ранее, по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника всякая гипотенуза всегда больше всякого катета. Таким образом, если к прямой из одной точки провести несколько отрезков, наименьшим по длине будет тот, что образует прямой угол с прямой, то есть перпендикуляр. Его длина и будет считаться расстоянием от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного от точки к данной прямой.  

Расчет на клетчатой бумаге

Задача. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 отмечены точки $A$, $B$ и прямая, проходящая через $B$. Определить по чертежу расстояние от точки $A$ до данной прямой.

Решение. Опустим перпендикуляр от точки $A$ к прямой, проходящей через $B$. Полученный отрезок выразим в указанном масштабе. Итого расстояние будет равняться $5$ единицам.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На клетчатой бумаге масштаба $1,5~см$ x $1,5~см$ отмечены точки $A$ и $B$. Определите расстояние от точки $A$ до прямой, проходящей через $B$, и выразите его в <i><b>миллиметрах</b></i>.[[input-9]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/AB-test-checkered.svg"},"input-9":{"type":"input","unit":"$мм$","answer":"45"}},"step":1,"calc":1,"hints":["Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра. Обозначим его как $AD$.","Масштаб бумаги — $1,5~см$ x $1,5~см$. Тогда: <br />$$AD=3*1,5=4,5~см$$","Чтобы выразить длину в миллиметрах, умножим полученное значение на $10$.","$AD=4,5*10=45~мм$"]}]}

Определение наклонной прямой

Вернемся к треугольнику $\bigtriangleup{MDF}$.

Прямая, отличная от перпендикуляра и при этом проходящая через точку к данной прямой, в геометрии называется наклонной. Точка пересечения наклонной с данной прямой, как и точка конца перпендикуляра, называется основанием.  

Дадим более строгое определение наклонной прямой:

Наклонная — отрезок, пересекающий другую прямую и не перпендикулярный к ней.

Перпендикуляр и наклонная. К прямой можно провести сколь угодно наклонных и только одну прямую, перпендикулярную к ней. Длина всякой наклонной всегда больше, чем перпендикуляра.

{
    "questions": [
        {
            "content": "<script data-minify="1" src='https://obrazavr.ru/wp-content/cache/min/1/@lottiefiles/lottie-player@latest/dist/lottie-player.js?ver=1743319105' data-rocket-defer defer></script><br /><lottie-player src=\"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/SQ-animation-v1.json\" background=\"transparent\" speed=\"1\" style=\"max-width: 100%;height: auto;\" autoplay=\"\"></lottie-player>Даны прямая $b$, точки $P$, $S$, $Q$ так, что $S\\in{b}$ и $Q\\in{b}$. Из точки $P$ проведены наклонная и перпендикуляр. <br /><br /><i>Запишите ниже их буквенное обозначение согласно чертежу</i>. <br /><br />Наклонная: [[input-1]]<br />Перпендикуляр: [[input-6]]",
            "widgets": {
                "input-1": {
                    "type": "input",
                    "inline": 1,
                    "answer": [
                        "PQ",
                        "QP"
                    ]
                },
                "input-6": {
                    "type": "input",
                    "inline": 1,
                    "answer": [
                        "PS",
                        "SP"
                    ]
                }
            }
        }
    ]
}

Свойство точек параллельных прямых

Представим, что Вообразавр и Три находятся на параллельных друг другу мостах. Вообразавр начинает двигаться из точки старта вперед, пока не доходит до места, откуда хорошо видит Три. Вопрос: изменится ли расстояние между мостами?

Будут ли мосты все так же равноудалены друг от друга при замере расстояния между мостами от точки старта ($\textcolor{purple}{x}$) и от точки, где остановился Вообразавр ($\textcolor{coral}{x_1}$)?

Сформулируем его в виде теоремы и докажем:

Свойство точек параллельных прямых. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство

Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$. Пусть точка $A\in{a}$. Проведем из точки $A$ перпендикуляр к прямой $b$ и отметим основание перпендикуляра как $B$. Отметим произвольную точку $X\in{a}$ и опустим из нее перпендикуляр к $b$ с основанием $C$.

Докажем, что свойство точек параллельных прямых истинно в любой точке, для чего достаточно доказать равенство отрезков $AB$ и $XC$.

Так как $X\perp{b}$, то $X\perp{a}$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{XCA}$. Они равны по гипотенузе и острому углу: в них $AC$ — общая гипотенуза, а углы $\angle{BCA}$ и $\angle{XAC}$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $AC$.

Из этого следует равенство катетов:

$$AB=XC$$

Свойство точек параллельных прямых истинно в любой точке. Что и требовалось доказать.

Расстояние между двумя параллельными прямыми

Поскольку расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой, то мы можем определить расстояние между параллельными прямыми как длину перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной прямой, к другой прямой.

Удобно связать меж собой определение расстояния между параллельными прямыми и определение расстояния от точки до прямой:

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Рассмотрим свойство точек параллельных прямых «наоборот». Пусть нам даны прямые $a$ и $b$, но при этом неизвестно, являются ли они параллельными. <br /><br /><i>Иными словами, возможно ли заключить, что $a\\parallel{b}$, если расстояние от двух произвольных точек до прямой одно и то же?</i> [[choice-9]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/reverse-proof.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["Если все точки каждой из двух прямых равноудалены от другой прямой, то такие прямые параллельны. Почему бы и нет?","Нет, данных для заключения параллельности недостаточно."],"explanations":["Мыслите верно! <br /><br />Попробуйте доказать это самостоятельно. Делитесь своими доказательствами в комментариях к уроку.",""],"answer":[0]}}}]}