Точка и прямая на плоскости
Каждая геометрическая фигура, даже самая замысловатая, как, например, линейная сфера на изображении выше, раскладывается на точки и прямые. Если вы ознакомились с уроком из введения про аксиоматический метод, можно провести следующую параллель: как клубочек любой теоремы разматывается до аксиом, так и фигуры полностью «разбираются» до точек и прямых.
Они в некотором роде представляют собой набор деталей конструктора Лего, из которого можно собирать разнообразные предметы. Иными словами, все, что вам нужно для «строительства» в геометрии, — это точка, прямая и плоскость, где размещать «предметы».
Что такое плоскость в геометрии?
Аналогия с конструктором-игрушкой, на самом деле, очень сподручна. И мы воспользуемся ей еще раз для того, чтобы рассмотреть, что такое плоскость в геометрии. Положим, вы купили набор в стиле «собери домик». Казалось бы, первым делом вы осмотрите схему сборки и детали. Однако… это не так. Первым делом вы освободите себе место на полу, где будет идти жилстроительство.
Определим плоскость математически:
Плоскость — двухмерная поверхность, к которой принадлежат все геометрические фигуры.
Тем не менее, для правильного понимания, что такое плоскость в геометрии, сравнение «как место на полу» не стоит воспринимать буквально. Место на полу имеет физические ограничения. К тому же оно реально, — вы можете прикоснуться к поверхности пола в любой момент.
Давайте сравним. Плоскость в геометрии:
- Абстрактна. Ее нельзя так же явственно представить, как реальный физический объект. Например, яблоко. Вы не можете ее сфотографировать или нарисовать.
- Двухмерна. Построенный на плоскости пола домик из игрушечного набора является трехмерным. Плоскость в планиметрии задает фигуры без объема. Условно говоря, лишь их «очертания».
- Не поддается измерению. Плоскость в геометрии нельзя измерить в длину или ширину как поверхность пола. Она бесконечна, она просто существует.
Абстрактные плоскости!
Вроде бы геометрические фигуры являются конкретными объектами мира, но вот начальная их стадия изучения, выходит, привязана к абстракциям. Просто помните, что во многом абстракция — это идея, и у идей нет формы. Задумайтесь: вся математика является воображаемой, ведь числа в действительности тоже не существует.
Число мы придумали как абстракцию, которая оказалась очень удобной для описания физически существующего. Плоскость в геометрии — еще одна удобная математическая идея, чтобы представить место, где бы располагались фигуры. Плоскость не в пример полу идеально ровная и идеально бесконечная. В общем-то наука полна абстрактных идей. Даже физика не исключение.
Точка и прямая в геометрии
Мы неспроста часто упоминаем в уроке комментарий «в геометрии». Выше, например, мы говорили про плоскость в геометрии. Сейчас — про точки и прямые в геометрии. Все дело в том, что наше бытовое понимание терминов «точка, прямая, плоскость» разительно отличается от геометрического. Будьте внимательны и осторожны в том, что на самом деле понимается под терминами!
На плоскости основными геометрическими фигурами являются точка и прямая. Рассмотрим, как они изображаются и обозначаются. На чертеже вы видите прямые $a$ и $b$ и точки $A$ и $B$. Плоскость в геометрии никак не обозначается — мы просто подразумеваем ее существование.
Свойства точки в геометрии:
- Обозначается прописными буквами латинского алфавита $A$, $B$, $C$ … $Z$.
- Неделимый фундаментальный объект геометрии.
- Не имеет измерительных характеристик (к примеру, длины или площади).
Свойства прямой в геометрии:
- Обозначается строчными буквами латинского алфавита $a$, $b$, $c$ … $z$.
- Фундаментальный объект геометрии, состоящий из точек.
- Бесконечно простирается в обе стороны на плоскости, при этом не имеет ширины.
Размер точки
Возьмите лист бумаги, толстый маркер и остро отточенный карандаш. Отметьте на листе пишущими принадлежностями две точки. Теперь подумайте: если смотреть на точки геометрически, будет ли между ними разница? А вот и нет. И все потому, что размер точки в геометрии не определен.
Точку можно мысленно представить как координату на плоскости, словно вы тыкаете в некоторое место пальцем. Размер точки не имеет значения. Главное, куда вы «тыкнули».
Не обозначен, не задан и так далее — про размер точки выразиться можно по-разному. Попробуйте подумать про круг с радиусом, уменьшающимся настолько, что круг в итоге становится бесконечно малым. Да, верно: точка в геометрии — очередная абстракция, как и плоскость. Прямая тоже, поскольку нигде не гнется, не имеет ширины и обладает бесконечной длиной.
Принадлежность точки прямой
Определимся, как выражать принадлежность точки прямой. Для этого рассмотрим на плоскости точки $C$, $D$, $F$, $G$ и прямые $a$, $b$. Точки $C$ и $D$ лежат на прямой $a$. Точка $G$ лежит на прямой $b$. С другой стороны, точки $F$ и $G$ не лежат на прямой $a$. То же самое можно сказать про точки $C$, $D$ и $F$ — они не лежат на прямой $b$.
Математические символы
Принадлежность точки прямой обозначается символом «$\in$» и читается как «принадлежит». Например, $A\in{a}$ — «точка $A$ принадлежит прямой $a$». Для отсутствия принадлежности используется перечеркнутый символ «$\notin$». Например, $B\notin{c}$ — «точка $B$ не принадлежит прямой $c$».
Точки и прямые связаны отношениями принадлежности. Также вспомним, что прямая — абстрактный геометрический объект, состоящий из точек. Из этого мы можем сделать вывод, что на плоскости всегда будут точки, принадлежащие прямой, и точки, ей не принадлежащие. Это — одна из главных аксиом планиметрии.
Внимание. Аксиомы мы будем вымещать в рамочки и вести нумерацию «$A_x$», где $x$ — номер аксиомы.
Давайте сформулируем нашу первую аксиому:
$A_1$. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Точка и прямая: аксиома прямой
Мы говорили о том, что прямая — это совокупность точек, но ни разу не определили, сколько минимум нужно расположить точек на плоскости, чтобы задать строго одну прямую.
Предположим, что достаточно только одной точки. Рассмотрим, к примеру, точку $A$ и прямые $a$ и $b$. Как видим, через одну точку может проходить сколь угодно прямых.
Оставлять вопрос открытым нельзя. «Минимальные требования» к тому, сколько точек необходимо для проведения одной прямой, очень важны, ведь по сути они являются определением прямой.
Поэтому в планиметрии в данном отношении принята следующая аксиома:
$A_2$. Через любые две точки, находящиеся на плоскости, можно провести прямую, и только одну.
Почему через две точки можно провести только одну прямую?
Во-первых, напомним, что аксиома — это прежде всего бездоказательный фундамент, поскольку ее «начинка» — здравый смысл. Смысл-то здравый, но почему через две точки можно провести только одну прямую? Это не кажется чем-то базовым, до чего догадается даже первоклассник.
Однако объяснение вполне прозаично. Давайте представим себе ситуацию с пересечением прямых. Пусть есть две прямые, которые пересекаются не в одной точке, а в двух. Давайте еще и не представлять, а чертить. Реален ли подобный чертеж выше?
Никак не реален. Если бы прямые имели две точки пересечения, они бы были уже не прямые, а изогнутые. Отсюда аксиома, говорящая, почему через две точки можно провести только одну прямую. И соответственно из нее следствие:
Следствие из $A_2$. Если две различные прямые пересекаются, то они пересекаются только в одной точке.
5
5
1
5
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
да, очень хороший