0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Аксиоматический метод

Содержание

    Наибольшая сложность на первых порах изучения геометрии заключена в том, что в математике понимается как аксиоматический метод. Не в нем самом как таковом, а, вернее, в понимании того, как метод устроен.

    Только не переживайте: все не так страшно, как звучит. В совокупности можно сказать, что геометрия стоит на трех китах: аксиомах, теоремах и доказательствах, — именно в предложенном порядке. Если сразу разобраться, почему порядок таков, что такое теорема и что такое аксиома, освоение геометрии станет быстрее и проще.

    Поэтому, завершая введение, мы предлагаем вам сразу познакомиться с методом, а в частности — с тем, чем же является доказательство в геометрии.

    Аксиоматический метод и его структура

    Забавно, но аксиоматический метод упрощенно можно представить в виде фамильного древа. Рассмотрим его схематику: за точку «отсчета» берется набор аксиом, на основе которых далее формируются предположения. Если истинность предположения подтверждается путем доказательства, оно становится теоремой.

    Примечание. Знание каких-либо аксиом или теорем на данном этапе совершенно необязательно. Ваша основная задача — просто понять, как связаны все эти элементы схемы выше. Далее мы этим и займемся.

    Доказательство в геометрии — важный «связующий мостик» между предпосылками и подтвержденными утверждениями. Вообще, аксиоматический метод задает бесконечный маршрут: путь «от одного к другому» можно проделывать нескончаемо долго, используя ранее доказанные теоремы в качестве фундамента для формирования новых предположений и теорем.

    Что такое аксиома?

    А теперь о вкусном, и у нас, друзья, неприятность: из холодильника пропал торт. Предположим, ваша задача — доказать, что не совсем-то он и пропал. Его просто кто-то съел. Ваш внутренний Шерлок включается в игру, и вы пытаетесь найти «следы преступления» на кухне.

    🔎 РАСКРЫВАЕМ ДЕЛО

    Во-первых, глаз замечает шоколадные крошки на столешнице. Из этого вы заключаете, что его однозначно разрезали. Подкрепляет выводы и факт, что в раковине лежит разделочная доска со следами шоколада. Во-вторых, в мусорном ведре обнаруживается упаковочный материал с надписью «Торт шоколадный». Отлично, дело раскрыто!

    Если бы не одно но… За поиски пропавшей сладости вы взялись, совершенно не думая, существует ли торт. Вы приняли как данность положение, что ранее в холодильнике находился торт. Никто не пытался доказывать его существование.

    Или отсутствие. Задача стояла объемнее — доказать, что его съели. Так что существование торта — вот что такое аксиома. Шуточно, конечно.

    Формально определение следующее:

    Аксиома — исходное утверждение, принимаемое истинным без доказательства.

    Аксиома в составе «цепи»

    Допустим, из утверждения $A$ вы доказываете утверждение $B$. Далее из $B$ вы заключаете истинность $C$. После, из $C$ выводите утверждение $D$, и так далее.

    Если расположить данное следствие утверждений друг за другом, то получается, что аксиоматический метод — это цепь. Одно цепляется за другое. Однако до бесконечности идти в обратную сторону цепочки уже не получится — у цепной ветви должно быть начало, которое уже ни к чему не прикрепляется.  

    Что такое теорема?

    Теперь, когда мы условились, что такое аксиома (иными словами, приняли за истину ряд положений бездоказательно), у нас сформировался каркас, на основе которого можно строить дальше. Рассмотрим еще один, чуть более разветвленный, граф, где будет наглядно показано, что такое теорема и как она связывается с аксиомой.

    Структурно геометрию можно представить в виде подобного графа. Он, правда, будет гораздо сложнее в устройстве, если на нем расположить все теоремы.

    К примеру, рассмотрим узел $H$. Для того, чтобы туда попасть, справа необходимо пройти через узел $F$ и одну из точек старта — $С$. Слева необходим узел $D$ и точка старта $A$. Чем больше узлов, тем сложнее путь.

    Ребра графа, они же стрелки, — это доказательства. Начиная со «стартовых» бездоказательных утверждений (аксиом), мы выводим первые прямые следствия (теоремы) — их доказательство опирается исключительно на истинность аксиом. Далее из полученных теорем мы предполагаем существование следующих из них теорем. Доказательство нового «пакета» теорем опирается на истинность первых следствий, которые, в свою очередь, опираются на истинность принятых изначально аксиом.

    Мы наконец готовы дать определение тому, что такое теорема:

    Теорема — утверждение, истинность которого установлена с помощью доказательства.

    Так что такое теорема? Это клубочек. Клубочек даже самой комплексно составленной теоремы можно размотать до аксиом: от последней теоремы — к другим; от них — назад к еще одной теореме, от этой теоремы — еще к ряду других, далее-далее… Ура, аксиома. Путь, который вы проделываете, заматывая клубочек, — это и есть доказательство в геометрии.

    Доказательство в геометрии: определение

    И что такое аксиома рассмотрели, и что такое теорема разобрали. А сейчас — наиважнейший момент, ибо доказательство в геометрии будет на все следующие пять лет вашим, можно сказать, основным занятием. В принципе, если аналогия выше с клубочком была понятна, проследить за логикой математических доказательств труда не составит.  

    Здесь уместно будет сразу дать определение, а потом его уже разобрать:

    Доказательство — цепочка умозаключений, выстроенная с целью обоснования истинности какой-либо теоремы.

    На основе аксиом выстраиваются предположения — они же предпосылки или гипотезы. Истинность предположений утверждается доказательством: в таком случае истинные предположения называются теоремами.  

    Вспомним аналогию с тортом, только вкупе с математической структурой. В качестве аксиом мы бы взяли: существует торт, торт съедобен, торт хранится в холодильнике, торт упаковывается, и, главное, торт разрезается. Раз в холодильнике торт мы не обнаружили, это открывает возможность выдвинуть гипотезу: торт кто-то съел. Дабы проверить истинность гипотезы, нужно построить цепочку умозаключений — привести доказательство.

    ПосылкаДоказательство посылки (аксиома)
    А. Торта нет в холодильнике.Торт съедобен; торт хранится в холодильнике.
    B. Крошки на столешнице.Торт разрезается.
    C. Разделочная доска со следами шоколада.Торт разрезается.
    D. Упаковочный материал в мусорном ведре.Торт упаковывается.
    Все посылки истинны, так как опираются на принятые в рамках «тортовой» системы аксиомы. Истинность посылок обеспечивает истинность вывода об истинности гипотезы. Приведение истинных посылок и вывода из них — процесс доказательства.

    💡 Что было выдвинуто. Гипотеза $C$ «торт кто-то съел».
    📝 Вывод. $A$ и $B$ и $C$ и $D$ $\Rightarrow$ $C$.      

    Аксиоматический метод дружит с дедуктивной логикой

    Логика, которую мы применяли в течение доказательства гипотезы, называется дедуктивной. На основе общих положений — аксиом — мы вывели частное положение о том, что торт был съеден. Доказательство в геометрии имеет примерно такой же принцип: вам нужно придумать, как и в каком порядке воспользоваться имеющимися аксиомами и теоремами для того, чтобы что-то доказать.

    Готовы решить реальную задачу?

    Задача. Дан квадрат $ABCD$ и ромб $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Известно, что сторона квадрата $AB$ равна стороне ромба $C_{1}D_{1}$. Докажите, что периметры квадрата и ромба равны.

    Решение. Что мы все о тортах. Пора воспользоваться аксиоматическим методом напрямую! Панику отставить, ибо мы приведем все необходимые данные и облегчим решение. Ваше главное задание — проследить за реальной цепочкой умозаключений, то есть за доказательством в геометрии.

    Начнем с анализа фигур. Строго говоря, далее будет вовсе не аксиома, а следствие из аксиом о точках и отрезках, но тем не менее выдвинем бездоказательно, что квадрат — фигура с прямыми углами, у которой все стороны равны. Еще одна для нас «аксиома»: ромб — тоже фигура с равными сторонами, но углами, отличными от прямых.

    Далее воспользуемся заданным в условии положением о том, что сторона квадрата $AB$ равна стороне ромба $C_{1}D_{1}$. Раз все стороны в квадрате равны и все стороны в ромбе равны, делаем вывод:

    $$AB=A_{1}B_1=BC=B_{1}C_{1}=CD=C_{1}D_{1}=AD=A_{1}D_{1}$$

    Все стороны фигур меж собой равны. Если периметр — сумма всех сторон, тогда периметр заданного квадрата равен периметру заданного ромба. Что и требовалось доказать.

    Обращаем ваше внимание, что дедуктивная логика доказательства опирается на связку «если… то», где «если»-посылка — общее утверждение, а «то»-вывод — частное заключение.

    Из общих «аксиом», применимых ко всем ромбам и квадратам, и заданных условием положений мы, путем доказательства, вывели положение, применимое только к квадрату и ромбу с равными сторонами.  

    $\textcolor{purple}{Если}$:

    • у квадрата все стороны равны;
    • у ромба все стороны равны;
    • сторона квадрата по условию равна стороне ромба;
    • периметр — сумма всех сторон;

    $\textcolor{coral}{То}$:

    • все стороны квадрата $ABCD$ равны всем сторонам ромба $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$;
    • значит, периметры фигур равны.

    В заключение

    Аксиоматический метод — способ построения теории, при котором начальные положения принимаются истинными без доказательства — зародился в Древней Греции. Далее в курсе геометрии вы будете знакомиться с его структурой глубже и основательнее, а ваше понимание того, что такое теорема, станет богаче. История — тоже впереди. Однако для уверенного запуска ракеты изучения геометрии базового определения вышеизложенных понятий будет вполне достаточно. Надеемся, что вы их уяснили и готовы перейти от тортиков к реальному делу.

    👀 А напоследок, чтоб закончить введение в геометрию на пикантной ноте, хотим пригласить вас к размышлению о теоремах и теориях. Как думаете, чем отличается теория от теоремы? Идеи ждем в комментариях к уроку.    

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение