Расстояние от точки до прямой
Пусть на плоскости имеются прямая $a$ точка $F\notin{a}$. Из точки $F$ к прямой $a$ можно провести сколь угодно много отрезков. Длина какого из них будет минимальна? Для того, чтобы из возможного множества отрезков выбрать необходимый, нужно задать понятие «расстояние от точки до прямой».
В сегодняшнем уроке мы узнаем, что такое наклонная прямая и расстояние от точки до прямой, а также узнаем, как определить расстояние между параллельными прямыми.
Расстояние от точки до прямой
При изучении основ геометрии мы доказали теорему о единственности перпендикуляра — о том, что через каждую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
Пусть $FD$ — такая прямая с условием $FD\perp{a}$.
Из этого следует, что любая другая прямая, проходящая через $F$ и пересекающая $a$, будет образовывать с $a$ угол, отличный от $90^\circ$.
Отметим на $a$ произвольную точку $M$ так, чтобы $M\neq{D}$. Получившийся треугольник $\bigtriangleup{MDF}$ будет прямоугольным, где $FD$ — катет, а $FM$ — гипотенуза.
Как мы установили ранее, по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника всякая гипотенуза всегда больше всякого катета.
Таким образом, если к прямой из одной точки провести несколько отрезков, наименьшим по длине будет тот, что образует прямой угол с прямой, то есть перпендикуляр. Его длина и будет считаться расстоянием от точки до прямой.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного от точки к данной прямой.
Расчет на клетчатой бумаге
Задача
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 отмечены точки $A$, $B$ и прямая, проходящая через $B$.
Определите по чертежу расстояние от точки $A$ до данной прямой.
Решение:
Опустим перпендикуляр от точки $A$ к прямой, проходящей через $B$. Полученный отрезок выразим в указанном масштабе.
Итого расстояние будет равняться $5$ единицам.
Определение наклонной прямой
Вернемся к треугольнику $\bigtriangleup{MDF}$.
Прямая, отличная от перпендикуляра и при этом проходящая через точку к данной прямой, в геометрии называется наклонной.
Точка пересечения наклонной с данной прямой, как и точка конца перпендикуляра, называется основанием. Дадим более строгое определение наклонной прямой:
Наклонная — отрезок, пересекающий другую прямую и не перпендикулярный к ней.
Перпендикуляр и наклонная. К прямой можно провести сколь угодно наклонных и только одну прямую, перпендикулярную к ней. Длина всякой наклонной всегда больше, чем перпендикуляра.
Свойство точек параллельных прямых
Представим, что Вообразавр и Иксератопс находятся на параллельных друг другу мостах.
Вообразавр начинает двигаться из точки старта вперед, пока не доходит до места, откуда хорошо видит Иксератопса. Вопрос: изменится ли расстояние между мостами?
Будут ли мосты все так же равноудалены друг от друга при замере расстояния между мостами от точки старта ($\textcolor{purple}{x}$) и от точки, где остановился Вообразавр ($\textcolor{coral}{x_1}$)?
Задействуем логику: раз мосты параллельны, то, где бы мы ни замеряли расстояние, значения $x$ и $x_1$ будут одними и теми же. Это — свойство точек параллельных прямых. Сформулируем свойство точек параллельных прямых в виде теоремы и докажем:
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$. Пусть точка $A\in{a}$. Проведем из точки $A$ перпендикуляр к прямой $b$ и отметим основание перпендикуляра как $B$.
Отметим произвольную точку $X\in{a}$ и опустим из нее перпендикуляр к $b$ с основанием $C$.
Докажем, что свойство точек параллельных прямых истинно в любой точке, для чего достаточно доказать равенство отрезков $AB$ и $XC$.
Так как $X\perp{b}$, то $X\perp{a}$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{XCA}$.
Они равны по гипотенузе и острому углу: в них $AC$ — общая гипотенуза, а углы $\angle{BCA}$ и $\angle{XAC}$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $AC$.
Из этого следует равенство катетов: $AB=XC$. Свойство точек параллельных прямых истинно в любой точке. Что и требовалось доказать.
Расстояние между двумя параллельными прямыми
Действительно, Вообразавр как точка, двигаясь по своему мосту, все время находился на одном и том же расстоянии от второго моста.
Теперь мы можем привести в доказательство своих логических обоснований свойство точек параллельных прямых.
Поскольку расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой, то мы можем определить расстояние между параллельными прямыми как длину перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной прямой, к другой прямой.
Удобно связать меж собой определение расстояния между параллельными прямыми и определение расстояния от точки до прямой:
Расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
Часто задаваемые вопросы
Верно. Это одно из важных свойств перпендикуляра: он всегда является кратчайшим расстоянием от точки до прямой, в то время как наклонная линия будет длиннее.
Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от прямой и находящиеся на равном расстоянии от неё, лежат на прямой, параллельной данной.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти