Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
СОЗДАТЬ
Создать флеш-карточки
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Аксиоматический метод

Содержание

Наибольшая сложность на первых порах изучения геометрии заключена в том, что в математике понимается как аксиоматический метод. Не в нем самом как таковом, а, вернее, в понимании того, как метод устроен.

Только не переживайте: все не так страшно, как звучит. В совокупности можно сказать, что геометрия стоит на трех китах: аксиомах, теоремах и доказательствах, — именно в предложенном порядке. Если сразу разобраться, почему порядок таков, что такое теорема и что такое аксиома, освоение геометрии станет быстрее и проще.

Поэтому, завершая введение, мы предлагаем вам сразу познакомиться с методом, а в частности — с тем, чем же является доказательство в геометрии.

Аксиоматический метод и его структура

Забавно, но аксиоматический метод упрощенно можно представить в виде фамильного древа. Рассмотрим его схематику: за точку «отсчета» берется набор аксиом, на основе которых далее формируются предположения. Если истинность предположения подтверждается путем доказательства, оно становится теоремой.

Примечание. Знание каких-либо аксиом или теорем на данном этапе совершенно необязательно. Ваша основная задача — просто понять, как связаны все эти элементы схемы выше. Далее мы этим и займемся.

Доказательство в геометрии — важный «связующий мостик» между предпосылками и подтвержденными утверждениями. Вообще, аксиоматический метод задает бесконечный маршрут: путь «от одного к другому» можно проделывать нескончаемо долго, используя ранее доказанные теоремы в качестве фундамента для формирования новых предположений и теорем.

Что такое аксиома?

А теперь о вкусном, и у нас, друзья, неприятность: из холодильника пропал торт. Предположим, ваша задача — доказать, что не совсем-то он и пропал. Его просто кто-то съел. Ваш внутренний Шерлок включается в игру, и вы пытаетесь найти «следы преступления» на кухне.

🔎 РАСКРЫВАЕМ ДЕЛО

Во-первых, глаз замечает шоколадные крошки на столешнице. Из этого вы заключаете, что его однозначно разрезали. Подкрепляет выводы и факт, что в раковине лежит разделочная доска со следами шоколада. Во-вторых, в мусорном ведре обнаруживается упаковочный материал с надписью «Торт шоколадный». Отлично, дело раскрыто!

Если бы не одно но… За поиски пропавшей сладости вы взялись, совершенно не думая, существует ли торт. Вы приняли как данность положение, что ранее в холодильнике находился торт. Никто не пытался доказывать его существование.

Или отсутствие. Задача стояла объемнее — доказать, что его съели. Так что существование торта — вот что такое аксиома. Шуточно, конечно.

Формально определение следующее:

Аксиома — исходное утверждение, принимаемое истинным без доказательства.

Аксиома в составе «цепи»

Допустим, из утверждения $A$ вы доказываете утверждение $B$. Далее из $B$ вы заключаете истинность $C$. После, из $C$ выводите утверждение $D$, и так далее.

Если расположить данное следствие утверждений друг за другом, то получается, что аксиоматический метод — это цепь. Одно цепляется за другое. Однако до бесконечности идти в обратную сторону цепочки уже не получится — у цепной ветви должно быть начало, которое уже ни к чему не прикрепляется.  

Что такое теорема?

Теперь, когда мы условились, что такое аксиома (иными словами, приняли за истину ряд положений бездоказательно), у нас сформировался каркас, на основе которого можно строить дальше. Рассмотрим еще один, чуть более разветвленный, граф, где будет наглядно показано, что такое теорема и как она связывается с аксиомой.

Структурно геометрию можно представить в виде подобного графа. Он, правда, будет гораздо сложнее в устройстве, если на нем расположить все теоремы.

К примеру, рассмотрим узел $H$. Для того, чтобы туда попасть, справа необходимо пройти через узел $F$ и одну из точек старта — $С$. Слева необходим узел $D$ и точка старта $A$. Чем больше узлов, тем сложнее путь.

Ребра графа, они же стрелки, — это доказательства. Начиная со «стартовых» бездоказательных утверждений (аксиом), мы выводим первые прямые следствия (теоремы) — их доказательство опирается исключительно на истинность аксиом. Далее из полученных теорем мы предполагаем существование следующих из них теорем. Доказательство нового «пакета» теорем опирается на истинность первых следствий, которые, в свою очередь, опираются на истинность принятых изначально аксиом.

Мы наконец готовы дать определение тому, что такое теорема:

Теорема — утверждение, истинность которого установлена с помощью доказательства.

Так что такое теорема? Это клубочек. Клубочек даже самой комплексно составленной теоремы можно размотать до аксиом: от последней теоремы — к другим; от них — назад к еще одной теореме, от этой теоремы — еще к ряду других, далее-далее… Ура, аксиома. Путь, который вы проделываете, заматывая клубочек, — это и есть доказательство в геометрии.

Доказательство в геометрии: определение

И что такое аксиома рассмотрели, и что такое теорема разобрали. А сейчас — наиважнейший момент, ибо доказательство в геометрии будет на все следующие пять лет вашим, можно сказать, основным занятием. В принципе, если аналогия выше с клубочком была понятна, проследить за логикой математических доказательств труда не составит.  

Здесь уместно будет сразу дать определение, а потом его уже разобрать:

Доказательство — цепочка умозаключений, выстроенная с целью обоснования истинности какой-либо теоремы.

На основе аксиом выстраиваются предположения — они же предпосылки или гипотезы. Истинность предположений утверждается доказательством: в таком случае истинные предположения называются теоремами.  

Вспомним аналогию с тортом, только вкупе с математической структурой. В качестве аксиом мы бы взяли: существует торт, торт съедобен, торт хранится в холодильнике, торт упаковывается, и, главное, торт разрезается. Раз в холодильнике торт мы не обнаружили, это открывает возможность выдвинуть гипотезу: торт кто-то съел. Дабы проверить истинность гипотезы, нужно построить цепочку умозаключений — привести доказательство.

ПосылкаДоказательство посылки (аксиома)
А. Торта нет в холодильнике.Торт съедобен; торт хранится в холодильнике.
B. Крошки на столешнице.Торт разрезается.
C. Разделочная доска со следами шоколада.Торт разрезается.
D. Упаковочный материал в мусорном ведре. Торт упаковывается.
Все посылки истинны, так как опираются на принятые в рамках «тортовой» системы аксиомы. Истинность посылок обеспечивает истинность вывода об истинности гипотезы. Приведение истинных посылок и вывода из них — процесс доказательства.

💡 Что было выдвинуто. Гипотеза $C$ «торт кто-то съел».
📝 Вывод. $A$ и $B$ и $C$ и $D$ $\Rightarrow$ $C$.      

Аксиоматический метод дружит с дедуктивной логикой

Логика, которую мы применяли в течение доказательства гипотезы, называется дедуктивной. На основе общих положений — аксиом — мы вывели частное положение о том, что торт был съеден. Доказательство в геометрии имеет примерно такой же принцип: вам нужно придумать, как и в каком порядке воспользоваться имеющимися аксиомами и теоремами для того, чтобы что-то доказать.

Готовы решить реальную задачу?

Задача. Дан квадрат $ABCD$ и ромб $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Известно, что сторона квадрата $AB$ равна стороне ромба $C_{1}D_{1}$. Докажите, что периметры квадрата и ромба равны.

Решение. Что мы все о тортах. Пора воспользоваться аксиоматическим методом напрямую! Панику отставить, ибо мы приведем все необходимые данные и облегчим решение. Ваше главное задание — проследить за реальной цепочкой умозаключений, то есть за доказательством в геометрии.

Начнем с анализа фигур. Строго говоря, далее будет вовсе не аксиома, а следствие из аксиом о точках и отрезках, но тем не менее выдвинем бездоказательно, что квадрат — фигура с прямыми углами, у которой все стороны равны. Еще одна для нас «аксиома»: ромб — тоже фигура с равными сторонами, но углами, отличными от прямых.

Далее воспользуемся заданным в условии положением о том, что сторона квадрата $AB$ равна стороне ромба $C_{1}D_{1}$. Раз все стороны в квадрате равны и все стороны в ромбе равны, делаем вывод:

$$AB=A_{1}B_1=BC=B_{1}C_{1}=CD=C_{1}D_{1}=AD=A_{1}D_{1}$$

Все стороны фигур меж собой равны. Если периметр — сумма всех сторон, тогда периметр заданного квадрата равен периметру заданного ромба. Что и требовалось доказать.

Обращаем ваше внимание, что дедуктивная логика доказательства опирается на связку «если… то», где «если»-посылка — общее утверждение, а «то»-вывод — частное заключение.

Из общих «аксиом», применимых ко всем ромбам и квадратам, и заданных условием положений мы, путем доказательства, вывели положение, применимое только к квадрату и ромбу с равными сторонами.  

$\textcolor{purple}{Если}$:

  • у квадрата все стороны равны;
  • у ромба все стороны равны;
  • сторона квадрата по условию равна стороне ромба;
  • периметр — сумма всех сторон;

$\textcolor{coral}{То}$:

  • все стороны квадрата $ABCD$ равны всем сторонам ромба $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$;
  • значит, периметры фигур равны.

В заключение

Аксиоматический метод — способ построения теории, при котором начальные положения принимаются истинными без доказательства — зародился в Древней Греции. Далее в курсе геометрии вы будете знакомиться с его структурой глубже и основательнее, а ваше понимание того, что такое теорема, станет богаче. История — тоже впереди. Однако для уверенного запуска ракеты изучения геометрии базового определения вышеизложенных понятий будет вполне достаточно. Надеемся, что вы их уяснили и готовы перейти от тортиков к реальному делу.

👀 А напоследок, чтоб закончить введение в геометрию на пикантной ноте, хотим пригласить вас к размышлению о теоремах и теориях. Как думаете, чем отличается теория от теоремы? Идеи ждем в комментариях к уроку.    

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии
Автор

Элизабет Митчелл

Когнитивный лингвист и автор научно-популярного контента.

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ