Аксиоматический метод

Наибольшая сложность на первых порах изучения геометрии заключена в том, что в математике понимается как аксиоматический метод. Не в нем самом как таковом, а, вернее, в понимании того, как метод устроен.

Только не переживайте: все не так страшно, как звучит. В совокупности можно сказать, что геометрия стоит на трех китах: аксиомах, теоремах и доказательствах, — именно в предложенном порядке. Если сразу разобраться, почему порядок таков, что такое теорема и что такое аксиома, освоение геометрии станет быстрее и проще.

Поэтому, завершая введение, мы предлагаем вам сразу познакомиться с методом, а в частности — с тем, чем же является доказательство в геометрии.

Аксиоматический метод и его структура

Забавно, но аксиоматический метод упрощенно можно представить в виде фамильного древа. Рассмотрим его схематику: за точку «отсчета» берется набор аксиом, на основе которых далее формируются предположения. Если истинность предположения подтверждается путем доказательства, оно становится теоремой.

Примечание. Знание каких-либо аксиом или теорем на данном этапе совершенно необязательно. Ваша основная задача — просто понять, как связаны все эти элементы схемы выше. Далее мы этим и займемся.

Доказательство в геометрии — важный «связующий мостик» между предпосылками и подтвержденными утверждениями. Вообще, аксиоматический метод задает бесконечный маршрут: путь «от одного к другому» можно проделывать нескончаемо долго, используя ранее доказанные теоремы в качестве фундамента для формирования новых предположений и теорем.

Что такое аксиома?

🔎 РАСКРЫВАЕМ ДЕЛО

Во-первых, глаз замечает шоколадные крошки на столешнице. Из этого вы заключаете, что его однозначно разрезали. Подкрепляет выводы и факт, что в раковине лежит разделочная доска со следами шоколада. Во-вторых, в мусорном ведре обнаруживается упаковочный материал с надписью «Торт шоколадный». Отлично, дело раскрыто!

Если бы не одно но… За поиски пропавшей сладости вы взялись, совершенно не думая, существует ли торт. Вы приняли как данность положение, что ранее в холодильнике находился торт. Никто не пытался доказывать его существование.

Или отсутствие. Задача стояла объемнее — доказать, что его съели. Так что существование торта — вот что такое аксиома. Шуточно, конечно.

Формально определение следующее:

Аксиома — исходное утверждение, принимаемое истинным без доказательства.

Аксиома в составе «цепи»

Допустим, из утверждения $A$ вы доказываете утверждение $B$. Далее из $B$ вы заключаете истинность $C$. После, из $C$ выводите утверждение $D$, и так далее.

Если расположить данное следствие утверждений друг за другом, то получается, что аксиоматический метод — это цепь. Одно цепляется за другое. Однако до бесконечности идти в обратную сторону цепочки уже не получится — у цепной ветви должно быть начало, которое уже ни к чему не прикрепляется.  

{"questions":[{"content":"В цепочке выше — $A\\Rightarrow{B}\\Rightarrow{C}\\Rightarrow{D}$ — какое из утверждений будет считаться <i><b>аксиомой</b></i>? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Утверждение $A$","Утверждение $B$","Утверждение $C$","Утверждение $D$"],"explanations":["Аксиома — фундамент «строительства» научной системы. Поэтому в цепочке $A\\Rightarrow{B}\\Rightarrow{C}\\Rightarrow{D}$ аксиомой будет считаться утверждение $A$ — то положение, с которого начался путь вывода дальнейших утверждений. Доказательств истинности $A$ не требуется. <br /><br />В противном случае, если бы еще и пришлось доказывать $A$, это бы говорило о том, что есть еще одно положение, приводящее к доказательству $A$. И у этого положения, разумеется, должно было бы быть в привязке некоторое положение. <br /><br />И дальше. Без аксиом мы получаем бесконечный бег по кольцу.","","",""],"answer":[0]}}}]}

Что такое теорема?

Теперь, когда мы условились, что такое аксиома (иными словами, приняли за истину ряд положений бездоказательно), у нас сформировался каркас, на основе которого можно строить дальше. Рассмотрим еще один, чуть более разветвленный, граф, где будет наглядно показано, что такое теорема и как она связывается с аксиомой.

К примеру, рассмотрим узел $H$. Для того, чтобы туда попасть, справа необходимо пройти через узел $F$ и одну из точек старта — $С$. Слева необходим узел $D$ и точка старта $A$. Чем больше узлов, тем сложнее путь.

{"questions":[{"content":"Думаем, и так понятно, однако на всякий случай вас проверим. На графе выше, какой элемент отвечает за <i><b>теорему</b></i>, а какой за <i><b>аксиому</b></i>? [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Круг","Прямоугольник"],"items":["Теоремы","Аксиомы"]}}}]}

Ребра графа, они же стрелки, — это доказательства. Начиная со «стартовых» бездоказательных утверждений (аксиом), мы выводим первые прямые следствия (теоремы) — их доказательство опирается исключительно на истинность аксиом. Далее из полученных теорем мы предполагаем существование следующих из них теорем. Доказательство нового «пакета» теорем опирается на истинность первых следствий, которые, в свою очередь, опираются на истинность принятых изначально аксиом.

Мы наконец готовы дать определение тому, что такое теорема:

Теорема — утверждение, истинность которого установлена с помощью доказательства.

Так что такое теорема? Это клубочек. Клубочек даже самой комплексно составленной теоремы можно размотать до аксиом: от последней теоремы — к другим; от них — назад к еще одной теореме, от этой теоремы — еще к ряду других, далее-далее… Ура, аксиома. Путь, который вы проделываете, заматывая клубочек, — это и есть доказательство в геометрии.

Доказательство в геометрии: определение

И что такое аксиома рассмотрели, и что такое теорема разобрали. А сейчас — наиважнейший момент, ибо доказательство в геометрии будет на все следующие пять лет вашим, можно сказать, основным занятием. В принципе, если аналогия выше с клубочком была понятна, проследить за логикой математических доказательств труда не составит.  

Здесь уместно будет сразу дать определение, а потом его уже разобрать:

Доказательство — цепочка умозаключений, выстроенная с целью обоснования истинности какой-либо теоремы.

На основе аксиом выстраиваются предположения — они же предпосылки или гипотезы. Истинность предположений утверждается доказательством: в таком случае истинные предположения называются теоремами.  

Вспомним аналогию с тортом, только вкупе с математической структурой. В качестве аксиом мы бы взяли: существует торт, торт съедобен, торт хранится в холодильнике, торт упаковывается, и, главное, торт разрезается. Раз в холодильнике торт мы не обнаружили, это открывает возможность выдвинуть гипотезу: торт кто-то съел. Дабы проверить истинность гипотезы, нужно построить цепочку умозаключений — привести доказательство.

💡 Что было выдвинуто. Гипотеза $C$ «торт кто-то съел».
📝 Вывод. $A$ и $B$ и $C$ и $D$ $\Rightarrow$ $C$.      

Аксиоматический метод дружит с дедуктивной логикой

Логика, которую мы применяли в течение доказательства гипотезы, называется дедуктивной. На основе общих положений — аксиом — мы вывели частное положение о том, что торт был съеден. Доказательство в геометрии имеет примерно такой же принцип: вам нужно придумать, как и в каком порядке воспользоваться имеющимися аксиомами и теоремами для того, чтобы что-то доказать.

Готовы решить реальную задачу?

Задача. Дан квадрат $ABCD$ и ромб $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Известно, что сторона квадрата $AB$ равна стороне ромба $C_{1}D_{1}$. Докажите, что периметры квадрата и ромба равны.

Обращаем ваше внимание, что дедуктивная логика доказательства опирается на связку «если… то», где «если»-посылка — общее утверждение, а «то»-вывод — частное заключение.

Из общих «аксиом», применимых ко всем ромбам и квадратам, и заданных условием положений мы, путем доказательства, вывели положение, применимое только к квадрату и ромбу с равными сторонами.  

{"questions":[{"content":"Наша шуточная задача предполагает, что мы можем составить из последнего вывода <i><b>теорему</b></i>!  [[choice-1]][[speech-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Если периметр — сумма всех сторон, то периметр квадрата равен периметру ромба.","Если у квадрата и ромба равные стороны, то их периметры равны."],"answer":[1]},"speech-4":{"type":"speech","text":"Выберите наиболее подходящий вариант текста теоремы для задачи."}}}]}

В заключение

Аксиоматический метод — способ построения теории, при котором начальные положения принимаются истинными без доказательства — зародился в Древней Греции. Далее в курсе геометрии вы будете знакомиться с его структурой глубже и основательнее, а ваше понимание того, что такое теорема, станет богаче. История — тоже впереди. Однако для уверенного запуска ракеты изучения геометрии базового определения вышеизложенных понятий будет вполне достаточно. Надеемся, что вы их уяснили и готовы перейти от тортиков к реальному делу.

👀 А напоследок, чтоб закончить введение в геометрию на пикантной ноте, хотим пригласить вас к размышлению о теоремах и теориях. Как думаете, чем отличается теория от теоремы? Идеи ждем в комментариях к уроку.